Anneau de Polynômes à une Indéterminée PDF

Chapitre 5 Anneau de Polynômes à une Indéterminée Dans toute la suite, A désigne un anneau commutatif (unitaire et non trivial). 5.1 Construction 5.1.1 Construction et Définitions Définitions 5.1 - On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans l’anneau A toute suite (an...

Chapitre 5 Anneau de Polynômes à une Indéterminée Dans toute la suite, A désigne un anneau commutatif (unitaire et non trivial). 5.1 Construction 5.1.1 Construction et Définitions Définitions 5.1 - On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans l’anneau A toute suite (an )n∈N d’éléments de A n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls. - Les éléments ai non nuls de cette suite sont appelés les coefficients du polynôme (an )n∈N. - Le coefficient non nul correspondant à l’indice le plus grand de cette suite est appelé coefficient dominant du polynôme (an )n∈N. - Le coefficient a0 est dit coefficient constant du polynôme (an )n∈N. - Si le coefficient dominant du polynôme (an )n∈N est égal à 1, on dit que (an )n∈N est un polynôme unitaire. Exemple 5.2 Soit (an )n∈N = (1, 0, −2, 1, 0,..., 0,....) la suite d’éléments de Z définie par : a0 = 1, a1 = 0, a2 = −2, a3 = 1 et an = 0 si n ≥ 4. La suite (an )n∈N est un polynôme à une indéterminée à coefficients dans l’anneau Z. Les éléments a0 = 1, a1 = 0, a2 = −2, a3 = 1 sont les coefficients du polynôme (an )n∈N ; a0 = 1 est le coefficient constant de (an )n∈N , a3 = 1 est le coefficient dominant de (an )n∈N et le polynôme (an )n∈N est unitaire (a3 = 1). On définit dans l’ensemble B des polynômes à une indéterminée à coefficients dans l’anneau A les deux opérations suivantes : - Addition : ∀P = (an )n∈N ∈ B, ∀Q = (bn )n∈N ∈ B : P + Q = (cn )n∈N est la suite d’éléments de A définie par la relation : cn = an + bn ; P + Q ∈ B car P + Q = (cn )n∈N est une suite n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls. - Produit : ∀P = (an )n∈N ∈ B, ∀Q = (bn )n∈N ∈ B : P.Q = (cn )n∈N avec : cn = ai bj ainsi i+j=n c0 = a0 b0 , c1 = a0 b1 + a1 b0 ,..., ck = a0 bk + a1 bk−1 +... + ak−1 b1 + ak b0 ,... et si ai = 0 ∀i > n1 et bj = 0 ∀j > m1 , alors ck = 0 ∀k > n1 + m1 et ainsi P.Q = (cn )n∈N est une suite n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls, i.e., P Q ∈ B. On vérifie aisément que l’ensemble B des polynômes à une indéterminée à coefficients dans A, muni de l’addition et de la multiplication définies ci-dessus, est un anneau commutatif unitaire (et non trivial) appelé anneau de polynômes à une indéterminée à coefficients dans l’anneau A. Le zéro de B est l’élément (0A , 0A ,...) et son unité est l’élément (1A , 0A , 0A ,...). 39 40 CHAPITRE 5. ANNEAU DE POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE A l’aide de l’homomorphisme injectif i :A −→ B défini par i(a) = (a, 0, 0,...), on peut identifier a avec son image i(a), A avec i(A) et considérer A comme un sous-anneau de B. Les éléments de A s’appellent polynômes constants. Notation 5.3 (Notations habituelles) - Posons X = (0, 1, 0, 0,...) ∈ B. On a X 2 = X.X = (0, 0, 1, 0, 0,...),... , X k = (0,..., 0, 1, 0, 0,...)    k fois et ainsi (0,..., 0, ak , 0,...) = (ak , 0,...)(0,..., 0, 1, 0,...) = (ak , 0,...)X k. Soit P = (a0 , a1 ,..., an , 0, 0,...) un élément de B. En utilisant l’identification de a avec son image i(a) = (a, 0, 0,...), on a P = (a0 , 0,...) + (0, a1 , 0,...) +... + (0,..., 0, an , 0,...) = a0 + a1 X +... + an X n. Ainsi P (X) = a0 + a1 X +... + an X n = 0 si, et seulement si, a0 =... = an = 0. - Vu la notation utilisée ci-dessus, on désigne l’anneau B par A[X]. Dans tout ce qui suit, nous n’allons adopter que ces notations. n Définition 5.4 Soit P (X) = ai X i = a0 + a1 X +... + an X n un polynôme non nul de A[X]. On i=0 appelle degré du polynôme P, noté degP, le plus grand entier k tel que ak est non nul. Ainsi deg P = 0 si, et seulement si, P est un polynôme constant non nul. Si P est le polynôme nul, on pose deg P = −∞ et on convient que ∀n ∈ N, −∞ ≤ n et que −∞ + n = −∞. 