Analytical Cartography (Krassanakis) Lecture 12 PDF

Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Σχολή Μηχανικών Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής Αναλυτική Χαρτογραφία Επανάληψη μαθήματος Βασίλειος Κρασανάκης...

Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Σχολή Μηχανικών Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής Αναλυτική Χαρτογραφία Επανάληψη μαθήματος Βασίλειος Κρασανάκης Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΔΑ Ακαδ. Έτος 2023-2024 Βασικές θεματικές ενότητες μαθήματος Βασικές αρχές χαρτογραφικών προβολών Συστήματα απεικονίσεων-προβολών Βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Στοιχεία χαρτομετρίας Απόδοση και σκίαση αναγλύφου Χαρτογραφική γενίκευση 2  Βασικές αρχές χαρτογραφικών προβολών 3 Χαρτογραφικά συστήματα αναφοράς Χαρτογραφικά συστήματα αναφοράς: συστήματα γεωγραφικών συντεταγμένων (φ: γεωγραφικό πλάτος, λ: γεωγραφικό μήκος) Στη σφαίρα Στο ελλειψοειδές 4  Η γεωμετρία της σφαίρας Μαθηματική σχέση σφαίρας (κέντρο συστήματος: κέντρο σφαίρας): X2 + Υ 2 + Ζ 2 = R2 Μεσημβρινή τομή: Μήκος τόξου παράλληλου: Μήκος τόξου μεσημβρινού: 5 [Πηγή εικόνων: Μπιλλήρης κ.α. 2007]  Η γεωμετρία του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ) Μαθηματική σχέση ελλειψοειδούς (αρχή συστήματος: κέντρο βάρους ΕΕΠ): (X2/α2) + (Υ2/α2) + (Ζ2/b2) =1 ρ: ακτίνα καμπυλότητας μεσημβρινού r: ακτίνα καμπυλότητας παραλλήλου N: ακτίνα κύριας καθέτου τομής 6 [Πηγή εικόνων: Βέης κ.α. 2009] Βασικά μεγέθη ΕΕΠ Ακτίνα καμπυλότητας μεσημβρινού: Ακτίνα καμπυλότητας παραλλήλου: Ακτίνα κύριας καθέτου τομής: Ακτίνα Gauss: Πρώτη εκκεντρότητα: Δεύτερη εκκεντρότητα: Επιπλάτυνση: 7 [Πηγή: Βέης κ.α. 2009] Μήκος τόξων μεσημβρινών & παραλλήλων στο ΕΕΠ Μήκος τόξου μεσημβρινού (μεταξύ γεωγραφικών πλατών φΑ και φΒ): Όπου Μο,..,Μ8: Μήκος τόξου παράλληλου (που αντιστοιχεί σε διαφορά γεωγραφικών μηκών Δλ): [Πηγή: Βέης κ.α. 2009] 8 Προσαρμογή γεωδαιτικού ελλειψοειδούς αναφοράς 9 [Πηγή εικόνας: Βέης κ.α. 2009] Χαρτογραφικές προβολές Μετάβαση από τη μαθηματική επιφάνεια στο επίπεδο της απεικόνισης Σφαίρα Ε.Ε.Π. 10 Από την επιφάνεια αναφοράς στο επίπεδο της απεικόνισης Επιφάνεια αναφοράς Επίπεδο απεικόνισης x = f(φ,λ) y = g(φ,λ) 11 Κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης Ορισμός: m = limΔS→0(Δs/ΔS) = ds/dS όπου: – dS: Μήκος στοιχειώδους γραμμής στην επιφάνεια αναφοράς – ds: Μήκος της εικόνας της στοιχειώδους γραμμής στο επίπεδο απεικόνισης Η κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης: Είναι αδιάστατο μέγεθος Έχει διαφορετικές (εν γένει) τιμές σε κάθε σημείο και διαφορετικές (εν γένει) τιμές σε κάθε διεύθυνση Όταν ισούται με τη μονάδα (m=1) τότε το μήκους της στοιχειώδους γραμμής απεικονίζεται στο επίπεδο χωρίς παραμόρφωση (ds=dS) Δεν σχετίζεται με την κλίμακα του χάρτη 12 Κύριες διευθύνσεις & κύριες κλίμακες Κύριες διευθύνσεις: Κάθετες διευθύνσεις στην επιφάνεια αναφοράς που διατηρούν κάθετες διευθύνσεις στο επίπεδο απεικόνισης Κύριες κλίμακες (m1 & m2): – Κλίμακες γραμμικής παραμόρφωσης στις κύριες διευθύνσεις – Σε ένα σημείο, οι κύριες κλίμακες αντιστοιχούν στη μέγιστη και στην ελάχιστη τιμή γραμμικής παραμόρφωσης. Συγκεκριμένα, η m1 αντιστοιχεί στη μέγιστη τιμή και η m2 στην ελάχιστη – Στις ορθές απεικονίσεις (ο άξονας συμμετρίας της αναπτυκτής επιφάνειας ταυτίζεται με τον άξονα περιστροφής): οι κύριες διευθύνσεις σε κάθε σημείο αντιστοιχούν στη διεύθυνση των μεσημβρινών και των παραλλήλων 13  Κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης σε τυχαία διεύθυνση Επιφάνεια αναφοράς Επίπεδο απεικόνισης [Πηγή εικόνων: Νάκος, 2015] 14 Γωνιακή παραμόρφωση Επιφάνεια αναφοράς Επίπεδο