Appunti di Elettrotecnica Spadacini PDF

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Ulaby, Fundamentals of Applied Electromagnetics, Pearson Education Inc., 2007 Milano, XX mese 20XX CAMPO VETTORIALE Un Campo (Campo Vettoriale) è un vettore definito in ogni punto dello spazio. Esiste una proprietà della materia che determina la generazione del campo nello spazio circostante la materia che determina l’insorgenza di un vettore Forza [N] sulla materia immersa nel campo CAMPO PROPRIETA’ DELLA MATERIA Gravitazionale Massa Elettrico (Elettrostatico) Carica Magnetico (Magnetostatico) Carica in moto uniforme (correnti costanti) Elettromagnetico Carica in moto (correnti variabili) CAMPO GRAVITAZIONALE (esempio ben noto) Come viene generato dalla massa: Come esercita forza sulla massa: F21 m2 ˆ Gm1 ˆ Gm1m2 ψ1 = − R 2 [N/Kg] F21 = ψ 1m2 = − R 2 [N] R R VETTORE A = aˆ A Vettore A A A | A |, = =aˆ = Modulo o Norma |A| A Versore o Vettore Unitario LINEE DI FORZA (o LINEE DI FLUSSO) Rappresentazione grafica della direzione e del verso del vettore di campo nei punti dello spazio ˆ Gm1 ψ1 = − R 2 [N/Kg] R PRODOTTO SCALARE A⋅B =A B cosθ AB Il risultato è un numero (da cui «scalare»), prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell’angolo compreso fra i due vettori. Si può quindi anche interpretare come il prodotto del modulo di B per la proiezione del modulo di A sulla direzione di B (o viceversa) PRODOTTO VETTORIALE nˆ A B sin θ AB A×B = Il risultato è un vettore il cui modulo è il prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell’angolo compreso La cui direzione è ortogonale al piano formato dai due vettori e il verso è determinato dalla «regola della mano destra»: QUANTITA’ INTEGRALI Per descrivere le proprietà di un campo sarà necessario introdurre due quantità integrali scalari dette LAVORO e FLUSSO Mettono in relazione il campo e lo spazio dove il campo sussiste In particolare integrano il campo sui punti di una linea o di una superficie Queste linee e superfici si intendono, in generale, come puri enti geometrici definibili a piacere, anche nel vuoto (per fugare ogni dubbio: non devono corrispondere per forza a qualche specifica linea di «contorno» o superficie di «confine» tra oggetti materiali). LAVORO Lavoro del campo lungo un percorso C nello spazio (in generale aperto, da un punto a ad un punto b) è : ∫ C ∫ F ⋅ dl = | F |cos θ dl C l’integrale di linea del prodotto scalare del campo Il termine «Lavoro» nasce nella meccanica è ha il ben noto significato per il differenziale di linea (in quel caso F è una forza in [N] e il lavoro è in [Nm]=[J]). Il concetto matematico si estende a differenziale di linea: vettore tangente alla linea di qualunque campo vettoriale (se [X] è lunghezza infinitesima dl l’unità di misura del campo, il lavoro ha unità [Xm] ). LAVORO: esempi elementari di calcolo Campo uniforme, percorso C di lunghezza  parallelo alle linee di forza del campo : F C a b ∫ C F ⋅ dl = F ( F = F ) (θ = 0) F ∫ C a b F ⋅ dl =−F  (θ = π ) C Campo uniforme, percorso C di lunghezza  : F ∫ F  cos θ F ⋅ dl = θ C a b C CIRCUITAZIONE La circuitazione del campo è il lavoro su un percorso CHIUSO nello spazio (va specificato quale dei due sensi di percorrenza di C, come indicato in figura) ∫ F ⋅ dl = C ∫ | F |cosθ dl C FLUSSO F Flusso del campo attraverso una superficie S nello spazio è: n̂ θ ds ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ nˆ ds = ∫ F cos θ ds S S S S l’integrale di superficie del prodotto scalare del campo per il differenziale di superficie Se [X] è unità di misura del campo, il flusso ha unità [Xm2] differenziale di superficie: vettore con modulo pari all’area infinitesima dS e direzione ortogonale alla superficie (versore «normale» n) da specificare ds = nˆ ds FLUSSO: Esempi elementari di calcolo Campo uniforme, con linee di forza ortogonali alla superficie piatta S di area A (giacente nel piano del foglio con versore normale uscente dal foglio) S S ∫ ∫ F ⋅ ds =−FA F F F ⋅ ds = FA S S (F = F ) n̂ n̂ (θ = π ) (θ = 0) Vettore uscente dal foglio Vettore entrante nel foglio FLUSSO USCENTE da una superficie chiusa Si può anche definire un flusso uscente da una superficie CHIUSA (superficie che delimita un volume interno) Il versore normale alla superficie è il versore normale uscente (diretto verso l’esterno della superficie, in ogni punto della superficie). ∫ S F ⋅ ds VERSI DI RIFERIMENTO ASSOCIATI DI LAVORO E FLUSSO Per alcuni campi esistono delle leggi che stabiliscono una relazione fra Il lavoro (circuitazione) lungo un percorso chiuso C n̂ C il flusso attraverso una superficie S (qualunque) che abbia C come contorno E’ necessario quindi stabilire una convenzione di S verso detta REGOLA DELLA MANO DESTRA per associare il verso di percorrenza di C (necessario per calcolare la circuitazione) e il verso di attraversamento normale a S (necessario per calcolare il flusso) in modo da esprimere le leggi senza ambiguità. (se si sbaglia questa convenzione si calcolano flusso o lavoro con valore assoluto corretto ma segno sbagliato!)  