5.1.2 Propriétés Proposition 5.5 Si P et Q sont des polynômes de A[X], alors (i) deg(P + Q) ≤ sup(deg P, deg Q). (ii) deg(P.Q) ≤ deg P + deg Q. (iii) U(A) ⊂ U(A[X]), où U(A[X]) désigne le groupe des éléments inversibles de A[X]. Remarque 5.6 L’inégalité (ii) peut être stricte ainsi que l’inclusion (iii). En effet, considérons P = 2X, Q = 2X + 1 ∈ (Z/4Z)[X]. On a P.Q = 2X et ainsi deg P Q < deg P + deg Q. On voit aussi que Q est inversible dans (Z/4Z)[X] ((1 + 2X)(1 + 2X) = 1) et ainsi U(Z/4Z) U((Z/4Z)[X]). Proposition 5.7 Si A est intègre, alors (i) A[X] est un anneau intègre (en particulier, si A = K est un corps, alors K[X] est intègre). (ii) deg(P.Q) = deg P + deg Q, ∀P, Q ∈ A[X] (en particulier, si A = K est un corps). (iii) U(A[X]) = U(A) (en particulier si A = K est un corps, alors U(K[X]) = K ∗ = K − {0}). Preuve. Montrons par exemple (ii). Si P = 0 ou Q = 0 alors (ii) est évidente. Supposons alors que P = 0, Q = 0 et notons deg P = n et deg Q = m. Posons P = a0 + a1 X +... + an X n et n+m Q = b0 + b1 X +... + bm X m, alors P Q = ck X k et cn+m = an bm = 0 car an = 0 et bm = 0 et A k=0 est intègre 5.2 Division euclidienne Théorème 5.8 (Théorème de la division euclidienne) Soient P et S des polynômes de A[X] tels que S est non nul et le coefficient dominant de S est inversible dans A, alors il existe un, et un seul, couple (Q, R) élément de (A[X])2 tel que P = SQ + R avec deg R < deg S. En particulier, si A = K est un corps (commutatif ) et (P, S) ∈ K[X] × (K[X] − {0}), alors il existe un, et un seul, couple (Q, R) ∈ (K[X])2 tel que P = SQ + R avec deg R < deg S. 5.3. FONCTIONS POLYNÔMES 41 Preuve. Existence : - Si degP < degS, on pose Q = 0 et R = P , alors P = QS + R et deg R < deg S. - Si degP = n ≥ deg S = m, utilisons une récurrence sur n : * Si n = 0, alors m = 0 d’où P = a ∈ A et S = b ∈ U(A). Si on pose Q = (b−1 a) et R = 0, alors P = QS + R avec deg R < deg S. * Supposons que ce résultat est vrai pour tous les polynômes de degré < n. n m * Soient P= ai X i un polynôme de degré n et S = bi X i un polynôme de degré m avec i=0 i=0 bm ∈ U(A). Posons T = bm P − an X n−m S, alors deg T < n et ainsi ∃Q1 , R1 ∈ A[X] tels que bm P − an X n−m S = T = Q1 S + R1 avec deg R1 < deg S donc bm P = (Q1 + an X n−m )S + R1 et comme bm ∈ U(A), alors P = QS + R avec Q = b−1 n−m ), R = b−1 R et deg R < deg S. m (Q1 + an X m 1 Unicité : Si P = Q1 S + R1 avec deg R1 < deg S et P = Q2 S + R2 avec deg R2 < deg S, alors (Q1 − Q2 )S = R2 − R1 d’où nécessairement Q1 − Q2 = 0 (si Q1 − Q2 = 0, alors, puisque le coefficient dominant de S est inversible dans A, deg(Q1 − Q2 )S ≥ deg S. Or, deg(R2 − R1 ) ≤ sup(deg R1 , deg R2 ) < deg S) alors R2 − R1 = 0 et ainsi Q1 = Q2 et R1 = R2 Exemple 5.9 1) Soient P = X 4 + 3X 3 + 2X, S = 3X 3 + 1 ∈ Z/4Z[X]. Puisque 3 ∈ U(Z/4Z), il existe un unique couple (Q, R) ∈ (Z/4Z[X])2 tel que P = QS + R avec deg R < deg S (Q = 3X + 1̄ et R = 3X + 3). 2) Dans Z/4Z[X], on ne peut pas trouver (Q, R) ∈ (Z/4Z[X])2 tel que X 3 + 1̄ = Q.(2X) + R avec deg R < 1. En effet, supposons qu’il existe (Q, R) ∈ (Z/4Z[X])2 tel que X 3 + 1̄ = Q.