απεικόνισης Ορισμός γωνιακής παραμόρφωση σε διεύθυνση: ε = Ω-ω Από τα τρίγωνα προκύπτει ότι: Όταν m1 = m2 η γωνιακή παραμόρφωση είναι μηδέν (σύμμορφη απεικόνιση: δεν υπάρχει παραμόρφωση γωνιών) [Πηγή εικόνων: Νάκος, 2015] 15 Κλίμακα επιφανειακής παραμόρφωσης Ορισμός: Μ = limΔΨ→0(Δψ/ΔΨ) = dψ/dΨ όπου: – dΨ: Εμβαδόν στοιχειώδους χωρίου στην επιφάνεια αναφοράς – dψ: Εμβαδόν εικόνας στοιχειώδους χωρίου στο επίπεδο απεικόνισης Αποδεικνύεται ότι: M = m1.m2 Όταν Μ = 1 (δηλαδή όταν m1.m2 = 1) το εμβαδόν του στοιχειώδους χωρίου διατηρείται αναλλοίωτο στην απεικόνιση (ισοδύναμη απεικόνιση: δεν υπάρχει παραμόρφωση εμβαδών) 16 Έλλειψη παραμόρφωσης (Δείκτρια Tissot) [1/2] Θεωρώντας ένα στοιχειώδη κύκλο στην επιφάνεια αναφοράς αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση του στο επίπεδο είναι έλλειψη ανεξάρτητα από το νόμο της απεικόνισης Η έλλειψη παραμόρφωσης (ή δείκτρια Tissot – Tissot’ s indicatrix) αντιστοιχεί στην εικόνα (στο επίπεδο της απεικόνισης) του μοναδιαίου κύκλου (ακτίνας r=1) στην επιφάνεια αναφοράς Οι άξονες της έλλειψης αντιστοιχούν στις διευθύνσεις των κύριων κλιμάκων Ο μεγάλος άξονας(a) ισούται με την κλίμακα m 1 & ο μικρός (b) με την κλίμακα m2 17 Έλλειψη παραμόρφωσης (Δείκτρια Tissot) [2/2] 18 [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015] Θεώρημα Tissot Οι διευθύνσεις στην επιφάνεια αναφοράς (σφαίρα ή ελλειψοειδές εκ περιστροφής) στις οποίες η κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης έχει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή είναι κάθετες μεταξύ τους (κύριες διευθύνσεις) Στο επίπεδο της απεικόνισης οι κύριες διευθύνσεις απεικονίζονται κάθετες μεταξύ τους Σε κάθε σημείο στην επιφάνεια αναφοράς (σφαίρα ή ελλειψοειδές εκ περιστροφής) υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος κάθετων διευθύνσεων οι οποίες διατηρούνται κάθετες και στο επίπεδο της απεικόνισης 19 Συστήματα απεικονίσεων- προβολών 20 Βασικές αρχές συστημάτων Χαρτογραφική απεικόνιση: προβολή της επιφάνειας αναφοράς (σφαίρα ή ελλειψοειδές εκ περιστροφής) στο επίπεδο του χάρτη (χαρτογραφικό επίπεδο) Η υλοποίηση μιας χαρτογραφικής απεικόνισης βασίζεται στην αξιοποίηση του επιπέδου ή την προσαρμογή αναπτυκτών επιφανειών (οι οποίες εν συνεχεία αναπτύσσονται σε επίπεδο) Ανεξάρτητα από την επιφάνεια που χρησιμοποιείται (επίπεδο ή αναπτυκτή επιφάνεια), δεν είναι δυνατόν να διατηρούνται ταυτόχρονα τα βασικά μεγέθη (μήκη σε συγκεκριμένες διευθύνσεις, γωνίες, & εμβαδά) 21 Ταξινόμηση απεικονίσεων βάσει των αναπτυκτών επιφανειών Κυλινδρικές απεικονίσεις: – Η αναπτυκτή επιφάνεια που αξιοποιείται αντιστοιχεί σε έναν κύλινδρο Κωνικές απεικονίσεις: – Η αναπτυκτή επιφάνεια που αξιοποιείται αντιστοιχεί σε έναν κώνο Επίπεδες (ή αζιμουθιακές) απεικονίσεις: – Η επιφάνεια που αξιοποιείται αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο 22 Αναπτυκτές επιφάνειες [1/2] Κυλινδρική Κύλινδρος απεικόνιση Κωνική Κώνος απεικόνιση Επίπεδη Επίπεδο (αζιμουθιακή) απεικόνιση 23 [Πηγή εικόνων: Lapaine & Usery, 2017] Αναπτυκτές επιφάνειες [2/2] 24 [Πηγή εικόνας: https://docs.qgis.org/3.4/en/_images/projection_families.png ] Ψευδοκυλινδρικές προβολές Στις ψευδοκυλινδρικές Mollweide προβολές οι Robinson παράλληλοι εμφανίζονται σαν ευθείες γραμμές ενώ οι μεσημβρινοί Sinusoidal σαν καμπύλες γραμμές Polar Quartic [Πηγή εικόνων: http://www.geography.hunter.cuny.edu/~jochen/GTECH361/lectures/lecture04/concepts/Map%20coordinate%20systems/Classifying%20cylindrical%20and%20pseudocylindrical%20projections.htm] 25 Ταξινόμηση απεικονίσεων βάσει του προσανατολισμού των αναπτυκτών επιφανειών Ορθές απεικονίσεις: Ο άξονας συμμετρίας της αναπτυκτής επιφάνειας είναι