082748 ELETTROTECNICA (ATM/INF sez. ROT-Z) Prof. Giordano Spadacini ELETTROMAGNETISMO (concetti di base per giustificare le relazioni costitutive della Teoria dei Circuiti) II – ELETTROSTATICA (tutti i diritti riservati all’autore per il testo, e all’editore Pearson Education per alcune immagini tratte dal libro consigliato in bibliografia – dispensa da usare senza fini di lucro per soli per scopi didattici del Politecnico di Milano – vietata la diffusione esterna con ogni mezzo) BIBLIOGRAFIA F. T. Ulaby, Fundamentals of Applied Electromagnetics, Pearson Education Inc., 2007 Milano, XX mese 20XX CAMPO STAZIONARIO Un campo statico o stazionario è un campo vettoriale che non varia nel tempo in ogni punto dello spazio. Il concetto è in qualche misura analogo al regime costante (dc) visto nella teoria dei circuiti. Diremo rigorosamente che la derivata (derivata parziale) del campo rispetto al tempo è nulla ∂F ( x, y, z , t ) =0 ∂t Nell’elettromagnetismo la differenza fra campo stazionario e non stazionario è di importanza fondamentale, perché emergono diverse proprietà nei due casi. Descriveremo in queste slides le proprietà del campo elettrico stazionario CARICA E’ la proprietà della materia che determina l’interazione detta «campo elettrico» E’ indicata con la lettera q, Q e l’unità di misura è [C] «Coulomb» Esiste in due nature dette positiva e negativa perché nella descrizione matematica delle leggi è facile tenere conto del loro diverso effetto semplicemente assegnando a q un valore numerico con segno positivo e negativo, rispettivamente Oggi sappiamo che la carica è discretizzata nella scala di osservazione atomica (per es. carica dell’elettrone -1.6 10-19 C) ma ciò è del tutto irrilevante per l’elettromagnetismo che si occupa di realtà e osservazioni macroscopiche per cui a tutti gli effetti considereremo la carica come proprietà nel continuo. Peraltro, quando le leggi dell’elettromagnetismo furono comprese (fine Sec. XIX), nulla ancora si sapeva sulla struttura della materia, ma ciò non impedì certo di comprenderle! CAMPI D e E Per una efficace descrizione matematica delle proprietà del campo elettrico nei materiali si introducono due campi vettoriali: Campo Elettrico indicato con lettera E particolarmente utile per descrivere gli effetti, ovvero come il campo interagisce (esercita una forza) sulla carica Unità di misura in [N/C] o anche [(N*m)/(C*m)]=[J/(C*m)]=[V/m] Campo Spostamento Elettrico o anche Campo Densità di Flusso Elettrico (EN: Electric Flux Density) indicato con lettera D, particolarmente utile per descrivere le cause, ovvero come la carica genera un campo nello spazio, anche in relazione ai diversi materiali Unità di misura in [C/m2] Il fenomeno del campo elettrico è uno, è semplicemente la descrizione matematica che trae vantaggio dalla introduzione di due quantità vettoriali! RELAZIONE COSTITUTIVA DEI MEZZI MATERIALI Dipende dal mezzo materiale e stabilisce la relazione fra D e E Nei mezzi lineari isotropi è semplicemente proporzionale: D = εE La costante ε è detta permittività elettrica [C/m2 *m/V]=[C/(V*m)]=[F/m] La permittività del vuoto è la più piccola −12 ε 0 8.85 × 10 = F/m Per i mezzi materiali si usa esprimere ε = ε r ε 0 dove εr ≥ 1 è la permittività relativa o costante dielettrica (adimensionale) PERMITTIVITA’ RELATIVA (esempi) Nei materiali privi di proprietà dielettriche (aria, metalli conduttori come rame, alluminio, ecc.) la permettività è praticamente identica a quella del vuoto ε r = 1 CAMPO E Esercita forze su cariche elettriche La forza [N] esercitata su una carica puntiforme q [C] è il prodotto della carica per il campo E [N/C] valutato nel punto occupato dalla carica. La relazione è vettoriale, ovvero la direzione del vettore forza coincide con la direzione del vettore campo E. E Fe Fe = qE q LEGGE DI GAUSS Spiega le modalità con cui la carica genera il campo ovvero il significato del campo spostamento elettrico D: Il flusso di D uscente da una superficie chiusa S è pari alla carica totale Q racchiusa nel volume interno alla superficie S. ∫S D ⋅ ds = Q Le unità di misura del campo D sono [C/m2] infatti il flusso di D risulta essere una carica in [C] LEGGE DI GAUSS: un caso particolare (Coulomb) Carica puntiforme q Per simmetria le linee di campo sono radiali ( Rˆ versore radiale) e il campo è uniforme su una superficie chiusa S sferica di raggio R centrata nella carica ∫ S D ⋅ ds = q π R2 = D ⋅ 4 q area della q sfera D= 4π R 2 Legge di Coulomb q ˆ D q ˆ D= R E = = R 4π R 2 ε 4πε R 2 Ancora sulla Legge di Coulomb… Fe I campi D e E sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza R q’ Se nel punto P a distanza R poniamo una carica q’ su di essa si esercita una forza q 'q ˆ [N] = ′E Fe q= 2 R 4πε R Notare l‘analogia formale con la ben nota legge del campo gravitazionale Con la differenza che la massa ha una sola natura, mentre la carica ha natura (segno) positiva o negativa. Quindi il vettore forza elettrica agente su q’ è diretto come Rˆ (repulsione da q) quando le cariche hanno lo stesso segno (+*+, -*-), opposto a R ˆ (attrazione verso q) quando hanno segno diverso (+*-,-*+) Esercizio sulla Legge di Coulomb Quattro cariche elettriche sono disposte nel vuoto ai vertici di un quadrato di lato a (vedi figura). Trovare il campo elettrico nel punto centrale P del quadrato P Esercizi/Domande sulla Legge di Coulomb POTENZIALE DEL CAMPO ELETTRICO Per fissare le idee, si supponga di avere un campo elettrico E uniforme e una carica q come in figura. Il campo esercita su questa carica una forza Fe=qE (verso il basso se carica positiva) Per spostare la carica verso l’alto (contro la forza del campo) dobbiamo esercitare sulla carica una forza esterna Fext =−Fe =−qE Con uno spostamento infinitesimo si compie un lavoro infinitesimo dW =Fext ⋅ dl =−qE ⋅ dl [J] POTENZIALE DEL