Динамикалық жүйелердің теңдеулерін шешудің сандық әдістері PDF

Динамикалық жүйелердің теңдеулерін шешудің сандық әдістері.  Кіріспе: o Динамикалық жүйелер дегеніміз не? o Сандық әдістердің маңыздылығы.  Динамикалық жүйелер дегеніміз не? Динамикалық жүйе — уақытқа байланысты өзгеретін физикалық, биологиялық, экономикалық немес...

Динамикалық жүйелердің теңдеулерін шешудің сандық әдістері.  Кіріспе: o Динамикалық жүйелер дегеніміз не? o Сандық әдістердің маңыздылығы.  Динамикалық жүйелер дегеніміз не? Динамикалық жүйе — уақытқа байланысты өзгеретін физикалық, биологиялық, экономикалық немесе басқа құбылыстарды сипаттайтын математикалық модель. Жай дифференциалдық Көптеген дифференциалдық теңдеулер (ЖДТ) — уақытқа теңдеулер жүйелері (КДТЖ) — байланысты бір айнымалының бір мезгілде бірнеше өзгеруін сипаттайды. айнымалылардың өзгеруін модельдейді.  Сандық әдістер Математикалық модельдерді шешудің сандық әдістері жуық шешімдерді табу үшін қолданылады.  Эйлер әдісі  Рунге-Кутта әдістері  Адамс-Башфорт және Адамс-Мултон әдістері  Имплициттік әдістер (Гир әдісі және басқалары)  Симплекстік және симметриялық әдістер Эйлер әдісі Бұл — ең қарапайым және негізге алынатын сандық әдіс. Эйлер әдісінің мәні — уақытты кішкентай интервалдарға бөлу және келесі қадамдағы шешімді алдыңғы қадамдағы шешімге теңдеудің туындысын пайдаланып түзету. Рунге-Кутта әдістері Бұл әдістер Эйлер әдісінің жетілдірілген түрі болып саналады және жоғары дәлдік береді. Төртінші ретті Рунге-Кутта әдісі — ең кең тараған әдістердің бірі. Адамс-Башфорт және Адамс-Мултон әдістері Бұл әдістер көпқадамды әдістер қатарына жатады. Олар бұрынғы қадамдардағы шешімдерді пайдаланып, келесі шешімді болжауға тырысады. Адамс-Башфорт әдісі — экстраполяциялық, ал Адамс-Мултон әдісі — интерполяциялық әдіс. #include // printf() #include // EXIT_SUCCESS // функция первой производной double f( double const x, double const y ) { return 6 * x * x + 5 * x * y; } // точка входа int main() { double const h =.01; // размер шага double x = 1; // x_0 double y = 1; // y_0 int n = 10; // количество итераций // итерации по методу Эйлера for ( ; n--; y += h * f( x, y ), x += h ); // печать результата printf( "x:\t%-5.7lf\ny:\t%-5.7lf", x, y ); // выход return EXIT_SUCCESS; } Реализация на языке Python 3.7: # n - количество итераций, h - шаг, (x, y) - начальная точка def Euler(n = 10, h = 0.01, x = 1, y = 1): for i in range(n): y += h * function(x, y) x += h return x, y # решение def function(x, y): return 6 * x**2 + 5 * x * y # функция первой производной print(Euler()) Реализация на языке Lua: n, h, x, y = 10, 0.01, 1, 1 -- количество итераций, шаг, координаты начальной точки function f (x, y) return 6*x^2+5*x*y end -- функция первой производной for i = 1, n do x, y = x + h, y + h * f(x, y) end print('x: '..x..' y: '..y) Имплициттік әдістер:Қатаң динамикалық жүйелер үшін қолданылады.Тұрақтылығы жоғары әдістер (мысалы, Гир әдісі).Имплициттік әдістердің шешу механизмдері. Динамикалық жүйелерді сандық әдістермен шешудің негізгі мәселелері: Тұрақтылық: Кейбір сандық әдістер тұрақсыз болуы мүмкін, әсіресе егер қадам hhh дұрыс таңдалмаса. Тұрақтылық мәселесін шешу үшін кейбір әдістер ерекше түрде қолданылады. Дәлдік: Шешімнің нақты шешімге қаншалықты жақын екенін анықтайтын маңызды фактор. Қатаңдық: Қатаң динамикалық жүйелерді шешу қиын, себебі олар өте кішкентай және үлкен масштабтарда әр түрлі жылдамдықпен дамиды. Бұл жағдайда имплициттік әдістер артықшылыққа ие. Практикалық қолдану Динамикалық жүйелерді шешудің сандық әдістері әр түрлі салаларда қолданылады: Физика: Механикалық жүйелердің қозғалысын модельдеу (мысалы, ғарыштық денелердің қозғалысы). Биология: Популяциялар динамикасын немесе эпидемиялардың таралуын модельдеу. Инженерия: Автокөлік, ұшақ және басқа құрылғылардың динамикалық мінез-құлықтарын болжау. Экономика: Нарықтық динамика және басқа экономикалық жүйелерді модельдеу. Бұл әдістерді қолдана отырып, күрделі динамикалық жүйелерді сандық түрде зерттеуге және олардың мінез-құлықтарын болжауға болады.