(2X) + R avec deg R < 1, alors, en posant R = ā ∈ Z/4Z et après identification, on a 2 ∈ U(Z/4Z), ce qui est faux. 5.3 Fonctions polynômes 5.3.1 Définition et Théorème du reste Soient (A(A, A), +,.) l’anneau des applications de A dans A (cf. chapitre 3, exemple 3.3, 7)) n n et P = ai X i ∈ A[X]. On considère l’application notée P̃ : A −→ A, α −→ P̃ (α) = ai αi. i=0 i=0 L’application P̃ est appelée fonction polynôme associée au polynôme P. Soit ϕ : A[X] −→ A(A, A) l’application définie par ϕ(P ) = P̃. On vérifie facilement que ϕ est un homomorohisme d’anneaux. Théorème 5.10 (Théorème du reste) Soient P un polynôme de A[X] et α un élément de A, alors il existe un unique polynôme Q ∈ A[X] tel que P (X) = Q(X)(X − α) + P̃ (α). Preuve. Puisque le coefficient dominant de X − α est égal à 1, alors on peut effectuer la division euclidienne de P par X − α d’où il existe un unique couple (Q, R) élément de (A[X])2 tel que : P = Q(X − α) + R avec deg R < 1, i.e., R = c ∈ A et on a : P̃ (α) = c 5.3.2 Racine d’un polynôme Définition 5.11 Soient P ∈ A[X] et α ∈ A. On dit que α est une racine (ou un zéro) de P si P̃ (α) = 0. Proposition 5.12 Soient P ∈ A[X] et α ∈ A. α est une racine de P si, et seulement si, (X − α) divise P. 42 CHAPITRE 5. ANNEAU DE POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE Preuve. Supposons que α est une racine de P , alors, d’après le théorème du reste, P (X) = Q(X)(X − α) + P̃ (α) = Q(X)(X − α) et ainsi (X − α)/P. Réciproquement, supposons que (X − α)/P , alors P (X) = Q(X)(X − α) avec Q ∈ A[X] et ainsi P̃ (α) = Q̃(α)(α − α) = 0 Proposition 5.13 Si A est intègre et P ∈ A[X] un polynôme non nul de degré n, alors le polynôme P a au plus n racines distinctes. Preuve. - Montrons d’abord, par récurrence sur m, que si α1 ,... et αm sont des racines distinctes de P , alors (X − α1 )...(X − αm )/P * Si m = 1 et α1 une racine de P , alors (X − α1 )/P (cf. la proposition 5.12). * Supposons que ce résultat est vrai pour m. * Soient P ∈ A[X], α1 ,... et αm+1 des racines distinctes de P. En utilisant l’hypothèse de récurrence, (X − α1 )...(X − αm )/P , i.e., ∃Q ∈ A[X] : P = (X − α1 )...(X − αm )Q. On a aussi P̃ (αm+1 ) = (αm+1 − α1 )...(αm+1 − αm )Q̃(αm+1 ) = 0 et puisque αm+1 − αi = 0 ∀i = 1,..., m et A est intègre, alors (αm+1 − α1 )...(αm+1 − αm ) = 0 et ainsi Q̃(αm+1 ) = 0 d’où Q = (X − αm+1 )S avec S ∈ A[X] donc P = (X − α1 )...(X − αm )(X − αm+1 )S. - Supposons que α1 ,... et αm sont des racines distinctes de P et que m > n, alors (X − α1 )...(X − αm )/P d’où ∃Q ∈ A[X] : P = (X − α1 )...(X − αm )Q ainsi n = deg P = m + deg Q ce qui contredit le fait que m > n Corollaire 5.14 Si A est un anneau intègre et infini, alors l’homomorphisme d’anneaux ϕ : A[X] −→ A(A, A), défini par ϕ(P ) = P̃ , est un homomorphisme injectif. Remarque 5.15 1) Le résultat de la proposition 5.13 est faux si A n’est pas intègre. En effet, P (X) = 2̄X ∈ (Z/4Z)[X] est un polynôme de degré 1 ayant 2 racines (P̃ (0̄) = P̃ (2̄) = 0̄). 2) En général et même si A est un corps, on peut avoir P̃ = 0 sans que P soit nul, (i.e., on peut avoir ϕ non injectif). En effet, soit P = X p − X ∈ (Z/pZ)[X], où p est un nombre premier. On a P = 0, cependant, ∀a ∈ Z/pZ : P̃ (a) = ap − a = 0 (Petit théorème de Fermat) et ainsi P̃ est nulle. 5.4 Polynôme dérivé Soit K un corps (commutatif). Définition 5.16 Soit P = a0 +a1 X +a2 X 2 +...+an X n un polynôme de K[X]. On appelle polynôme ′ dérivé de P le polynôme P = a1 + 2a2 X +... + nan X n−1 Proposition 5.17 Si P , Q sont deux polynômes de K[X] et a ∈ A, alors ′ ′ ′ 1) (P + Q) = P + Q ′ ′ ′ 2) (P Q) = P Q + P Q ′ ′ 3) (aP ) = aP ′ Remarque 5.18 Soit K un corps de caracéristique nulle. Si Le polynôme dérivé P d’un polynôme P ∈ K[X] est nul, alors P est un polynôme constant. Cependant, ce résultat est faux si carK = p = 0 (exemple : P = X p ∈ (Z/pZ)[X], où p est premier, P ′ = pX p−1 = 0). ′ On définit le polynôme dérivé P (k) d’ordre k de P comme suit : P (0) = P, P (1) = P et P (k+1) = ′ (P (k) ) pour k ≥ 2. 