CAMPO ELETTRICO (continua) La proporzionalità fra carica e lavoro suggerisce di introdurre una proprietà detta POTENZIALE il cui differenziale è il lavoro infinitesimo per unità di carica: dW [J/C]=[V] “VOLT” dV = =−E ⋅ dl q Integrando il differenziale dV su un percorso C fra due punti P1 e P2 nello spazio otteniamo una quantità integrale chiamata P2 DIFFERENZA DI POTENZIALE C P2 P2 ∫ ∫ P1 V ( P2 ) − V ( P1 ) = dV = − E ⋅ dl V21 = E P1 P1  DIFFERENZA DI POTENZIALE DEL CAMPO ELETTRICO Per le proprietà degli integrali di linea si può anche cambiare di segno invertendo il senso del percorso (da P2 a P1), abbiamo quindi le due possibili interpretazioni della differenza di potenziale sotto riportate: P2(+) P2 P1 V21 =− ∫ P1 ∫ E ⋅ dl = E ⋅ d l P2 P1(-) C E (+) e (–) sono i ben noti V21 è il lavoro da compiere V21 è il lavoro che compiono simboli nella notazione esternamente contro le forze del spontaneamente le forze del grafica della teoria dei campo elettrico per portare l’unità campo elettrico per portare l’unità circuiti di carica positiva da P1 (-) a P2 (+) di carica positiva da P2 (+) a P1 (-) Attenzione: il valore numerico può essere positivo o negativo, con la conseguente interpretazione fisica del segno associata al verso, tipica delle quantità algebriche CAMPO CONSERVATIVO Il campo elettrico si dice conservativo (e si può usare propriamente il termine «potenziale») perché la differenza di potenziale dipende solo dai due punti estremi del percorso, ma non dalla forma del percorso. P2 − E ⋅ dl V21 = ∫ P1 Il risultato è lo stesso integrando lungo le linee C1, C2, C3 e qualunque altro percorso che congiunga gli stessi punti P1 e P2 CAMPO CONSERVATIVO (continua) Tale legge della conservatività del campo elettrico si esprime matematicamente come: La circuitazione (lavoro su un percorso chiuso) del campo elettrico è sempre nulla ∫ C E ⋅ dl = 0 C1’ Dimostrazione: P2 P1 P2 Se su un percorso chiuso C ∫ C E ⋅ dl= ∫ 1  P E ⋅ dl + ∫ 2  P E ⋅ dl = 0     percorso C1 percorso C1' C2 Allora sui percorsi aperti C1 e C2: P2 P1 P2 V21 = ∫ − E ⋅ dl = E ⋅ d l = P1 −∫ 2  P ∫ E ⋅ dl 1  P P1 E        percorso C1 percorso C1' percorso C2 C1 OSSERVAZIONE SUL POTENZIALE ASSOLUTO Abbiamo definito delle differenze di potenziale fra due punti. Non è possible definire univocamente il potenziale assoluto V(P) nel singolo punto (P) Infatti, volendo assegnare un valore a V(P) bisognerebbe fissare un valore di potenziale arbitrario (per esempio, ma non necessariamente, nullo) in un qualche punto arbitrario P0 e solo a quel punto, mediante le differenze note, si potrebbe ricostruire il potenziale di ogni altro punto P dello spazio. In altri termini il potenziale V(P) è definibile solo a meno di una costante arbitraria. Non è generalmente una operazione necessaria: la conoscenza delle differenze di potenziale fra due punti basta per tutti i fini pratici, come già visto in Teoria dei Circuiti. LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE TENSIONI (KVL) A valle di tutte le proprietà descritte, siamo ora in grado di giustificare la KVL: La differenza di potenziale del campo elettrico, che nella teoria dei circuiti è rinominata tensione (EN: voltage), unità di misura [V], dipende solo dai due punti, ha un verso, necessario per distinguere P1(-) da P2 (+). P2 V21 = ∫ − E ⋅ dl P1 La notazione italiana «della freccia» ricorda il percorso da P1(-) a P2 (+), la cui forma non ha alcuna rilevanza dato che il campo è conservativo La circuitazione nulla del campo elettrico implica la KVL: ∫C E ⋅ dl = 0 ∑v hk =0 (h, k coppie di punti in un percorso chiuso) CONDUZIONE I materiali sono ordinariamente neutri, tuttavia non sono privi di carica, ma sono uniformemente pervasi da uguale carica di natura positiva e negativa Nei materiali isolanti («dielettrici») tale carica non può muoversi nel materiale Nei materiali conduttori, invece, una o entrambe le nature di carica sono cariche libere, ovvero possono muoversi nel materiale, per esempio Nei metalli la carica libera è quella di natura negativa Nelle soluzioni ioniche la carica libera ha natura sia positiva che negativa Se il materiale conduttore viene immerso in un campo elettrico, le forze esercitate dal campo sulla carica libera mette quest’ultima in moto: si ha conduzione elettrica La legge del moto delle cariche viene descritta dalla corrente CAMPO DENSITA’ DI CORRENTE STAZIONARIA Rappresenta una densità di carica libera per unità di volume 𝜌𝜌𝐿𝐿 nel materiale conduttore [C/m3] che si muove con moto uniforme descritto da un campo di velocità u [m/s] J = ρLu [C/m3 * m/s]= [C/(s*m2)]=[A/m2] 𝐮𝐮 𝜌𝜌𝐿𝐿 CORRENTE La corrente che attraversa una superficie S è il flusso del campo densità di corrente J =I ∫ J ⋅ ds [A] n̂ S J = ρLu ds =I ∫ S ρ L u ⋅ ds [A] S IL FILO «IDEALIZZATO» DELLA TEORIA DEI CIRCUITI Densità di carica libera e densità di corrente uniformi, in un filo cilindrico di area trasversale S, con vettore densità di corrente normale a S J n̂ I = ∫S ρ L u ⋅ ds= ρ L S u [A] ds ρL + u + I + I S + − − − + − 𝜌𝜌𝐿𝐿 − − + CONSERVAZIONE DELLA CARICA Come la massa, essendo la carica una proprietà della materia, deve per forza conservarsi. Quindi il flusso del vettore densità di corrente uscente da una superficie chiusa (cioè la corrente uscente da una superficie chiusa) eguaglia la variazione di carica contenuta all’interno della superficie: dQ ∫ S J ⋅ ds = − dt J ⋅ ds Perché il segno meno? Se corrente uscente positiva, la carica Q dentro