Analyyttistä geometriaa kolmessa ulottuvuudessa PDF

Tekniikan matematiikka 2 1 Markku Kuosa [email protected] Analyyttistä geometriaa kolmessa ulottuvuudessa Analyyttistä geometriaa kolmessa ulottuvuudessa Kolmiulotteisessa avaruudessa pistettä esitetään koordinaatistossa, jossa on...

Tekniikan matematiikka 2 1 Markku Kuosa [email protected] Analyyttistä geometriaa kolmessa ulottuvuudessa Analyyttistä geometriaa kolmessa ulottuvuudessa Kolmiulotteisessa avaruudessa pistettä esitetään koordinaatistossa, jossa on kolme tosiensa suhteen poikittaista akselia. Koordinaattiakselien keskiössä on origo. Pisteen esittämiseen tarvitaan siten 3 numeroarvoa. Tällaista koordinaatistosysteemiä kutsutaan karteesiseksi tai suorakulmaiseksi koordinaatistoksi. Koordinaatistoakselit on järjestetty niin että x- ja y- akselit muodostavat horisontaalisen tason ja z- akseli on pystysuora. Koordinaatisto noudattaa ns. oikeakätistä suuntausta. Tämä tarkoittaa sitä, että etusormi ja keskisormi osoittavat x- ja y- akselien positiivisiin suuntiin ja peukalo osoittaa z-akselin positiiviseen suuntaan. Muistisääntönä oikeakätinen ruuvi menee kiinni kun sitä käännetään positiiviseen z- suuntaan niin että etusormi kääntyy keskisormea kohti (vastapäivään).  z O y x Kuva Ruuvi liikkuu ylöspäin ja pyörii vastapäivään kiinni ruuvattaessa.  z P = (x, y, z) r z x O s y x y Q = (x, y, 0) Kuva kolme pisteen P koordinaattia avaruudessa. Piste avaruudessa Piste P esitetään kolmen koordinaatin yhdistelmänä P = (x, y, z). Olkoon Q piste x-y- tasossa. r on pisteen P etäisyys origosta (O) ja s on samoin pisteen Q etäisyys origosta. Kuvan kolmioista voidaan laskea + ja = + = + + Joten pisteen P etäisyys origosta on + +  z (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) r 𝑧 −𝑧 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑦 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) y x Etäisyys r pisteiden = x1, y1, z1 ja x2, y2, z2 välillä voidaan laskea Esimerkki: Näytä että kolmiolla jolla on pisteet A = (1, -1, 2), B = (3, 3, 8) ja C = (2, 0, 1) on suorakulma. Ratkaisu: Lasketaan ensin kolmion kolmen sivun pituudet: a = 𝐵𝐶 = 2−3 + 0−3 + 1−8 = 59 Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on b = 𝐴𝐶 = 2−1 + 0+1 + 1−2 = 3 mahdollista määrittää kolmion c = 𝐴𝐵 = 3−1 + 3+1 + 8−2 = 56 kulmat, kun sen kaikki sivut Kosinilain mukaan + - 2bc cos tunnetaan, tai kolmion Tässä tapauksessa = 59 = 3 + 56 = + tuntemanton sivu, kun yksi komion Joten 2bc cos täytyy olla 0. Tästä syystä cos = 0 ja = 90˚ kulma ja sen viereiset sivut C tunnetaan. Kosinilauseessa 𝛾 (Kuva)on kolmion kulma, a ja b ovat viereisten sivujen pituudet ja c vastakkaisen sivun pituus. Kaava palautuu pythagoraan lauseeseen, kun 𝛾 on suora kulma. B A Kuva Samoin kuin x-y- tasossa koordinaatiston akselit jakavat tason neljään kvdranttiin (neljännekseen), niin 3-dimensioisen koordinaatiston akselit ja niiden mukaan piirretyt tasot jakavat avaruuden kahdeksaan oktanttiin (kahdeksaan sektoriin). Yhtälö tai epäyhtälö jossa on kolme muuttujaa, määrittelee joukon pisteitä kolmiulotteisessa avaruudessa. Yksi yhtälö esittää yleensä pintaa tässä avaruudessa. Esimerkki: Yhtälö z = 0 esittää kaikkia pisteitä koorinaateilla (x, y, 0), joten se on x-y- taso. Yhtälö z = -2 esittää kaikkia pisteitä koordinaateilla (x, y, -2), joten se on vaakasuora taso joka leikkaa z- akselin kohdassa z = -2. Yhtälö x = y esittää kaikkia pisteitä (x, x, z). Tämä on pystysuora taso joka sisältää suoran x = y, x-y- tasossa.  