ο ίδιος με τον άξονα περιστροφής της γης Εγκάρσιες απεικονίσεις: Ο άξονας συμμετρίας της αναπτυκτής επιφάνειας είναι κάθετος με τον άξονα περιστροφής της γης Πλάγιες απεικονίσεις: Ο άξονας συμμετρίας της αναπτυκτής επιφάνειας σχηματίζει τυχαία γωνία με τον άξονα περιστροφής της γης 26 Ορθές απεικονίσεις Κυλινδρικές Κωνικές Επίπεδες [Πηγή εικόνων: Νάκος, 2015] 27 Εγκάρσιες απεικονίσεις Κυλινδρικές Κωνικές Επίπεδες [Πηγή εικόνων: Νάκος, 2015] 28 Πλάγιες απεικονίσεις Κυλινδρικές Κωνικές Επίπεδες [Πηγή εικόνων: Νάκος, 2015] 29 Από την ορθή στην εγκάρσια απεικόνιση: Μετασχηματισμός εικόνας του πλέγματος (Παράδειγμα) Παράδειγμα: Ορθή Ψευδοκυλινδρική προβολή Mollweide Πλάγιες Εγκάρσια 30 [Πηγή εικόνων: Lapaine & Usery, 2017] Ταξινόμηση απεικονίσεων βάσει των παραμορφώσεων Σύμμορφες απεικονίσεις (προβολές): Διατήρηση γωνιών κατά την απεικόνιση (η μορφή των σχημάτων δεν αλλάζει) Ισοδύναμες απεικονίσεις (προβολές): Διατήρηση εμβαδών κατά την απεικόνιση Ισαπέχουσες απεικονίσεις (προβολές): Διατήρηση αποστάσεων (σε ορισμένες διευθύνσεις) κατά την απεικόνιση Υπενθύμιση: Για την υπόδειξη των παραμορφώσεων του πλέγματος κατά την απεικόνιση χρησιμοποιείται η έλλειψη παραμόρφωσης (δείκτρια Tissot) 31 Χαρτογραφικές προβολές Μετάβαση από τη μαθηματική επιφάνεια στο επίπεδο της απεικόνισης Οι εξισώσεις εκφράζουν το νόμο της απεικόνισης Σφαίρα Ε.Ε.Π. 32  Εικόνες πλέγματος (γενικές περιπτώσεις): Ορθογώνιες συντεταγμένες (x, y) x=f(φ,λ) x=f(λ) y=g(φ,λ) y=g(φ,λ) x=f(φ,λ) x=f(λ) y=g(φ) y=g(φ) [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015] Υπενθύμιση: Κατά μήκος ενός μεσημβρινού: λ=σταθ. 33 Κατά μήκος παράλληλου: φ=σταθ.  Εικόνες πλέγματος (γενικές περιπτώσεις): Πολικές συντεταγμένες (ρ, θ) ρ=k(φ,λ) ρ=k(φ,λ) θ=h(φ,λ) θ=h(λ) ρ=k(φ) ρ=k(φ) θ=h(φ,λ) θ=h(λ) Υπενθύμιση: [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015] Κατά μήκος ενός μεσημβρινού: λ=σταθ. 34 Κατά μήκος παράλληλου: φ=σταθ. Βασικές αρχές δημιουργίας χαρτογραφικών απεικονίσεων-προβολών [1/2] Οι χαρτογραφικές προβολές προκύπτουν μέσω γεωμετρικών ή αναλυτικών προσεγγίσεων Ο προσδιορισμός των εξισώσεων που περιγράφουν μια χαρτογραφική απεικόνιση συνδέεται με τις ιδιότητες των βασικών μεγεθών που διατηρούνται στο επίπεδο της αναπτυκτής επιφάνειας (κύλινδρος, κώνος ή επίπεδο) Βασική προσέγγιση: Αρχικά θεωρούμε μια ισαπέχουσα (διατήρηση αποστάσεων σε συγκεκριμένες διευθύνσεις) προβολή (στην αναπτυκτή επιφάνεια) και στη συνέχεια προσδιορίζουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις λαμβάνοντας υπόψη μας τις επιθυμητές ιδιότητες της προβολής 35 Βασικές αρχές δημιουργίας χαρτογραφικών απεικονίσεων-προβολών [2/2] Ο προσδιορισμός των μαθηματικών σχέσεων (ξεκινώντας από τις εξισώσεις μιας απλής ισαπέχουσας προβολής) γίνεται λαμβάνοντας τις ακόλουθες δεσμεύσεις: – Για τις σύμμορφες (διατήρηση γωνιών) προβολές: mm = m p – Για τις ισοδύναμες (διατήρηση εμβαδών) προβολές: Μ = mm·mp = 1 Για τη δημιουργία των εγκάρσιων και των πλάγιων απεικονίσεων εφαρμόζεται στροφή 90ο (στην περίπτωση των εγκάρσιων απεικονίσεων) και των αντίστοιχων στροφών (στις περιπτώσεις πλάγιων απεικονίσεων) 36  Ορθή Κυλινδρική Ισαπέχουσα Προβολή Μαθηματικές σχέσεις (στη σφαίρα): Υπολογισμός κύριων κλιμάκων (mm: κατά μεσημβρινό, mp: κατά Επιφανειακή παραμόρφωση: παράλληλο) στη σφαίρα: Μέγιστη γωνιακή παραμόρφωση: 37 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Ορθή Κυλινδρική Σύμμορφη Προβολή (Μερκατορική) [1/2] Προσδιορισμός μαθηματικών σχέσεων (σφαίρα): Από την ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα, ισχύει: Για να ικανοποιείται η ιδιότητα της συμμορφίας πρέπει: 38  Ορθή Κυλινδρική Σύμμορφη Προβολή (Μερκατορική) [2/2] Στη σφαίρα: 39 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Μερκατορική προβολή & Λοξοδρομίες Λοξοδρομία: Πορεία κατά την οποία οι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ της διεύθυνσης πλεύσης και των διευθύνσεων των μεσημβρινών είναι σταθερές (το αζιμούθιο είναι σταθερό) Στη Μερκατορική προβολή (σύμμορφη προβολή και με γωνία σύγκλισης μεσημβρινών ίση με μηδέν), οι λοξοδρομίες απεικονίζονται σαν ευθείες γραμμές 40 [Πηγή εικόνας: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/LoxodromeConstAngle.svg/500px-LoxodromeConstAngle.svg.png ] Ορθή Κυλινδρική Ισοδύναμη Προβολή [1/2] Προσδιορισμός μαθηματικών σχέσεων (σφαίρα): Από την ορθή κυλινδρική ισαπέχουσα, ισχύει: Για να ικανοποιείται η ιδιότητα της ισοδυναμίας πρέπει: 41  Ορθή Κυλινδρική Ισοδύναμη Προβολή [2/2] Στη σφαίρα: 42 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Ορθές Κυλινδρικές Προβολές: Σύγκριση παραμορφώσεων & μορφής πλέγματος Ισαπέχουσα Σύμμορφη Ισοδύναμη 43 Γεωμετρία κωνικών απεικονίσεων [1/2] Η επιφάνεια του κώνου εφάπτεται με την επιφάνεια αναφοράς (σφαίρα ή Ε.Ε.Π.) κατά μήκος ενός παράλληλου ο οποίος ονομάζεται βασικός παράλληλος (κατά μήκος του βασικού παράλληλου δεν υπάρχουν παραμορφώσεις στο επίπεδο της απεικόνισης) Η ανάπτυξη του κώνου στο επίπεδο παράγει μια κεντρική δέσμη (ημι)ευθειών (με κέντρο την κορυφή του) η οποία αντιπροσωπεύει τους μεσημβρινούς Οι παράλληλοι απεικονίζονται σαν κυκλικά τόξα ομόκεντρων κύκλων των οποίων το κέντρο ταυτίζεται με το κέντρο του κώνου 44  Γεωμετρία κωνικών απεικονίσεων [2/2] ΕΕΠ Σφαίρα ρο: πολική ακτίνα βασικού παράλληλου χ: πολική απόσταση (συμπληρωματική γωνία γεωγραφικού μήκους χ=90ο-φ) 45 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015]  Μετατροπή πολικών συντεταγμένων σε ορθογώνιες Εικόνα πλέγματος (ορθές απεικονίσεις) Βασικός παράλληλος όπου Μέσος μεσημβρινός 46 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Ορθή Κωνική Ισαπέχουσα Προβολή [1/2] Μαθηματικές σχέσεις (στη σφαίρα): Υπολογισμός κύριων κλιμάκων: 47 Ορθή Κωνική Ισαπέχουσα Προβολή [2/2] [Πηγή: Νάκος, 20111, 2015] 48 Ορθή Κωνική Σύμμορφη Προβολή (Lambert) [1/2] Προσδιορισμός μαθηματικών σχέσεων (σφαίρα): – Από την ορθή κωνική ισαπέχουσα, ισχύει: – Για να ικανοποιείται η ιδιότητα της συμμορφίας πρέπει: Προσδιορισμός k: 49  Ορθή Κωνική Σύμμορφη Προβολή (Lambert) [2/2] 50 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015]  Ορθή Ισοδύναμη Κωνική Προβολή (Albers) [1/2] Προσδιορισμός μαθηματικών σχέσεων (σφαίρα): – Από την ορθή κωνική ισαπέχουσα, ισχύει: – Για να ικανοποιείται η ιδιότητα της ισοδυναμίας πρέπει να ισχύει Μ=mmmp=1. Μετά από πράξεις η πολική ακτίνα και οι κύριες κλίμακες δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: 51 [Πηγή: Νάκος, 20111, 2015]  Ορθή Ισοδύναμη Κωνική Προβολή (Albers) [2/2] 52 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Ορθές Κωνικές Προβολές: Σύγκριση παραμορφώσεων & μορφής πλέγματος Ισαπέχουσα Σύμμορφη Ισοδύναμη 53 Γεωμετρία επίπεδων (αζιμουθιακών) απεικονίσεων Αξιοποίηση του συστήματος πολικών συντεταγμένων (ρ, θ) Στις ορθές επίπεδες (αζιμουθιακές) απεικονίσεις: – Το επίπεδο εφάπτεται στην επιφάνεια αναφοράς (σφαίρα ή Ε.Ε.