la superficie diminuisce nel tempo, quindi la derivata dQ/dt è negativa. LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI (KCL) In condizioni stazionarie dQ/dt=0 e quindi ∫ S J ⋅ ds = 0 Questo giustifica la KCL della teoria dei circuiti: Nei circuiti la superficie chiusa S è un generico supernodo (caso particolare è il nodo) e il flusso della densità di corrente uscente è la somma delle correnti discrete nei fili tagliati dal supernodo 2 i ∑i k k =0 uscenti da S 0 i2 + i5 − i7 + i8 = S CAMPO DENSITA’ DI CORRENTE In un mezzo materiale conduttore, lineare, isotropo, la presenza di un campo elettrico implica l’insorgenza di un campo di densità di corrente proporzionale: 2 J = σ E [A/m ] dove σ è la conducibilità elettrica [S/m] Nota: talvolta si introduce invece la resistività elettrica, reciproco della conducibilità 1 =ρ [Ω m] σ CONDUTTORE ELETTRICO PERFETTO J E’ un mezzo ideale in cui σ →∞ allora E = →0 σ In un conduttore perfetto il campo elettrico è NULLO in tutti i punti interni; non serve un campo elettrico che compia forze e lavoro per muovere le cariche libere (se E non fosse nullo si avrebbe densità di corrente infinita, il che sarebbe assurdo) Allora un conduttore perfetto è equipotenziale infatti per qualunque coppia di punti presi sul conduttore la differenza di potenziale è nulla: P2 P2 V21 =−∫ P1 E ⋅ dl =−∫ P1 0 ⋅ dl =0 Il filo idealizzato ovvero il bipolo cortocircuito introdotto nella teoria dei circuiti rappresenta un filo di conduttore perfetto, con tensione nulla per qualunque corrente. RESISTORE Si consideri invece un filo di materiale conduttore di conducibilità finita σ, di forma cilindrica, di sezione trasversale di area A (non necessariamente rotondo!), e di lunghezza l Se si applica ai capi una tensione V (per esempio tramite il generatore in figura), (+) su 1 e (-) su 2, all’interno deve stabilirsi un campo elettrico uniforme di modulo E con la direzione in figura tale che x2 V V = V12 = ∫ x1 E ⋅ dl = El E= l RESISTORE (continua) Allora si stabilisce anche un vettore densità di corrente uniforme diretto come E di modulo: V J σ= = E σ l e calcolandone il flusso sulla superficie trasversale si ottiene la corrente V ∫ σ A I = J ⋅ ds =JA = S l Si scopre quindi che il rapporto tra tensione e corrente (con questi versi, ovvero la convenzione degli utilizzatori della teoria dei circuiti) è una costante positiva, dipendente dalla geometria, che diremo resistenza: RESISTORE (continua) V l V = RI R == > 0 [Ω] I σA Abbiamo così giustificato la relazione costitutiva del bipolo resistore passivo (resistore fisico) usata nella teoria dei circuiti RESISTORE (continua) In generale, si può definire una resistenza allo stesso modo, fra due punti di un pezzo di materiale conduttore di forma qualunque. Basta calcolare il rapporto P2 P2 R V = = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ d l P1 P1 I ∫ J ⋅ ds σ ∫ E ⋅ ds S S e si otterrà un numero positivo, che dipende solo dalla geometria. Ovviamente, le formule saranno più complesse di quella del filo cilindrico vista in precedenza! POTENZA DISSIPATA DAL RESISTORE («EFFETTO JOULE») L’osservazione sperimentale mostra che la potenza elettrica entrante nel resistore fisico, già introdotta in teoria dei circuiti come = RI 2 ≥ 0 P VI = [J/s]=[W] si converte in una uguale potenza termica nel dominio fisico della termodinamica. In altre parole, si osserva che il resistore accresce la sua temperatura rispetto alla temperatura ambiente, ed emette all’esterno (per conduzione, convezione e irraggiamento) una pari quantità di energia termica al secondo. Questa trasformazione è termodinamicamente irreversibile: parliamo di potenza dissipata. CONDENSATORE Si considerino due facce piane (piastre di spessore irrilevante) parallele, di area A, fatte di conduttore perfetto, e separate con una distanza d Fra le due facce sia interposto del materiale isolante («dielettrico») con 1 permettività ε Si imponga (per esempio, tramite il generatore in figura) una tensione V fra 2 un punto 1 qualunque della superficie equipotenziale 1 e un punto 2 qualunque della superficie equipotenziale 2 CONDENSATORE (continua) Allora, deve stabilirsi un campo elettrico uniforme (trascurando effetti di «bordo») all’interno tale che 1 +Q 2 V V = V12 = ∫ 1 E ⋅ dl = Ed E= d -Q 2 direzione uscente da 1 verso 2 (vedi figura) Per la legge di Gauss, allora, presa una superficie chiusa S coincidente con il contorno della piastra 1, deve localizzarsi della carica Q sulla faccia interna 1, tale che V ∫ D ⋅ ds = S Q ∫ ε E ⋅ ds= S ε EA= Q ε A=Q d per la faccia 2 si otterrà una analoga carica opposta in segno –Q, dal momento che E è entrante anziché uscente. CONDENSATORE (continua) Si scopre quindi che si separa («accumula») una carica +Q, -Q sulle due facce, ma il sistema resta globalmente neutro (+Q-Q=0), e che il rapporto fra la carica Q e la tensione V applicata è una costante positiva dipendente solo dalla geometria, che diremo capacità Q A = = ε >0 C [F] Q = CV V d Nota: con valori tipici di ε (ordine 10-11) e valori di A e d «sensati», è facile verificare che valori di capacità ottenibili C sono solitamente molto inferiori a 1 F. Effettivamente il [F] è una unità di misura enorme! CONDENSATORE (continua) Si può definire una capacità allo stesso modo, fra due superfici di forma qualunque, calcolando il rapporto C Q = = ∫S D ⋅ ds = ε∫  S E ⋅ ds P2 P2 V ∫P1 E ⋅ dl ∫ E ⋅ P1 d l e si otterrà un numero positivo, che dipende