5.4. POLYNÔME DÉRIVÉ 43 Proposition 5.19 (Formule de Leibnitz) Soient K un corps, P et Q deux élements de K[X], k alors (P.Q)(k) = Cki P (i) Q(k−i) pour tout entier naturel k. i=0 Preuve. Utilisons une récurrence sur k : * Pour k = 0 et k = 1, le résultat est trivial. * Supposons que le résultat est vrai pour k. k k ′ ′ * Pour k + 1 : (P.Q)(k+1) = ((P.Q)(k) ) = ( Cki P (i) Q(k−i) )′ = Cki (P (i) Q(k−i) ) i=0 i=0 k k ′ ′ = Cki ((P (i) ) Q(k−i) + P (i) (Q(k−i) ) ) = Cki (P (i+1) Q(k−i) + P (i) Q(k+1−i) ) i=0 i=0 k k k+1 k = Cki P (i+1) Q(k−i) + Cki P (i) Q(k+1−i) = Ckj−1 P (j) Q(k+1−j) + Cki P (i) Q(k+1−i) i=0 i=0 j=1 i=0 k+1 k+1 k+1 = Cki−1 P (i) Q(k+1−i) + Cki P (i) Q(k+1−i) = (Cki−1 + Cki )P (i) Q(k+1−i) i=0 i=0 i=0 k+1 = i Ck+1 P (i) Q(k+1−i) (car Cki−1 + Cki = Ck+1 i ) i=0 Théorème 5.20 (Formule de Taylor) Soit K un corps de caractéristique nulle. n P (k) (α) Si P ∈ K[X] est de degré n et α est un élément de K, alors P (X) = k! (X − α)k et ainsi k=0 (X − α)m divise P si, et seulement si, P̃ (α) =... = P (m−1) (α) = 0. Preuve. - Vu la linéarité de la dérivation, il suffit de montrer la formule de Taylor pour le polynôme r ′ Q(X) = Xr. On a Xr = ((X − α) + α)r = Crk (X − α)k αr−k. D’autre part, on a Q (X) = rX r−1 k=0 et Q(k) (X) = r(r − 1)...(r − k + 1)X r−k  = k!Crk X r−k d’où Q(k) (α) = k!C k αr−k. Puisque carK = 0, r r  Q (k) (α)  Q(k) (α) alors k!.1K est inversible dans K et ainsi Crk αr−k = k! , alors Q(X) = k! (X − α)k. k=0 m−1 P (k) (α) - Soit m ≤ n, alors, d’après la formule de Taylor, P (X) = k! (X −α)k +(X −α)m Q(X), où k=0 n−m m−1 P (m+k) (α) P (k) (α) Q(X) = (m+k)! (X − α)k ∈ K[X]. On a deg( k! (X − α)k ) < m ainsi Q(X) et R(X) = k=0 k=0 m−1 P (k) (α) k! (X − α)k sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P (X) par k=0 m−1 P (k) (α) (X − α)m dans K[X], alors (X − α)m /P (X) si, et seulement si, R(X) = k! (X − α)k = 0, k=0 i.e., si, et seulement si, P̃ (α) =... = P (m−1) (α) =0 Définition 5.21 Soient P ∈ A[X], α ∈ A et m ∈ N∗. On dit que α est une racine de P d’ordre de multiplicité m si (X − α)m divise P et (X − α)m+1 ne divise pas P. 44 CHAPITRE 5. ANNEAU DE POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE Théorème 5.22 Soient P ∈ A[X], α ∈ A et m ∈ N∗. Les deux propositions suivantes sont équiva- lentes : (i) α est une racine de P d’ordre de multiplicité m. (ii) Il existe un polynôme Q ∈ A[X] tel que P = (X − α)m Q et Q̃(α) = 0. Ainsi, si K est un corps de caractéristique nulle, P ∈ K[X] de degré n et α un élément de K. Alors α est une racine de P d’ordre de multiplicité égale à un entier m > 0 si, et seulement si, P̃ (α) =... = P (m−1) (α) = 0 et P (m) (α) = 0. Preuve. Montrons que les propriétés (i) et (ii) sont équivalentes. Supposons que α est une racine de P d’ordre de multiplicité m, i.e., (X − α)m divise P et (X − α)m+1 ne divise pas P d’où il existe un polynôme Q ∈ A[X] tel que P = (X − α)m Q. Alors, Q̃(α) = 0 car si Q̃(α) = 0, X − α/Q et par conséquent (X − α)m+1 /P. Réciproquement, supposons qu’il existe un polynôme Q ∈ A[X] tel que P = (X − α)m Q et Q̃(α) = 0. Effectuons la division euclidienne de Q par X − α alors ∃!