Módulo 2 Fase. Ecuación de Onda PDF

 Módulo 2 Fase. Ecuación de onda Contenido 2.1 Fase 2.1.1 Desfase 2.1.2 Rapidez de fase 2.2 Crítica a la onda armónica 2.3 La ecuación de onda Objetivos Jean le Rond d’...

 Módulo 2 Fase. Ecuación de onda Contenido 2.1 Fase 2.1.1 Desfase 2.1.2 Rapidez de fase 2.2 Crítica a la onda armónica 2.3 La ecuación de onda Objetivos Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), 1. Definir la fase y el desfase. filósofo y científico francés, publicó en 2. Definir qué es estar en fase, en contrafase o en cuadratura dos va- el Traité de dynamique su famoso prin- riables. cipio de D’Alembert. Inició la teoría de 3. Mostrar que la onda armónica es una idealización. las ecuaciones diferenciales parciales y la aplicó al problema de la cuerda vibrante, 4. Deducir la ecuación lineal de onda. para la que halló la ecuación diferencial de onda; encontró, además, una explica- ción para la precesión de los equinoccios Preguntas básicas y estudió las perturbaciones gravitaciona- les y los fluidos. 1. ¿El desfase es un ángulo entre dos vectores? 2. ¿Por qué a la rapidez con que se propaga una onda armónica, mo- nocromática, se le llama rapidez de fase? 3. ¿Se puede obtener una onda armónica en el laboratorio? 4. ¿Por qué la ecuación de onda que deduciremos es lineal? Introducción Además de la posición, un campo dinámico, no estático, depende del tiem- po. El campo se puede expresar en función de una nueva variable, la fase, que a su vez es función de la posición y del tiempo. La fase es un concepto tan fundamental en la física de las ondas, que a menudo el análisis de un fenómeno ondulatorio lo reducimos a una discusión de fases. Estudiar una situación física se puede ver como una tarea consisten- te en hallar la ecuación diferencial que la rige y en su posterior solución. Hallaremos la ecuación diferencial de onda para ondas que se propagan en una sola dirección, en condiciones ideales sin pérdida de energía y en medios continuos. 9 Módulo 2 Fase. Ecuación de onda 11 2.1 Fase El campo de una onda que se propaga paralelo al eje x depende de x y de t. En el caso particular que estas variables estén acopladas a través de una suma o de una resta, ξ ( x, t) = ξ ( x ± vt), la onda se llama viajera por razones ya expuestas. Introduzcamos el concepto de fase, esencial en la física de las ondas: La fase φ de una onda armónica es el argumento de la función seno cuando su coeficiente es positivo. Según la ecuación 1.5, φ( x, t) = kx − ωt. (2.1) La ecuación de la onda de desplazamiento la podemos escribir como ξ = ξ (φ). (2.2) A menudo no interesa saber qué valores en particular de x y de t corres- ponden a tal valor de ξ; importa, más bien, saber el valor de la combinación de ellos llamada fase φ; se debe hacer lo posible por hablar de φ antes que de x y de t. Otros textos definen la fase como el argumento del coseno. Reinterpretando lo dicho sobre periodicidades, decimos que el campo se repite cuando la fase cambia en 2mπ. El mínimo cambio, ±2π, cuando se asocia a t, con x fijo, lleva al concepto de período P; cuando se asocia a x, con t fijo, lleva al concepto de longitud de onda λ. Se puede imaginar, cuando decimos t fijo, que tomamos una fotografía o instantánea al sistema ondulatorio. Ejemplo 2.1 Halle la fase de la onda de desplazamiento ξ = ξ0 cos(kx − ωt). Solución. Con la