solo dalla geometria. Ovviamente, le formule saranno più complesse del caso a facce piane parallele viste in precedenza! ENERGIA IMMAGAZZINATA NEL CONDENSATORE L’energia immagazzinata nel condensatore, già ricavata in Teoria dei Circuiti come 1 WC = CV 2 ≥ 0 [J] 2 è, nel condensatore fisico, l’energia associata all’esistenza del campo elettrico nel materiale dielettrico fra le due superfici di conduttore perfetto. Abbiamo già osservato in teoria dei circuiti come questo accumulo di energia interna è pienamente reversibile, potendosi caricare e scaricare il condensatore. RIASSUNTO LEGGI FONDAMENTALI DEL CAMPO ELETTRICO STAZIONARIO Legge di Gauss ∫S D ⋅ ds = Q Conservatività ∫C E ⋅ dl = 0 Relazione costitutiva dei mezzi materiali: D = ε E Per mezzi conduttori sorgono correnti di conduzione e si aggiunge: J =σE e per la conservazione della carica: ∫ S J ⋅ ds = 0 Nota: Queste sono le leggi fondamentali, tutto il resto che abbiamo lungamente descritto è solo una conseguenza di esse, ed è implicitamente già contenuto in esse! L’APPROSSIMAZIONE QUASI-STAZIONARIA DELLA TEORIA DEI CIRCUITI Abbiamo giustificato l’esistenza stessa della differenza di potenziale e la validità della KVL mediante ∫C E ⋅ dl = 0 e abbiamo giustificato la validità della KCL mediante S ∫ J ⋅ ds = 0 Ma queste leggi sono valide, come spiegato sin dall’inizio, solo per campi stazionari! Dovremmo quindi usarle, a rigore, solo per circuiti in regime costante (dc). Come sappiamo, in realtà queste leggi si usano anche in presenza di variazioni temporali (tensioni e correnti variabili nel tempo). Questa è la maggiore semplificazione, ovvero approssimazione, propria della Teoria dei Circuiti, detta approssimazione quasi stazionaria. L’APPROSSIMAZIONE QUASI-STAZIONARIA DELLA TEORIA DEI CIRCUITI Nell’ambito dell’approssimazione: Si assume che esista ancora la differenza di potenziale fra due punti, che sia univoca cioè indipendente dal percorso, ma che possa essere una funzione del tempo v(t); È a causa di tale generalizzazione che la grandezza differenza di potenziale viene rinominata tensione (EN: voltage) nell’ambito della teoria dei circuiti Si fa valere la KVL in ogni istante di tempo indipendentemente ∑ v (= t) k 0 ∀t Si fa valere la KCL in ogni istante di tempo indipendentemente ∑ i= k (t ) k 0 ∀t PARAMETRI CONCENTRATI Si dice inoltre che il circuito è a parametri concentrati. Infatti, gli elementi (bipoli, multipoli) non hanno dimensioni fisiche spaziali nella rappresentazione circuitale. Lo spazio non è una variabile del problema! L’elemento è caratterizzato unicamente dalla sua relazione costitutiva che lega tensione e corrente ai poli. Per esempio, per il resistore, si disegna un simbolo meramente astratto con fili ideali di connessione scrivendo: i(t) v(t ) = Ri (t ) v(t) Il parametro concentrato R riassume tutta l’eventuale informazione che può fare riferimento alla costituzione dell’oggetto fisico (lunghezza, sezione, ecc.) come abbiamo visto: R = l ma senza impatto sulla formulazione della soluzione circuitale. σA I BIPOLI DINAMICI NELLA TEORIA DEI CIRCUITI I due bipoli dinamici, induttore e condensatore, sono gli unici per i quali si applicano leggi dei campi non stazionari. Per il condensatore, si applica la conservazione della carica in condizioni dinamiche. Si assuma convenzione utilizzatori per la corrente: dQ dQ ∫ S1 J ⋅ ds = − dt −i (t ) = − dt i(t) dove S1 racchiude il conduttore 1. Allo stesso modo: 1 +Q d (−Q) d (−Q) ∫ S2 J ⋅ ds = − dt i (t ) = − dt dove S2 racchiude il conduttore 2. -Q 2 dQ d dv(t ) i (t= )= = Cv(t ) C i(t) dt dt dt ecco la ben nota relazione costitutiva a parametri concentrati della teoria dei circuiti!  082748 ELETTROTECNICA (ATM/INF sez. ROT-Z) Prof. Giordano Spadacini ELETTROMAGNETISMO (concetti di base per giustificare le relazioni costitutive della Teoria dei Circuiti) III – MAGNETOSTATICA (tutti i diritti riservati all’autore per il testo, e all’editore Pearson Education per alcune immagini tratte dal libro consigliato in bibliografia – dispensa da usare senza fini di lucro per soli per scopi didattici del Politecnico di Milano – vietata la diffusione esterna con ogni mezzo) BIBLIOGRAFIA F. T. Ulaby, Fundamentals of Applied Electromagnetics, Pearson Education Inc., 2007 Milano, XX mese 20XX CAMPO STAZIONARIO Un campo statico o stazionario è un campo vettoriale che non varia nel tempo in ogni punto dello spazio. Il concetto è in qualche misura analogo al regime costante (dc) visto nella teoria dei circuiti. Diremo rigorosamente che la derivata (derivata parziale) del campo rispetto al tempo è nulla ∂F ( x, y, z , t ) =0 ∂t Nell’elettromagnetismo la differenza fra campo stazionario e non stazionario è di importanza fondamentale, perché emergono diverse proprietà nei due casi. Descriveremo in queste slides le proprietà del campo magnetico stazionario La proprietà della materia associata al campo magnetico stazionario è la corrente stazionaria (carica in moto uniforme) già introdotta in elettrostatica (ma in quel caso era una mera conseguenza della conduzione, senza interazioni di causa col campo elettrico). CAMPI B e H Per una efficace descrizione matematica delle proprietà del campo magnetico nei materiali si introducono due campi vettoriali: Campo Induzione Magnetica o anche Campo Densità di Flusso Magnetico (EN: Magnetic Flux Density) indicato con lettera B, particolarmente utile per descrivere gli effetti, ovvero come il campo