(Q1 , R1 ) ∈ (A[X])2 : Q = (X − α)Q1 + R1 (R1 = Q̃(α) = 0) d’où P = (X − α)m+1 Q1 + R1 (X − α)m alors Q1 et R1 (X − α)m sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P par (X − α)m+1 (deg R1 (X − α)m < m + 1) et R1 (X − α)m = 0 (car le coefficient dominant de (X − α)m est 1 et R1 = Q̃(α) = 0) alors (X − α)m /P et (X − α)m+1 ∤ P. D’autre part, si K est un corps de caractéristique nulle, P ∈ K[X] de degré n et α un élément de K, alors α est une racine de P d’ordre de multiplicité égale à m si, et seulement si, (X − α)m divise P et (X − α)m+1 ne divise pas P , i.e., si, et seulement si, P̃ (α) =... = P (m−1) (α) = 0 et P (m) (α) = 0 (cf. théorème 5.20) Soient A un anneau intègre, P et Q deux éléments de A[X]. On rappelle que : - Q/P si P = QS avec S ∈ A[X]. - Un polynôme P ∈ A[X] est irréductible si P est non nul, non inversible et les seuls diviseurs de P sont les éléments inversibles et les associés de P ; i.e., P = 0, P ∈ / U(A) et si Q/P , alors Q ∈ U(A[X]) = U(A) ou Q = uP , avec u ∈ U(A[X]) = U(A). En particulier, si A = K est un corps (commutatif), Un polynôme P ∈ K[X] est irréductible si P est non constant et les seuls diviseurs de P sont les constantes non nulles et les associés de P ; i.e., deg P ≥ 1 et si Q/P , alors Q ∈ U(K[X]) = K ∗ ou Q = uP , avec u ∈ K ∗. Exemple 5.23 Le polynôme X 2 − 2 est irréducible dans Z[X] (on dit aussi irréductible sur Z) mais X 2 − 2 n’est pas irréductible dans R[X]. Exercice 5.24 1) Soient A un anneau intègre et P ∈ A[X] de degré 2. Montrer que si P admet une racine dans A, alors P n’est pas irréductible. Montrer que la réciproque est fausse. 2) Soient K un corps et P ∈ K[X] de degré 2 ou 3. Montrer que P est irréductible dans K[X] si, et seulement si, P n’a pas de racines dans K. Proposition et Définition 5.25 Soit K un corps (commutatif ). Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) Tout polynôme non constant de K[X] possède au moins une racine. (ii) Tout polynôme non constant de K[X] est scindé dans K[X]. (iii) Les seuls polynômes irréductibles dans K[X] sont les polyômes de degré 1. Si K vérifie l’une de ces propositions, on dit que K est un corps algébriquement clos. Exemple 5.26 C est un corps algébriquement clos. Dans C[X], Les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1. (Théorème de d’Alembert-Gauss). 5.5. ARITHMÉTIQUE DANS K[X] 45 Exercice 5.27 On se propose de montrer que les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degrés 1 et les polynômes aX 2 + bX + c ∈ R[X] de degrés 2 tels que ∆ = b2 − 4ac < 0. 1) Montrer que si P, Q ∈ R[X], alors Q divise P dans R[X] si, et seulement si, Q divise P dans C[X]. (Ind : Utiliser l’unicité du quotient et du reste de la division euclidienne de P par Q dans C[X]). 2) Soit P = a0 + a1 X +... + an X n ∈ R[X]. i) Vérifier que si α ∈ C, alors P (ᾱ) = P (α) et en déduire que si α ∈ C est une racine de P d’ordre de multiplicité égale à m, alors ᾱ est aussi une racine de P d’ordre de multiplicité égale à m. ii) En utilisant les questions 1) et 2) i), montrer que les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degrés 1 et les polynômes aX 2 + bX + c ∈ R[X] de degrés 2 tels que ∆ = b2 − 4ac < 0. 5.5 Arithmétique dans K[X] Théorème 5.28 Si K est un corps (commutatif), alors K[X] est un anneau principal. Preuve. Il est évident que K[X] est un anneau intègre. Soit I un idéal de K[X] tel que I = {0} (si I = {0}, alors I = (0) est principal). On considère l’ensemble N = {deg P/P ∈ I − {0}}. N est une partie non vide de N et par suite N possède un plus petit élément qu’on note n. Soit P ∈ I : deg P = n. Montrons que I = (P ). Puisque P ∈ I, (P ) ⊂ I. D’autre part, soit S∈ I, en effectuant la division euclidienne de S par P , on obtient S = P Q + R avec (Q, R) ∈ (K[X])2 et deg R < deg P = n. Comme R = S − P Q ∈ I et degR < degP = n, R = 0 (n est le plus petit élément de N) Corollaire 5.29 Soient K un corps (commutatif), P et Q deux polynômes éléments de K[X]. (i) P et Q admettent un pgcd et un ppcm et, * P ∧ Q = D si, et seulement si, (P ) + (Q) = (D). * P ∨ Q = M si, et seulement si, (P ) ∩ (Q) = (M). (ii) P et Q sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe U et V , deux polynômes éléments de K[X], tels que UP + V Q = 1.