Π.) στον πόλο – Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται σαν κεντρική δέσμη ευθειών με κέντρο τον πόλο (σημείο επαφής) – Οι παράλληλοι απεικονίζονται σαν (ομόκεντροι) κύκλοι με κέντρο τον πόλο (σημείο επαφής) – Ορίζεται ένας μέσος μεσημβρινός με λμ Μετατροπή πολικών σε ορθογώνιες συντεταγμένες: όπου 54 Ορθή Επίπεδη Ισαπέχουσα Προβολή (Postel) [1/3] Μαθηματικές σχέσεις (σφαίρα): [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] 55 Ορθή Επίπεδη Ισαπέχουσα Προβολή (Postel) [2/3] Προσδιορισμός κλιμάκων παραμόρφωσης κατά μεσημβρινό και κατά παράλληλο: Επιφανειακή παραμόρφωση και μέγιστη γωνιακή παραμόρφωση 56 Ορθή Επίπεδη Ισαπέχουσα Προβολή (Postel) [3/3] 57 [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015]  Ορθή Επίπεδη Σύμμορφη Προβολή (Στερεογραφική) [1/2] Γεωμετρική αρχή προβολής: Για τον προσδιορισμό των μαθηματικών σχέσεων (στη σφαίρα) λαμβάνουμε υπόψη μας ότι θ=λ (όπως και στην επίπεδη ισαπέχουσα προβολή) και με βάση τη σχέση της συμμορφίας (mm=mp) υπολογίζουμε τη μαθηματική σχέση της πολικής ακτίνας. Προκύπτει (στη σφαίρα): 58 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015]  Ορθή Επίπεδη Σύμμορφη Προβολή (Στερεογραφική) [2/2] Κλίμακες γραμμικής παραμόρφωσης κατά μεσημβρινό και κατά παράλληλο: Κλίμακα επιφανειακής παραμόρφωσης: 59 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Ορθή Επίπεδη Ισοδύναμη Προβολή (Lambert) [1/2] Για τον προσδιορισμό των μαθηματικών σχέσεων (στη σφαίρα) λαμβάνουμε υπόψη μας ότι θ=λ (όπως και στην επίπεδη ισαπέχουσα προβολή) και με βάση τη σχέση της ισοδυναμίας (Μ=mmmp=1) υπολογίζουμε τη μαθηματική σχέση της πολικής ακτίνας. Προκύπτει (στη σφαίρα): Κλίμακες γραμμικής παραμόρφωσης (κατά μεσημβρινό και κατά παράλληλο) και μέγιστη γωνιακή παραμόρφωση: 60 Ορθή Επίπεδη Ισοδύναμη Προβολή (Lambert) [2/2] 61 [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015] Ορθές Επίπεδες Προβολές: Σύγκριση παραμορφώσεων & μορφής πλέγματος Ισαπέχουσα Σύμμορφη Ισοδύναμη 62  Ορθή Γνωμονική Προβολή Βασική ιδιότητα: Απεικόνιση μέγιστων κύκλων στην επιφάνεια αναφοράς (ορθοδρομιών: στη σφαίρα αποτελούν κυκλικά τόξα κύκλων που τη χωρίζουν σε δύο ημισφαίρια) σαν ευθείες γραμμές 63 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Ορθοδρομία & Ορθή Γνωμονική Προβολή Πηγή εικόνας: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/co mmons/thumb/f/f9/LoxodromeConstAngle. [Πηγή εικόνας: Lapaine & Usery, 2017] svg/500px-LoxodromeConstAngle.svg.png 64 [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015]  Ορθή Ορθογραφική Προβολή [1/2] 65 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Ορθή Ορθογραφική Προβολή [2/2] 66 [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015] Σύγκριση γεωμετρικών αρχών: Γνωμονική, Στερεογραφική & Ορθογραφική Προβολή Γνωμονική Στερεογραφική Ορθογραφική [Πηγή εικόνας:http://www.geography.hunter.cuny.edu/~jochen/GTECH361/lectures/lecture04/concepts/Map%20coordinate%20systems/Perspective_files/image002.gif] 67 Παράδειγμα: Προβολή Bonne (Ισοδύναμη) [Πηγή εικόνων: https://en.wikipedia.org/wiki/Bonne_projection] 68 Παράδειγμα: Προβολή Robinson (Ψευδοκυλινδρική) Διατήρηση ισορροπίας ως προς τις παραμορφώσεις των βασικών μεγεθών 69 [Πηγή εικόνων: https://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_projection] Διακοπτόμενες προβολές Εφαρμογή σε παγκόσμιους χάρτες Αξιοποίηση περισσότερων κεντρικών μεσημβρινών ώστε να εξασφαλίζονται μικρές παραμορφώσεις Παράδειγμα διακοπτόμενης προβολής (Goode homolosine): 70 [Πηγή εικόνας: https://en.wikipedia.org/wiki/Goode_homolosine_projection] Αρχή δημιουργίας εγκάρσιων απεικονίσεων και εγκάρσιου συστήματος αναφοράς Οι εγκάρσιες απεικονίσεις προκύπτουν από τις αντίστοιχες ορθές όταν εφαρμοστεί στροφή 90ο στο σύστημα των γεωγραφικών συντεταγμένων (φ,λ). Στις εγκάρσιες προβολές αξιοποιείται ένα εγκάρσιο σύστημα αναφοράς (u,v) στο οποίο ο άξονας u ταυτίζεται με τον κεντρικό μεσημβρινό ενώ ο άξονας v με τον ισημερινό. Η θέση ενός σημείου προκύπτει μετά από προβολή του στον άξονα u Οι κύριες διευθύνσεις όπου λαμβάνεται η μέγιστη και η ελάχιστη [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2011, 2015] τιμή των κλιμάκων γραμμικής παραμόρφωσης δεν αντιστοιχούν στις διευθύνσεις του πλέγματος 71  Εγκάρσιο σύστημα αναφοράς Ορθές μαθηματικές σχέσεις (κεντρικός μεσημβρινός με λο=0: Greenwich): Αντίστροφες μαθηματικές σχέσεις (κεντρικός μεσημβρινός με λο=0: Greenwich): 72 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Εγκάρσια Ισαπέχουσα Προβολή (Cassini) [1/2] Η εγκάρσια ισαπέχουσα προβολή προκύπτει από την ορθή κυλινδρική προβολή μετά από εφαρμογή στροφής 90ο Σαν κεντρικός μεσημβρινός επιλέγεται ο μεσημβρινός που διέρχεται από την περιοχή μελέτης που μας ενδιαφέρει. Μ’ αυτόν τον τρόπο, η περιοχή μελέτης θα παρουσιάζει μικρές παραμορφώσεις στο επίπεδο της απεικόνισης Στην εγκάρσια ισαπέχουσα προβολή διατηρούνται οι αποστάσεις κατά τη διεύθυνση v του εγκάρσιου συστήματος αναφοράς (συνεπώς κατά τη διεύθυνση v η κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης αντιστοιχεί στη τιμή m2=1) 73  Εγκάρσια Ισαπέχουσα Προβολή (Cassini) [2/2] Μαθηματικές σχέσεις: Κλίμακες γραμμικής παραμόρφωσης: – Κατά τη διεύθυνση u: – Κατά τη διεύθυνση v: 74 [Πηγή: Νάκος, 2015]  Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή Προκύπτει από τροποποίηση της εγκάρσιας ισαπέχουσας προβολής (Cassini) ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη της συμμορφίας Μαθηματικές σχέσεις (σφαίρα): Κύριες κλίμακες: 75 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Παγκόσμια Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή 6ο Universal Transverse Mercator (UTM) Εφαρμογή της Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής σε 60 ζώνες πλάτους 6ο: Δημιουργία 60 τοπικών συστημάτων αναφοράς με παγκόσμια κάλυψη 76 [Πηγή εικόνας: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Universal_Transverse_Mercator_zones.svg/1920px-Universal_Transverse_Mercator_zones.svg.png] Πλάγια Αζιμουθιακή Ισαπέχουσα Προβολή (Hatt) [1/2] Για τη δημιουργία της πλάγιας αζιμουθιακής ισαπέχουσας προβολής αξιοποιείται ένα επίπεδο το οποίο εφάπτεται στην επιφάνεια αναφοράς Το σημείο επαφής του επιπέδου και της επιφάνειας αναφοράς ονομάζεται κέντρο προβολής Ορισμός μέσω πολικών συντεταγμένων (S,A) 77 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Πλάγια Αζιμουθιακή Ισαπέχουσα Προβολή (Hatt) [2/2] Μαθηματικές σχέσεις (σφαίρα, (φο,λο): γεωγραφικές συντεταγμένες στο σημείο επαφής): Στην πλάγια αζιμουθιακή ισαπέχουσα προβολή διατηρούνται οι αποστάσεις επί της επιβατικής ακτίνας (αποστάσεις πάνω στη διεύθυνση που ορίζεται από κάθε σημείο του χώρου κι από το σημείο επαφής) Κλίμακες γραμμικής παραμόρφωσης: Ο προσδιορισμός των μαθηματικών σχέσεων στο ελλειψοειδές έγινε από τον Hatt (1886) 78 [Πηγή: Νάκος, 2011, 2015] Διερεύνηση της μορφής του πλέγματος στο επίπεδο της απεικόνισης-προβολής Η διερεύνηση της μορφής του πλέγματος των μεσημβρινών και των παράλληλων μπορεί να βασιστεί στη μελέτη των μαθηματικών σχέσεων που περιγράφουν τις απεικονίσεις-προβολές Σταθερά μεγέθη κατά μήκος μεσημβρινού και κατά μήκος παράλληλου: – Κατά μήκος μεσημβρινού: λ=σταθερό – Κατά μήκος παράλληλου: φ=σταθερό Για τη μελέτη των αποστάσεων των εικόνων μεσημβρινών και παράλληλων μπορούμε να θεωρήσουμε σταθερές διαφορές γεωγραφικών συντεταγμένων και να μελετήσουμε (βάσει των μαθηματικών σχέσεων των προβολών) πως αυτές μεταβάλλονται στο επίπεδο της απεικόνισης 79 Παράδειγμα: Μορφή πλέγματος στην Ορθή Κυλινδρική Ισαπέχουσα Προβολή Μαθηματικές σχέσεις (στη σφαίρα): [Πηγή εικόνας: Νάκος, 2015] Κατά μήκος μεσημβρινού λ=σταθ., οπότε (από τη μαθηματική σχέση της προβολής) θα είναι x=σταθ. Συνεπώς, οι μεσημβρινοί θα απεικονίζονται σαν ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα y Κατά μήκος παράλληλου φ=σταθ., οπότε (από τη μαθηματική σχέση της προβολής) θα είναι y=σταθ. Συνεπώς, οι παράλληλοι θα απεικονίζονται σαν ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα x Για dλ=σταθ. (από από τη μαθηματική σχέση της προβολής) προκύπτει ότι το dx=σταθ. Συνεπώς, ισαπέχοντες μεσημβρινοί στην επιφάνεια αναφοράς θα ισαπέχουν στο επίπεδο της απεικόνισης Για dφ=σταθ. (από από τη μαθηματική σχέση της προβολής) προκύπτει ότι το dy=σταθ. Συνεπώς, ισαπέχοντες παράλληλοι στην επιφάνεια αναφοράς θα ισαπέχουν στο επίπεδο της απεικόνισης 80 Εφαρμογές χαρτογραφικών απεικονίσεων- προβολών και επιλογή κατάλληλης προβολής [1/2] Η διαδικασία της χαρτογραφικής απόδοσης (για οποιαδήποτε μορφή και κατηγορία χάρτη) απαιτεί την αξιοποίηση των (χαρτογραφικών) απεικονίσεων- προβολών Η επιλογή του κατάλληλου νόμου απεικόνισης γίνεται με βάση τις βασικές απαιτήσεις της εκάστοτε μελέτης- εφαρμογής Η διαδικασία της επιλογής κατάλληλης προβολής- απεικόνισης βασίζεται στη μελέτη των μεγεθών που περιγράφουν τις παραμορφώσεις των βασικών μεγεθών (γωνίες, αποστάσεις, και εμβαδά) Βασικά μεγέθη παραμορφώσεων: – Κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης (Δείκτρια Tissot) – Κλίμακα επιφανειακής παραμόρφωσης 81 Εφαρμογές χαρτογραφικών απεικονίσεων- προβολών και επιλογή κατάλληλης προβολής [2/2] Ενδεικτικά (χωρίς αυτό να αποτελεί γενικό κανόνα), ανά κατηγορία χάρτη μπορούν να επιλεχθούν οι ακόλουθες οικογένειες προβολών (βάσει των μεγεθών που διατηρούνται ή αντιστοίχως παραμορφώνονται): – Σύμμορφες προβολές: Τοπογραφικοί χάρτες – Ισοδύναμες προβολές: Θεματικές χαρτογραφικές απεικονίσεις – Ισαπέχουσες προβολές: Απεικονίσεις όπου υπάρχει η απαίτηση για διατήρηση αποστάσεων σε μια διεύθυνσης (π.χ. σεισμολογικοί χάρτες όπου απεικονίζονται επίκεντρα σεισμών) – Αζιμουθιακές προβολές (διατήρηση διευθύνσεων από συγκεκριμένα σημεία): χάρτες πλοήγησης & σχεδιασμού πλεύσης – Προβολές που δεν ανήκουν στις προηγούμενες κατηγορίες (συμβιβασμός ως προς τις παραμορφώσεις): παγκόσμιοι χάρτες 82 Εκπαιδευτικό λογισμικό για τη μελέτη των απεικονίσεων-προβολών Δυνατότητες & προϋποθέσεις λογισμικών εργαλείων για τη μελέτη των απεικονίσεων-προβολών: – Υποστήριξη διαφορετικών νόμων απεικόνισης – Υποστήριξη γεωχωρικών δεδομένων – Απεικόνιση παραμορφώσεων – Δυνατότητες παραμετροποίησης ή/και περαιτέρω επέκτασης – Υποστήριξη σε διαφορετικές πλατφόρμες λειτουργικού συστήματος – Ελεύθερη διανομή στην ακαδημαϊκή κοινότητα Υπάρχουσες λύσεις λογισμικών εργαλείων: – Λογισμικό Σ.Γ.Π. – Αυτοτελή (standalone) εργαλεία – Διαδικτυακά εργαλεία – Ψηφιακές και διαδραστικές συλλογές 83 Προβολικά συστήματα Ελλαδικού χώρου Πολυκεντρικό σύστημα Σύστημα Hatt Σύστημα Παγκόσμιας Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής (UTM) 6ο Σύστημα Παγκόσμιας Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής (UTM) 3ο Ελληνικό Γεωδαιτικό Σύστημα Αναφοράς 1987 (ΕΓΣΑ’87) 84 Πολυκεντρικό σύστημα Το Πολυκεντρικό σύστημα βασίστηκε στην εφαρμογή της Εγκάρσιας Ισαπέχουσας Προβολής (Cassini) Εφαρμογή στο ελλειψοειδές Bessel (1841) Διαίρεση της χώρας σε σφαιροειδή τραπέζια (600 διαφορετικά τοπικά συστήματα συντεταγμένων) διαστάσεων 6’x6’ Το κέντρο των φύλλων ορίζεται ως αφετηρία του συστήματος συντεταγμένων ενώ ο άξονας y ταυτίζεται με τον μεσημβρινό που διέρχεται απ’ αυτό Εξασφάλιση μικρών παραμορφώσεων (λόγω μικρού μεγέθους των φύλλων) 85 Σύστημα Hatt Το σύστημα Hatt βασίστηκε στην εφαρμογή της Πλάγιας Aζιμουθιακής Ισαπέχουσας Προβολής Hatt Εφαρμογή στο ελλειψοειδές Bessel (1841) Η χώρα χωρίζεται σε 130 σφαιροειδή τραπέζια μεγέθους 30’x30’ Κάθε τραπέζιο έχει δικό του κέντρο (κέντρο