interagisce (esercita una forza) sulla corrente Unità di misura in [Ns/(Cm)]=[Vs/m2]=[T] «Tesla» Campo Magnetico indicato con lettera H particolarmente utile per descrivere le cause, ovvero come la corrente genera il campo nello spazio, anche in relazione ai diversi materiali Unità di misura in [A/m] Il fenomeno del campo magnetico è uno, è semplicemente la descrizione matematica che trae vantaggio dalla introduzione di due quantità vettoriali! RELAZIONE COSTITUTIVA DEI MEZZI MATERIALI Dipende dal mezzo materiale e stabilisce la relazione fra B e H Nei mezzi lineari isotropi è semplicemente proporzionale: B = µH La costante µ è detta permeabilità magnetica [Vs/(Am))]=[H/m] La permeabilità del vuoto è −7 µ=0 4π × 10 H/m Per i mezzi materiali si usa esprimere µ = µ r µ0 dove µr è la permeabilità relativa (adimensionale) PERMEABILITA’ RELATIVA Materiali diamagnetici: µ r è appena poco minore di 1 Materiali paramagnetici: µ r è appena poco maggiore di 1 In pratica, sia materiali diamagnetici che paramagnetici sono quasi assimilabili al vuoto Materiali ferrimagnetici e ferromagnetici: al contrario, hanno µ r elevatissime, nell’ordine delle migliaia! NONLINEARITA DEI MATERIALI FERRI/FERRO-MAGNETICI (cenno) B saturazione La relazione B(H) diventa non lineare al di sopra di un certo H valore di H (fenomeno della saturazione) saturazione In molti casi (per es. ferromagnetici duri, magneti permanenti) diventa rilevante anche un fenomeno detto ciclo di isteresi Ma non entreremo nel merito di questo argomento estremamente specialistico CAMPO B Esercita forze su cariche elettriche in moto La forza [N] esercitata su una carica puntiforme q [C] è il prodotto della carica q per il prodotto vettoriale della velocità u [m/s] con il campo B [T] valutato nel punto occupato dalla carica. La direzione del vettore forza si deduce dal prodotto vettoriale (regola della mano destra) F= m qu × B [N] Nota: Niente forza se la carica non si muove (u=0) ! CAMPO B (continua) Anziché una singola carica in movimento, si può considerare una corrente I fluente in un filo, e la legge diventa Fm I = ∫C dl × B [N] I, dl (risultante delle forze agente sul centro di massa del filo) B Campo B uniforme ortogonale a un filo di lunghezza  : Fm = BI Fm SOLENOIDALITA’ DI B Il campo B si dice solenoidale perché il flusso uscente da una superficie chiusa è nullo ∫ S B ⋅ ds = 0 Il campo elettrostatico più simile a B è la densità di corrente elettrica stazionaria J nei conduttori, che ha la stessa proprietà di solenoidalità come abbiamo visto. Le linee di forza di B (ma quindi anche di H=B/µ) sono sempre CHIUSE perché per qualunque superficie chiusa S devono sia entrare in qualche porzione sia uscire in qualche altra porzione in modo da rispettare tale legge (flusso totale nullo). S LEGGE DI AMPERE Spiega le modalità con cui la corrente genera il campo: La circuitazione di H lungo un percorso chiuso orientato C è pari al flusso del vettore densità di corrente attraverso la superficie S che ha come contorno C, ovvero la «corrente totale concatenata da C» ∫ C H ⋅ dl = ∫ J ⋅ ds = S I conc Si osservi che H ha unità in [A/m] Ricordare: lavoro e flusso (ovvero orientazione di C e normale di S) da associare con la regola della mano destra LEGGE DI AMPERE (esercizio/domanda) Soluzione: Circuitazione (senso antiorario) di H = corrente totale concatenata (uscente dal foglio) = 1 A (uscente) + 2 A (uscente) – 5 A (entrante) = – 2 A (le altre correnti in figura non sono concatenate dal percorso) LEGGE DI AMPERE: un caso particolare (Biot-Savart) Filo di lunghezza infinita percorso da corrente I Per simmetria le linee di campo sono circolari ( Φˆ versore tangente) e il campo è uniforme sulla circonferenza di raggio R centrata nel filo ∫ C H ⋅ dl = I H⋅ πR 2 perimetro del I = I cerchio H= 2π R Legge di Biot-Savart I ˆ µI ˆ H= Φ B µ= = Η Φ 2π R 2π R INDUTTORE µ0 Si consideri un toroide di materiale magnetico (non ϕ necessariamente di forma circolare) di permeabilità elevata µ>> µ0 con sezione trasversale di area A e perimetro  molto grande rispetto a √A (toroide «snello») I Sia avvolto strettamente del filo formando N spire. Sia il filo percorso da una corrente I. Siccome µ>> µ0 le linee di forza chiuse del campo magnetico sono confinate nel toroide e seguono lo sviluppo dello stesso. In altri termini il toroide è un I tubo di flusso guidato per il campo magnetico e il flusso del campo B su qualunque sezione trasversale A è lo stesso. Inoltre se il toroide è snello possiamo considerare B uniforme sulla sezione ϕ = ∫ S B ⋅ ds = BA [Tm 2 ] = [Wb] «Weber» N.B. REGOLA DELLA MANO DESTRA «USO SPECIFICO PER AVVOLGIMENTI» µ0 Per associare il verso del flusso ϕ ϕ= ∫ B ⋅ ds = S BA [Wb] I a quello della corrente in avvolgimenti, la regola della mano destra è equivalente(*) ma molto più pratica e intuitiva se intesa in questo modo: ϕ I I (*) rispetto a quella «originale» della legge di Ampere INDUTTORE: FLUSSO E FLUSSO CONCATENATO Regola mano destra per orientamento di C e ∫ µ0 Per la legge di Ampere H ⋅ dl = I conc verso di attraversamento della C corrente concatenata C NI H  = NI H=  I La corrente I concatena N volte µA il percorso C (entra Quindi ϕ BA = = µ HA = N I N volte nel foglio)  I Definiamo ora il flusso concatenato con l’avvolgimento come 2 µA Il flusso concatenato con un avvolgimento è il flusso ψ N= = ϕ N I [Wb] del campo induzione magnetica moltiplicato per N  volte (essendo N le spire dell’avvolgimento) INDUTTORE (continua) Si scopre che il rapporto fra il flusso concatenato e la corrente che lo genera (versi associati con regola della mano destra) è una costante positiva dipendente solo dalla geometria e dal numero di spire quadro, che diremo auto-induttanza ψ 2 µA L = = N >0 [Wb/A]=[H] I  ψ = LI ψ (o anche ϕ ) I MUTUO INDUTTORE µ0 Si supponga ora di avvolgere un altro filo. Sia il primo percorso da corrente I1 con N1 spire e il secondo ϕ I2 percorso da corrente I2 con N2 spire. Il senso di avvolgimento dei fili attorno al toroide ovvero i versi delle correnti siano definiti in modo da I2 comportare contributi di uguale verso (in figura, entrante nel foglio) alla corrente totale concatenata. I1 Applichiamo il comando in corrente e ragioniamo mediante sovrapposizione degli effetti: Sia I1≠0 I2=0 Si applicano le precedenti formule dell’induttore e possiamo definire una auto-induttanza per l’avvolgimento percorso da corrente che genera il flusso I1 µA ψ 1 N= = 1ϕ N12 I1 =L1 ψ1 = N12 µA  I1 I =0  2 µA ma anche osservare che il secondo avvolgimento, pur ψ 2 N= = 2ϕ N 2 N1 I1 non percorso da corrente, concatena il flusso  MUTUO INDUTTORE (continua) Possiamo quindi definire una mutua-induttanza= ψ2 µA L M = N 2 N1 I1 I =0  2 Sia ora I2≠0 I1=0 Questa volta è l’avvolgimento 2 che genera il flusso, a cui possiamo associare l’autoinduttanza ψ2 µA =L2 = N 22 I 2 I =0  1 e per l’avvolgimento 1 si definisce la mutua induttanza ψ1 µA LM = = N1 N 2 I 2 I =0  1 che risulta identica alla precedente. MUTUO INDUTTORE (continua) Per sovrapposizione abbiamo quindi una relazione lineare fra flussi concatenati e correnti costituita da due equazioni: ψ 1 L1 I1 + LM I 2 =  ψ 2 LM I1 + L2 I 2 = Ovvero in forma matriciale ψ 1   L1 LM   I1   =   ψ 2   LM L2   I 2  SEGNO DELLA MUTUA INDUTTANZA Mentre le auto-induttanze sono sempre positive, la mutua induttanza è negativa se il senso di avvolgimento dei fili attorno al toroide ovvero i versi delle correnti siano definiti in modo da comportare contributi con opposti versi alla corrente totale concatenata: µ0 Infatti siccome il verso del flusso va associato I2 alla corrente che lo genera con la regola della ϕ2 mano destra, bisogna definire due flussi opposti ϕ1 I2 ϕ1 = −ϕ2 I1 Quindi, per esempio, per I1≠0 I2=0 µA ψ2 = N 2ϕ2 = N 2 (−ϕ1 ) = − N 2 N1 I1  ψ2 µA I1 LM == − N 2 N1 > µ0 µ0 SIMILITUDINI DELLE LEGGI Campo elettrico di conduzione Campo magnetico → circuito elettrico → ??? ∫ J ⋅ ds = 0 (→corrente, KCL) ∫ B ⋅ ds = S 0 S ∫ C E ⋅ dl = 0 (→ tensione, KVL) ∫ C H ⋅ dl = 0 ∫ E ⋅ dl = C e (→ forza elettromotrice) ∫ C H ⋅ dl = I conc J =σE (→ resistore) B = µH FLUSSO come corrente magnetica Come il flusso di J è la corrente elettrica dei circuiti elettrici, così possiamo riguardare il flusso del campo induzione magnetica come una corrente magnetica nei tronchi della struttura ϕ= ∫ S B ⋅ ds = BA [Tm 2 ] = [Wb] e la solenoidalità S ∫ S B ⋅ ds = 0 implica la KCL per i flussi ∑ϕ k k =0 ϕ2 ϕ1 KCL S: ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 = 0 ϕ3 TENSIONE MAGNETICA Nei tratti della struttura privi di avvolgimento (ovvero non interessati da correnti concatenate) la legge di Ampere comporta che la circuitazione del campo magnetico è nulla. ∫C H ⋅ dl = 0 Analogamente a quanto visto nei circuiti elettrici, possiamo quindi Definire una differenza di potenziale magnetico, lavoro del campo magnetico H, che diremo tensione magnetica M [A] Affermare che le tensioni magnetiche soddisfano la KVL 2 H H H 1 2 M= ∫ H ⋅ dl = 1 H [A] M RILUTTANZA E PERMEANZA Come nei circuiti elettrici tramite J = σ E abbiamo definito la resistenza, possiamo tramite B = µ H definire la riluttanza di un tronco di lunghezza  e area della sezione trasversale A ϕ M H H  R = = = = [A/Wb]=[H −1 ] ϕ BA µ HA µ A M ϕ µA nonché il reciproco permeanza P = = [H] M  GENERATORE DI FORZA MAGNETOMOTRICE (F.M.M.) Un avvolgimento di N spire percorso da corrente elettrica I è una sorgente del campo magnetico, infatti determina una corrente concatenata nella legge di Ampere. Nell’analogia del circuito magnetico va pensato concentrato in un punto di lunghezza nulla lungo il suo tronco (posizione arbitraria), e diventa un generatore ideale di tensione magnetica M=NI che diremo generatore di forza magnetomotrice ϕ1 Ι1 Μ, ϕ ϕ1 + − M1 = N1 I1 [A] I Il verso del generatore di f.m.m. (+,-) va associato al verso della corrente concatenata (determinato dal senso di rotazione dell’avvolgimento e dal verso della corrente) con la speciale regola della mano destra mostrata in figura. Il flusso ϕ avrà convenzione dei generatori rispetto alla f.m.m. ANALOGIA DEL CIRCUITO MAGNETICO Abbiamo così stabilito una perfetta analogia formale fra il ben noto circuito elettrico adinamico e un circuito magnetico Circuito Elettrico Circuito Magnetico Tensione [V] Tensione magnetica [A] Generatore di forza elettromotrice [V] Generatore di forza magnetomotrice [A] Corrente [A] Flusso [Wb] Resistenza [Ω] Riluttanza [H-1] Conduttanza [Ω-1] Permeanza [H] Possiamo usare il circuito magnetico per calcolare i campi magnetici nelle strutture magnetiche. In particolare vogliamo calcolare le induttanze.  