(Théorème de Bezout). (iii) Soit S un polynôme élément de K[X]. * Si P ∧ Q = 1 et P ∧ S = 1, alors P ∧ QS = 1. * Si P/QS et P ∧ Q = 1, alors P/S (Théorème de Gauss). * Si Q/P et S/P et Q ∧ S = 1, alors QS/P. (iv) * Si P est non constant, alors P s’écrit sous la forme P = P1...Pr , où P1 ,..., Pr sont des polynômes irréductibles, non nécessairement distincts, éléments de K[X]. * Si P est non constant et P possède une autre décomposition de type P = Q1...Qs , où Q1 ,..., Qs sont des polynômes irréductibles, éléments de K[X], alors r = s et il existe une permutation σ de Sr telle que Pi et Qσ(i) sont associés pour tout i ∈ {1,..., r}. (v) Les propositions suivantes sont équivalentes : * P est irréductible. * P est premier, i.e. Si P/QS, avec Q, S ∈ K[X], alors P/Q ou P/S. * (P ) est un idéal premier de K[X] et P = 0. * (P ) est un idéal maximal de K[X]. β β (vi) Si P = P1α1...Prα1 , Q = P1 1...Pr 1 ∈ K[X], avec P1 ,..., Pr des polynômes irréductibles de K[X], Pi = Pj si i = j et αi ≥ 0, β i ≥ 0, alors P ∧ Q = P1λ1...Prλ1 , λi = min{αi , β i } pour tout µ µ i ∈ {1,..., r} et P ∨ Q = P1 1...Pr r où µi = max{αi , β i } pour tout i ∈ {1,..., r}. 46 CHAPITRE 5. ANNEAU DE POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE Preuve. Comme K[X] est principal, il suffit d’appliquer la proposition 4.15 pour (i), le théorème 4.16 pour (ii), la proposition 4.17 pour (iii), le théorème 4.18 pour (iv), la proposition 4.13, pour (v) et le théorème 4.20 pour (vi) Algorithme d’Euclide Proposition 5.30 Soient P et S deux polynômes, non nuls, éléments de K[X] tels que degS ≤ degP et S ne divise pas P. Alors P ∧ S = S ∧ R, où R est le reste de la division euclidienne de P par S. Preuve. Même démonstration que celle de la proposition 1.23 Algorithme 5.31 (Algorithme d’Euclide dans K[X]) Soient P et S deux polynômes non nuls, éléments de K[X], tels que degS ≤ degP et S ne divise pas P. Alors, un pgcd de P et S est le dernier reste non nul obtenu en appliquant l’algorithme d’Euclide. Cet algorithme consiste à : * Effectuer la division euclidienne de P par S : P = SQ1 + R1 * Effectuer la division euclidienne de S par R1 : S = R1 Q2 + R2 * Effectuer la division euclidienne de R1 par R2 : R1 = R2 Q3 + R3 ··· La suite (Ri ) est telle que deg Ri+1 < deg Ri tant que les Ri sont non nuls. Ainsi il existe n : Rn = 0 et Rn+1 = 0. D’autre part, on a ,d’après la proposition précédente, P ∧ S = S ∧ R1 =... = Rn−1 ∧ Rn = Rn. Exemple 5.32 1) Soient P = 4X 3 + 2X 2 + X + 1 et S = X 3 + 4X 2 deux polynômes de Z/5Z[X]. Utilisons l’algorithme d’Euclide pour déterminer P ∧ Q. On a P = SQ1 + R1 avec Q1 = 4 et R1 = X 2 + X + 1̄, S = R1 Q2 + R2 avec Q2 = X + 3̄ et R2 = X + 2̄, R1 = R2 Q3 + R3 avec Q3 = X + 4 et R3 = 3̄, R2 = R3.Q4 + R4 avec Q4 = 2X + 4̄ et R4 = 0̄. Ainsi, P ∧ Q = 1̄ (P ∧ Q = 3̄ et 3̄ est inversible dans Z/5Z). D’autre part, On a 1̄ = 2̄.3̄ = 2̄.R3 = 2̄(R1 − R2 Q3 ) = 2̄(R1 − (S − R1 Q2 )Q3 ) = 2̄(R1 (1 + Q2 Q3 ) − SQ3 ) = 2̄((P − SQ1 )(1 + Q2 Q3 ) − SQ3 ) = (2̄(1 + Q2 Q3 ))P + (2̄(−Q1 − Q3 − Q1 Q2 Q3 ))S = (2X 2 + 4X + 1)P + (2X 2 + 2X + 3)S et ainsi, en posant U = 2X 2 + 4X + 1, V = 2X 2 + 2X + 3, on a UP + V S = 1. 