φύλλου χάρτη) και αποτελεί ανεξάρτητο τοπικό σύστημα αναφοράς Οι αποστάσεις που αναφέρονται στο κέντρο φύλλου χάρτη προς οποιοδήποτε σημείο (αποστάσεις επί της επιβατικής ακτίνας) μένουν αναλλοίωτες (ισαπέχουσα προβολή) Μέγιστες παραμορφώσεις μηκών σε κάθε φύλλο: ~5ppm (1/200000) 86 Σύστημα Παγκόσμιας Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής (UTM) 6ο [1/2] Tο Σύστημα Παγκόσμιας Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής (Universal Transverse Mercator: UTM) 6 ο εφαρμόστηκε αρχικά στο ελλειψοειδές Hayford και στη δεκαετία του 1980 στο ελλειψοειδές GRS-80 Διαχωρισμός της επιφάνειας του ελλειψοειδούς σε 60 ζώνες πλάτους 6ο (η αρίθμηση των ζωνών ξεκινάει από το μεσημβρινό των 180ο δυτικά του Αστεροσκοπείου του Greenwich) Η έκταση της χώρας περιλαμβάνεται στην 34η και 35η ζώνη (κεντρικοί μεσημβρινοί των 21 ο και 27ο ανατολικά του Greenwich) Το σύστημα αξιοποιήθηκε από τη Γεωγραφική Υπηρεσία Στρατού (ΓΥΣ) για στρατιωτικές ανάγκες 87 Σύστημα Παγκόσμιας Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής (UTM) 6ο [2/2] Ενιαίο σύστημα συντεταγμένων το οποίο βασίζεται σε μια σύμμορφη προβολή Με βάση την κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης, στην Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή όλα τα μήκη, εκτός του κεντρικού μεσημβρινού (όπου η κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης είναι ίση με 1) απεικονίζονται μεγαλύτερα από την πραγματικότητα (η κλίμακα γραμμικής παραμόρφωσης είναι μεγαλύτερη από 1): Γι αυτό το λόγο εφαρμόστηκε συντελεστής κλίμακας k=0.9996 με σκοπό την ισοκατανομή των παραμορφώσεων Προσθήκη της σταθεράς 500000 m στις τετμημένες (Ε: Easting) για την αποφυγή αρνητικών τιμών Οι παραμορφώσεις είναι ανάλογες του τετραγώνου της απόστασης από τον κεντρικό μεσημβρινό Mέγιστες παραμορφώσεις: ~500ppm (1/2000) 88 Σύστημα Παγκόσμιας Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής (UTM) 3ο Διαίρεση της χώρας σε τρεις ζώνες πλάτους 3 ο ως προς το γεωγραφικό μήκος, με κεντρικούς μεσημβρινούς αυτούς των -3ο ,0ο, & 3ο ως προς το μεσημβρινό του Αστεροσκοπείου Αθηνών (ο μεσημβρινός που διέρχεται από το Αστεροσκοπείο Αθηνών αντιστοιχεί στη ζώνη 0 ο) Εφαρμογή στο ελλειψοειδές Bessel (1841) Για την αποφυγή αρνητικών τιμών, προστέθηκε στις τετμημένες η σταθερά 200000 m ενώ ως αφετηρία των τεταγμένων ορίστηκε η τεταγμένη που αντιστοιχεί σε γεωγραφικό πλάτος 34ο Εφαρμογή συντελεστή κλίμακας: k=0.9994 (παραμόρφωση μικρότερη από 1/10000) Το σύστημα χρησιμοποιήθηκε από το Υ.ΠΕ.ΧΩ.Δ.Ε. 89 Ελληνικό Γεωδαιτικό Σύστημα Αναφοράς 1987 (ΕΓΣΑ’87) Εφαρμογή της Εγκάρσιας Μερκατορικής Προβολής (σύμμορφη προβολή) Επιφάνεια αναφοράς: ελλειψοειδές GRS-80 (μετά από παράλληλη μετατόπιση για την καλύτερη προσαρμογή στο γεωειδές του ελληνικού χώρου) Υλοποίηση από τα τριγωνομετρικά σημεία του κρατικού δικτύου Συντελεστής παραμόρφωσης στον κεντρικό μεσημβρινό (λο=24ο ανατολικά του Αστεροσκοπείου του Greenwich) k= 0.9996 Για την αποφυγή αρνητικών τιμών συντεταγμένων έχει προστεθεί η σταθερά 500000 m στις τετμημένες Μέγιστη παραμόρφωση μηκών: 670ppm (67cm σε 1km) 90 Βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί 91 Μετασχηματισμός μετάθεσης [Πηγή εικόνας: Κάβουρας κ.α., 2015] 92 Μετασχηματισμός μετάθεσης: Γενικές παρατηρήσεις Μετασχηματισμός δύο παραμέτρων (Τx, Τy) Οι εξισώσεις που περιγράφουν το μετασχηματισμό μπορούν να γραφούν και με τη μορφή πινάκων (αυτό ισχύει και στους περισσότερους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς) Όταν Τx>0: Μετάθεση της αφετηρίας του συστήματος συντεταγμένων προς τα αριστερά Όταν Τx0: Μετάθεση της αφετηρίας του συστήματος συντεταγμένων προς τα κάτω Όταν Τy