ESEMPIO A (CON PASSI RISOLUTIVI GENERALI) Per esemplificare, riconsideriamo il mutuo induttore su toroide unico di perimetro  già studiato in magnetostatica. Troveremo le induttanze in tre passi: µ0 Step #1: definisco il circuito magnetico: I2  M1 = N1 I1 R= M 2 = N2 I2 µA ϕ1 I2 R I1 ϕ2 ϕ1 M1 M2 ϕ2 I1 NB: la trattazione è valida anche se non è un toroide circolare! Per esempio potrebbe essere rettangolare. ESEMPIO A (continua) R Step #2 Troviamo la relazione costitutiva con comando in FMM (esercizio tipo «matrice G» dei doppi bipoli adinamici!!) ϕ1 M1 M2 ϕ1   P11 P12   M1   =   ϕ2   P21 P22   M 2  ϕ2 R R ϕ1 1 ϕ2 1 P11 = ϕ1 =P22 = ϕ1 M1 M =0 R M 2 M =0 R 2 1 M1 M2 = 0 M1 = 0 M2 ϕ2 1 ϕ1 1 P21 = =P12 = M1 M =0 R ϕ2 M 2 M =0 R ϕ2 2 1 M1 M2 ϕ= 1 ϕ= 2 ϕ= 1 ϕ= 2 R R CALCOLARE LE INDUTTANZE Le induttanze della struttura legano flussi concatenati con gli avvolgimenti e correnti (vedi la teoria in magnetostatica) ψ 1   L1 LM   I1  L1 = N12 P11  =   =LM N= 1 N 2 P12 N 2 N1 P21 ψ 2   LM L2   I 2  L2 = N 22 P22 (N.B. risulterà sempre P12= P21) Dimostrazione: ϕ1   P11 P12   M1   P11 P12   N1 I1   N1 P11 N 2 P12   I1    =     =      N 2 P22   I 2  ϕ2   21 22   2   21 22   2 2   N1 P21 P P M P P N I ψ 1   N1ϕ1   N12 P11 N1 N 2 P12   I1  =   =     ψ N  2  2 2ϕ  N 2 N1 P21 N 2 P22   I 2  2 ESEMPIO A (continua) Step #3 : 2 2 2 N1 2 µA N 2 µA L1 N1 = = P11 = N1 L2 N 22 P = =22 = 2 N 2 R  R  N1 N 2 µA LM N1 N= = 2 P12 = N1 N 2 R  Stessi risultati ottenuti a suo tempo in magnetostatica! Osservazione: Quanto vale il coefficiente di accoppiamento del mutuo induttore? LM N1 N 2 Proprietà: Le strutture magnetiche tali che ϕ1 = ϕ2 danno luogo al =k = = 1 massimo accoppiamento del mutuo induttore (o accoppiamento L1 L2 N12 N 22 perfetto) ESEMPIO B Tutti i segmenti tratteggiati hanno lunghezza D=4π cm L’area della sezione trasversale dei tronchi è A=0.01 m2 Permeabilità relativa del materiale µr=1000 (permeabilità del vuoto µ0= 4π 10−7 H/m) N1=15; N2=150; Step #1: definisco il circuito magnetico: 3R 3R −2 D D 4π 10 ϕ2 R = = = = 10 4 H −1 ϕ1 µ A µr µ0 A 1000 ⋅ 4π 10−7 0.01 M1 M2 R I tronchi di lunghezza 3D hanno riluttanza 3R (si possono anche vedere come 3 riluttanze R in serie)  ESEMPIO B (continua) 3R 3R Step #2: ϕ1 ϕ2 ϕ1   P11 P12   M1   =   M1 M2 ϕ2   P21 P22   M 2  R 3R 3R ϕ1 1 4 ϕ1 ϕ2 P11 = = = P22 = P11 M1 M =0 Req 15 R 2 M1 R M2 = 0 (per simmetria del doppio bipolo, non ϕ2 −1 −1 serve rifare tutto per P21 = = = R ⋅ 3R 15 M1 M 2 =0 4 Req 15 R 3R + Req = =R M1=0) R + 3R 4 M1 P12 = P21 ϕ1 = Req (sempre vero) R ϕ M ϕ2 = −ϕ1 − 1 = = − 1 R + 3R 4 4 Req ESEMPIO B (continua) Step #3: 2 2 4 =L1 N= 1 P11 15 = 4 6 mH 15 ⋅10 2 24 =L2 N= 2 P22 150 = 4 600 mH 15 ⋅10  1  LM =N 2 N1 P21 =150 ⋅15 ⋅  −  =−15 mH  15 ⋅104  LM 15 =k = = 0.25 L1 L2 6 ⋅ 600 MATERIALE MAGNETICO PERFETTO E’ possibile considerare tronchi di materiale magnetico perfetto con µ→∞ (modello di un materiale ferromagnetico ideale) avranno quindi una riluttanza nulla e saranno cortocircuiti ovvero conduttori magnetici ideali nel circuito magnetico ϕ  µ→∞ µ→∞ R= =0 µA M ϕ 0 ESEMPIO C Il materiale magnetico è perfetto (µ→∞) i1 I traferri in aria hanno µ0= 4π 10−7 H/m Altri dati a lato della figura. i2 Step #0: introduco io le correnti (perché mancavano nel disegno) N.B: il verso ha un impatto sul segno della mutua induttanza R ϕ1 Step #1: definisco il circuito magnetico M1 M2 =R = δ 10−3 = 108 −1 H ϕ2 −7 −4 µ0 A 4π 10 10 4π R  ESEMPIO C (continua) R Step #2: ϕ1   P11 P12   M1  ϕ1  =    M1 M2 ϕ2   P21 P22   M 2  ϕ2 R R ϕ1 2 =P11 = M1 M =0 R ϕ1 ϕ1 = M1 R/2 M1 2 ϕ2 1 R ϕ1 =P21 = M1 M =0 R 2 ϕ2 ϕ2 = 2 ϕ2 1 R =P22 = M 2 M =0 R 1 ϕ1 M2 ϕ1 1 M2 ϕ= 1 ϕ= 2 =P12 = R R M 2 M =0 R 1 ϕ2 ESEMPIO C (continua) Step #3: 4π L1 = N12 P11 2 = 1000 ⋅ 2 8 = 251.3 mH 10 2 4π 2 =L2 N= 2 P22 500= 8 31.4 mH 10 4π LM = N 2 N1 P21 = 500 ⋅1000 ⋅ 8 = 62.8 mH 10 LM 62.8 =k = = 0.71 L1 L2 251.3 ⋅ 31.4  RELAZIONE FRA MUTUO INDUTTORE E TRASFORMATORE M. I. nel dominio della frequenza: ( s = jω ) V1 sL1 I1 + sLM I 2 =  =V2 sLM I1 + sL2 I 2 Rielaboriamo l’espressione matematica: Sostituisco V2 LM nella prima eq.  V2 LM  L1 L2 − L2M L dalla seconda eq. I2 = − I1 V1 =sL1 I1 + sLM  − I1  =s I1 + M V2 sL2 L2   sL2 L2   L2   L2 kT Ld kT Otteniamo una caratterizzazione in forma ibrida del primo tipo: V1 sLd I1 + kT V2 =   V2 I  2 = − k I T 1 +  sL2 RELAZIONE FRA MUTUO INDUTTORE E TRASFORMATORE (continua) che descrive un circuito equivalente con due induttanze (non accoppiate) e un trasformatore ideale i1 kkT i2 =V1 sLd I1 + kT V2  Ld  V2 v1 1 2 L2 v2 I2 = −kT I1 +  sL2 L1 L2 − L2M LM Ld = «induttanza di dispersione» kT = «rapporto di trasformazione» L2 L2 Questo circuito è il trasformatore reale o trasformatore a induzione realizzato sin dalla fine del XIX secolo mediante mutui induttori E’ possibile eliminare le due induttanze e ottenere un trasformatore ideale? ACCOPPIAMENTO PERFETTO E TRASFORMATORE Con un mutuo induttore in cui si abbia accoppiamento perfetto (ϕ1 = ϕ2 , vedi struttura magnetica dell’ESEMPIO A) possiamo eliminare l’induttanza Ld e ottenere una notevole espressione di kT N12 N 22 N1 N 2 LM µ0 L1 = L2 = LM = = k = 1 R R R L1 L2 I2 ϕ1 I2 I1 ϕ2 L1 L2 − L2M L1 L2 (1 − k 2 ) Ld = = = L1 (1 − k 2 ) = 0 L2 L2 LM N1 N 2 N1 kT = = = I1 L2 N 22 N2 ACCOPPIAMENTO PERFETTO E TRASFORMATORE (continua) Si ottiene il modello quasi ideale N1 k/ N 2 i2 i1 privo di induttanza di dispersione e in cui il rapporto di trasformazione v2 v1 1 2 L2 è semplicemente il rapporto fra il numero di spire degli avvolgimenti L’induttanza parallelo non è mai eliminabile e spiega un fatto molto importante: il trasformatore reale (a induzione) non funziona in corrente continua (dc) Infatti, a regime costante i1 N1 k/ N 2 i2 si ha un cortocircuito per cui: v1 = 0 1 2 v2 = 0