2) Aussi, comme Z/5Z[X] est principal, tout polynôme non constant P , élément de Z/5Z[X], se décompose en produit de polynômes irréductibles et deux décompositions de P en produit de polynômes irréductibles ne diffèrent que par l’ordre des facteurs et par des constantes non nuls près. Soit, par exemple, P = 4X 3 + 2X 2 + X + 3 ∈ Z/5Z[X], alors P = (X + 1)(X + 4)(4X + 2) avec X + 1, X + 4 et 4X + 2 sont irréductibles dans Z/5Z[X]. 5.6 Polynômes irréductibles à coefficients dans un anneau principal Dans toute cette section, l’anneau A est supposé être principal. Proposition 5.33 Soient K le corps des fractions de A et P un polynôme non constant de A[X]. Si P = QS avec Q, S ∈ K[X], alors il existe λ un élément non nul de K tel que λQ et λ−1 S appartiennent à A[X] et ainsi si P est irréductible dans A[X], alors P est irréductible dans K[X]. r s ai i bi i Preuve. Soit P = QS avec Q, S ∈ K[X]. on a Q = αi X et S = βi X , où i=0 i=0 ai , bi ∈ A, αi , β i ∈ A∗. Posons a = ppcm(α0 ,..., αr ) et b = ppcm(β 0 ,..., β s ), alors aQ = Q1 ∈ A[X] bS = S1 ∈ A[X] et abP = Q1 S1. Posons c = ab et supposons que c n’est pas inversible (si c est 5.6. POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES À COEFFICIENTS DANS UN ANNEAU PRINCIPAL 47 inversible dans A, a et b sont inversibles dans A et ainsi Q = a−1 Q1 , S = b−1 S1 ∈ A[X]), alors c = p1... pt avec p1 ,... , pt irréductibles dans A. Montrons, par l’absurde, que p1 divise tous les r s coefficients de Q1 ou p1 divise tous les coefficients de S1 : Posons Q1 = dj X j et S1 = ej X j j=0 j=0 et supposons que p1 ne divise pas tous les coefficients de Q1 et p1 ne divise pas tous les coefficients de S1. Soient dk et el les coefficients respectivement de Q1 et S1 ayant les plus petits indices et tels que p1 ∤ dk et p1 ∤ el , alors p1 ne divise pas le coefficient fk+l de X k+l dans Q1 S1. En effet, fk+l = d0 ek+l + d1 ek+l−1 +... + dk el +... + dk+l−1 e1 + dk+l e0 et comme p1 divise tous les termes de cette expression sauf dk el , alors p1 ne divise pas fk+l ce qui est absurde car c divise tous les coefficients de Q1 S1. Ainsi p1 divise tous les coefficients de Q1 ou p1 divise tous les coefficients de S1. Si p1 divise tous les coefficients de Q1 (de même pour le cas où p1 divise tous les coefficients de S1 ), alors ∃Q′1 ∈ A[X] : Q1 = p1 Q′1 , p1... pt P = p1 Q′1 S1 et p2... pt P = Q′1 S1. En reprenant le même raisonement pour p2 ,..., et pt , on obtient, P = Q2 S2 avec Q2 , S2 ∈ A[X]. Vu que pour passer de Q à Q2 , on n’a utilisé que la division par des éléments non nuls de A alors ∃λ ∈ K : Q2 = λQ et aussi S2 = λ−1 S. Soient P un polynôme non constant et irréductible dans A[X] et Q ∈ K[X] tels que Q/P , alors ∃S ∈ K[X] : P = QS d’où il existe λ ∈ K ∗ tel que λQ, λ−1 S ∈ A[X] et P = (λQ)(λ−1 S), alors λQ = u ∈ U(A) ou λQ = uP avec u ∈ U(A) (car P est irréductible dans A[X]) et ainsi Q = uλ−1 ∈ K ∗ ou Q = vP avec v ∈ K ∗ (v = uλ−1 ) Définition 5.34 Soit P = a0 + a1 X +... + an X n un polynôme non constant de A[X]. On appelle contenu de P et on note c(P) un pgcd des coefficients de P ; i.e., c(P ) = pgcd(a0 ,..., an ). On dit que le polynôme P est primitif dans A[X] si c(P ) = 1. Exemple 5.35 Le polynôme 3X 2 + 4X + 12 ∈ Z[X] est primitif mais 4X + 12 ne l’est pas. Remarque 5.36 Soit P = a0 + a1 X +... + an X n un polynôme non constant de A[X]. Si P n’est pas primitif dans A[X], alors P n’est pas irréductible. En effet, c(P )/P et c(P ) n’est ni inversible (car P n’est pas primitif) ni associé à P (car deg(c(P )) = 0 et deg P ≥ 1). Exercice 5.37 Soient A un anneau principal et P ∈ A[X] primitif non constant. Montrer que si a ∈ A divise P , alors a ∈ U(A). Les deux résultats