identidad sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α se prueba que ξ = ξ0 cos(kx − ωt) = ξ0 sen(kx − ωt + π /2); según la definición de fase, φ( x, t) = kx − ωt + π /2. Concluimos que escribir coseno en lugar de seno equivale a un cambio de π /2 en la fase. Ejemplo 2.2 Halle la fase de la onda ξ = −ξ0 sen(kx − ωt). Solución. ξ = −ξ0 sen(kx − ωt) = ξ0 sen(kx − ωt ± π ); de donde φ( x, t) = kx − ωt ± π. Concluimos que escribir (−) antes de la amplitud equivale a un cambio de ±π en la fase. 2.1.1 Desfase El desfase ∆φ es una resta entre dos fases. Podemos preguntarnos por el desfase entre el valor del campo en un punto y el valor del campo en otro punto, con posiciones de equilibrio separadas ∆x, en un intervalo ∆t. Si φ = kx − ωt + β, con β constante, aplicando el operador ∆ a esta ecuación obtenemos ∆φ = k ∆x − ω ∆t. (2.3) En un mismo instante, ∆t = 0 y ∆φ = k ∆x = (2π /λ ) ∆x. Evaluemos este desfase para algunos valores de ∆x,  ◦ (2π /λ )(±λ /4) = ±π /2 = ±90 , ∆x = ±λ /4;  ∆φ = (2π /λ )(±λ /2) = ±π = ±180◦ , ∆x = ±λ /2; (2π /λ )(±λ ) = ±2π = ±360◦ ,  ∆x = ±λ.  12 Capítulo 1 Ondas elásticas Cuando ∆φ = ±π /2, ±3π /2, ±5π /2,... , decimos que los campos es- tán en cuadratura; cuando ∆φ = ±π , ±3π, ±5π,... , decimos que están en contrafase entre sí; cuando ∆φ = 0, ±2π, ±4π,... , decimos que están en fase entre sí. Estar en fase quiere decir que ambos campos (el campo en un punto y el campo en el otro punto) se hacen cero simultáneamente, esto es, cuando un punto pasa por su posición de equilibrio, el otro también; ambos alcanzan su mínimo o su máximo simultáneamente. En la figura 2.1, A, D y E están en fase entre sí. Estar desfasados ±π significa que cuando un campo es máximo el otro es mínimo, y viceversa; ambos se hacen cero simultáneamente. A está en contrafase con C, y C está en contrafase con D (vea el ejemplo 2.2). Estar desfasados π /2 o 90◦ , o en cuadratura, quiere decir que cuando un campo es máximo o mínimo, el otro es cero. A está en cuadratura con B, y B está en cuadratura con C. Si el campo en un punto se describe con Figura 2.1 Desfase con t fijo. la función sen(kx − ωt), en el otro punto con el que está en cuadratura se describe con la función cos(kx − ωt); el desfase entre seno y coseno es 90◦ (vea el ejemplo 2.1). En lugar de definir la fase como el argumento del seno, se puede definir como el argumento del coseno; quien así proceda, el valor que reporte de una fase diferirá en π /2 de quien haya optado más bien por seno, suponiendo que ambos toman el mismo sistema de referencia. En la misma posición de equilibrio x (x fijo), ∆x = 0 y el desfase tie- ne una interpretación puramente temporal. Según la ecuación 2.3, ∆φ = −ω ∆t = −(2π / P)∆t. Evaluemos el desfase para varios ∆t,  ◦ (2π / P)(± P/4) = ±π /2 = ±90 , ∆t = ± P/4;  ∆φ = (2π / P)(± P/2) = ±π = ±180 , ◦ ∆t = ± P/2; ◦  (2π / P)(± P) = ±2π = ±360 , ∆t = ± P.  