z O y x Yhtälö x + y + z = 1 esittää kaikkia pisteitä joiden koordinaattien summa on 1. Nämä pisteet muodostavat tason joka läpäisee x-y-z -koordinaatiston akselit pisteissä (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1). Taso x + y + z = 0 puolestaan esittää tasoa, joka on saman suuntainen kuin x + y + z = 1 , mutta läpäisee origon. Kuva Taso x + y + z = 1 leikkaa x, y, ja z akselit kohdassa 1.  z (0, 0, 1) O (0, 1, 0) y x (1, 0, 0), Yhtälö esittää kaikkia pisteitä pystysuorassa sylinetrissä joka sisältää myös ympyrän x-y- tasossa. Tämän sylinterin säde on 2 ja sen akseli on sama kuin z-akseli. Kuva Osa äärettömän korkeata sylinteristä 𝑥 + 𝑦 = 4 Yhtälö z = esittää kaikkia pisteitä joilla on koordinaatit (x , y , ). Tämä pinta on paraboilinen sylinteri jonka tangentti on x-y-taso pitkin y-akselia. z x y Yhtälö esittää kaikkia pisteitä (x, y, z) etäisyydellä 5 origosta. Tämä on pallo jonka keskipiste on origo. z 5 5 O y x 5 5 On huomioitava, että yhtälöiden, jotka sisältävät muuttujia x, y ja z ei tarvitse ilmoittaa jokaista muuttujaa eksplisiittisesti. Jos joku muuttujosta puuttuu yhtälöstä, yhtälö esittää pintaa, joka on saman suuntainen puuttuvan muuttujan akselin kanssa. Tällainen pinta voi olla esim. Taso tai sylinteri. Esimerkikisi jos z puuttuu yhtälöstä, niin yhtälö esittää kolmiulotteista pintaa, joka sisältää saman yhtälön x-y- tasossa. Toisinaan yksi yhtälö ei esitä 2- tai 3- dimensioista kappaletta vaan esimerkiksi yksidimensioista kappaletta, kuten suoraa tai käyrää tai vain yhtä pistettä tai ei mitään. Esimerkki: Tunnista yhtälön kuvaaja. Ratkaisu: Koska x puuttuu yhtälöstä, niin esittää kappaletta, joka on saman suuntainen x-akselin kanssa. y-z- tasossa yhtälö esittää ympyrää jonka säde on 2 ja jonka keskipiste on (y, z) = (0, 1). 3D- avaruudessa yhtälö esittää sylinteriä jonka keskiakseli on x- akselin suuntainen ja jonka z- koordinaatti on 1 (1:n korkeudella x- akselista). Esimerkki: Millainen on yhtälön = 0 kuvaaja? Ratkaisu: Koska neliö ei voi olla negatiivinen , niin yhtälö = 0 esittää että y = 0 ja z= 1, joten yhtälö esittää pisteitä (x, 0, 1). Kaikki nämä pisteet ovat x-akselin suuntaisella suoralla ja yhden yksikön verran x-akselin yläpuolella.  z 1 O y x Kuva Sylinteri = 4 ja sen akseli = 0. Esimerkki: Millainen on yhtälön kuvaaja? Ratkaisu: Yhtälö esittää että x = 0 , y = 0 ja z = 0. Yhtälö siis esittää vain yhtä pistettä, origoa. Esimerkki: Millainen on yhtälön kuvaaja? Ratkaisu: Yhtälö ei toteudu millään reaaliluvulla x, y ja z. Joten yhtälöllä ei ole kuvaajaa. Esimerkki: Epäyhtälö z > 0 esittää kaikkia pisteitä x-y- tason yläpuolella. Esimerkki: Epäyhtälö esitää että etäisyyden neliö pisteestä (x, y, z) lähimpäään pisteesees (x, y, 0) on vähintään 4. Tähän kuuluvat kaikki pisteet sylinteripinnalla ja sen ulkopuolella. Esimerkki: Epäyhtälö sanoo että etäisyyden neliö pisteestä (x, y, z) ei ole suurempi kuin 25. Se siten esittää palloa jonka keskipiste on origossa, joten yhtälö esittää kaikkia siihen kuuluvia pisteitä säteen 5 sisällä.