suivants donnent deux critères d’irréductibilité des polynômes à coefficients dans un anneau principal. Soient A un anneau principal, p un élément de A et ϕ l’application de A[X] vers (A/(p))[X] n n définie par ϕ( ai X i ) = ai X i , où ai est la classe de ai modulo l’idéal (p). (ϕ(P ) est appelée la i=0 i=0 réduction modulo p du polynôme P ). Il est évident que ϕ est un homomorphisme d’anneaux. n n Soit P = ai X i ∈ A[X] de degré n, alors deg(ϕ(P )) = ai X i ≤ n et on a deg(ϕ(P )) = i=0 i=0 deg(P ) si, et seulement si, an = 0̄, i.e. p ∤ an. Proposition 5.38 (Réduction modulo p) Soient p un élément premier de A, ϕ l’homomorphisme n n d’anneaux de A[X] vers (A/(p))[X] défini par ϕ( ai X i ) = ai X i , où ai est la classe de ai modulo i=0 i=0 n l’idéal (p) et P = ai X i ∈ A[X] un polynôme primitif de degré n ≥ 1 tel que p ∤ an. i=0 Si ϕ(P ) est irréductible dans (A/(p))[X], alors P est irréductible dans A[X]. 48 CHAPITRE 5. ANNEAU DE POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE Preuve. Puisque deg P ≥ 1, P est non nul et non inversible. Soit Q ∈ A[X] : Q/P , alors ∃S ∈ A[X] : m l P = QS. Posons Q = bi X i avec bm = 0 et S = ci X i avec cl = 0. Puisque p ∤ an , p ∤ bm et i=0 i=0 p ∤ cl (an = bm cl ), ainsi deg ϕ(Q) = deg Q et deg ϕ(S) = deg S. Comme ϕ(P ) = ϕ(QS) = ϕ(Q)ϕ(S) et A/(p) est intègre (p est premier), alors ϕ(Q) ∈ U((A/(p)[X]) = U(A/(p)) ou ϕ(S) ∈ U((A/(p)[X]) = U(A/(p)) (ϕ(P ) est irréductible dans (A/(p))[X]) et par suite Q = bm ∈ A ou S = cl ∈ A (car deg ϕ(Q) = deg Q et deg ϕ(S) = deg S). Comme P est primitif, Q ∈ U(A) ou S ∈ U(A) (cf. exercice 5.37) et ainsi P est irréductible dans A[X] Exemple 5.39 Le polynôme P = X 3 + X + 15 est irréductible dans Q[X]. En effet, P = X 3 + X + 15 ∈ Z[X] (Z est principal) et P est primitif. On prend p = 2 un nombre pre- mier et on note ϕ(P ) la réduction modulo 2 de P. On a ϕ(P ) = X 3 + X + 1̄ ∈ (Z/2Z)[X]. Puisque Z/2Z est un corps, deg ϕ(P ) = 3 et ϕ(P ) = X 3 + X + 1̄ n’a pas de racines dans (Z/2Z), ϕ(P ) est irréductible dans (Z/2Z)[X] et par suite P = X 3 + X + 15 est irréductible dans Z[X] et ainsi P = X 3 + X + 15 est irréductible dans Q[X] car Q = F r(Z) (cf. proposition 5.33). Remarque 5.40 1) L’exemple suivant montre que la condition p ∤ an est importante : soit P = 2X 2 + X − 1 ∈ Z[X]. En posant p = 2, on a ϕ(P ) = X + 1̄ ∈ Z/2Z[X] est irréductible dans Z/2Z[X]. Cependant, P = 2X 2 + X − 1 n’est pas irréductible dans Z[X] (X + 1/2X 2 + X − 1). 2) La réciproque de la proposition précédente est fausse. En effet, soit P = X 2 + 2 ∈ Z[X]. En posant p = 2, ϕ(P ) = X 2 ∈ Z/2Z[X], p = 2 ∤ 1 = an et on a P est irréductible dans Z[X] mais, ϕ(P ) = X 2 n’est pas irréductible dans Z/2Z[X]. Proposition 5.41 (Critère d’Eisenstein) Soient A un anneau principal, K son corps des frac- tions et P = a0 + a1 X +... + an X n un polynôme non constant et primitif de A[X]. On suppose qu’il existe p un élément premier de A tel que : (i) p/ai ∀i = 0, 1,..., n − 1, (ii) p ∤ an et (iii) p2 ∤ a0. Alors P est irréducible dans A[X]. Preuve. Puisque deg P ≥ 1, P est non nul et non inversible. Soit Q ∈ A[X] : Q/P alors ∃S ∈ A[X] : m l P = QS. Posons Q = bi X i avec bm = 0 et S = ci X i avec cl = 0. i=0 i=0 Supposons que deg Q ≥ 1 et deg S ≥ 1. Comme p/a0 = b0 c0 , p/b0 ou p/c0 (p est premier) et puisque p ∤ an , p ∤ bm et p ∤ cl (an = bm cl ). On suppose que p/b0 (de même si p/c0 ). Soient N = {i ∈ {0,..., m}/ p ∤ bi } et r = inf N (N = ∅ car m ∈ N). On a r ≤ m < n (m < n car n = m + l et l ≥ 1) d’où p/ar. D’autre part, ar = br c0 + bi cj et comme p/ar et p/bi , ∀i < r, p/ar − bi cj = br c0 d’où i+j=r i+j=r i