Ejemplo 2.3 La elongación de un bloque (figura 2.2) es ξ (t) = ξ0 sen(ωt + α ). Halle el desfase entre (a) la elongación y la velocidad, (b) la elongación y la acele- ración. Solución (a) Según la anterior ecuación, la fase de la elongación es φξ = ωt + α. La velocidad del bloque es Figura 2.2 v = dξ (t)/dt = ωξ0 cos(ωt + α ) = ωξ0 sen(ωt + α + π /2); la fase de la velocidad es φv = ωt + α + π /2; el desfase entre v y ξ es ∆φvξ = φv − φξ = (ωt + α + π /2) − (ωt + α ) = π /2. Cuando una variable es la derivada de otra, y esta se expresa con seno o coseno, ya se sabe que el desfase entre ambas es ±π /2, debido a que la derivada del seno es el coseno, y del coseno es −seno. Un desfase de 90◦ (más generalmente, un desfase de (π /2) ± mπ, m entero) entre dos variables (figura 2.3) significa que cuando una es máxima o mínima, la otra está en su valor central, que generalmente es cero: cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio, moviéndose hacia la derecha, v es máxima, v = ωξ0 , y x = 0; cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio, Figura 2.3 moviéndose hacia la izquierda, v es mínima, v = −ωξ0 , y x = 0. En el punto de retorno A, ξ es máxima, ξ = ξ0 , y v = 0; en B, ξ es mínima, ξ = −ξ0 , y v = 0. (b) La aceleración es a = dv(t)/dt = −ω2ξ0 sen(ωt + α ) = ω2ξ0 sen(ωt + α ± π ); la fase de la aceleración es φ a = ωt + α ± π; el desfase entre a y ξ es ∆φ aξ = φ a − φξ = (ωt + α ± π ) − (ωt + α ) = ±π. Módulo 2 Fase. Ecuación de onda 13 Un desfase de 180◦ (de forma más general, un desfase de π ± 2mπ, m ente- ro) entre dos variables (figura 2.4) significa que cuando una es máxima la otra es mínima, y ambas se hacen cero simultáneamente: cuando el bloque llega a A, a es mínima, a = −ω2ξ0 , y ξ es máximo, ξ = ξ0 ; cuando está en B, a es máxima, a = ω2ξ0 , y ξ es mínima, ξ = −ξ0. No se debe confundir ángulo entre dos campos vectoriales con desfase entre ellos. Las líneas L1 y L2 de la figura 2.5 forman un ángulo arbitrario de 60◦ Figura 2.4 entre ellas; el campo ξ1 está en la dirección de L1 , el campo ξ2 está en la dirección de L2. El desfase en la figura 2.5a es 0◦ , en b es 90◦ , en c es 180◦ , en d es 45◦. Figura 2.5 El desfase y el ángulo entre los campos son independientes. 2.1.2 Rapidez de fase La figura 2.6 representa una ola que se acerca a la playa; cuando la ola pasa por determinado lugar, el agua allí presente se desplaza de su posición de equilibrio y regresa a ella una vez haya pasado; no hay transporte de masa. Fijémonos en el punto x de la figura con ξ = 1 m en cierto instante. Como ξ = ξ (φ), a un valor particular de ξ le corresponde cierto valor de la fase. Nos podemos preguntar con qué rapidez avanza el campo de 1 m, o equivalentemente, con qué rapidez se propaga la fase que hace que el campo valga 1 m. Como ξ = 1 m es constante, entonces el φ respectivo Figura 2.6 Rapidez de fase. también es constante. Sea φ = kx − ωt + β, con β constante. Como φ es contante su derivada es cero, dφ dx dt =k − ω + 0 = 0; dt dt dt de donde ω dx = = v. k dt La rapidez de fase, v, es la rapidez con que la perturbación u onda va llegando a los distintos puntos de equilibrio, x. También se puede ver como la rapidez con que se propaga una fase constante; de ahí su nombre rapidez de fase o, más comúnmente, velocidad de fase. El que la propagación de un valor del campo se vea como la propagación de una fase constante no quiere decir que donde llega cierto valor de la fase allí se mantenga ese valor, pues el tiempo sigue transcurriendo, y aunque x sea constante, la fase sigue cambiando, siguen llegando al mismo punto otros valores del campo. Estrictamente, por velocidad nos debemos referir a un vector y no a un escalar, pero el uso de la palabra velocidad se ha generalizado en este contexto para referirse al escalar v. 14 Capítulo 1 Ondas elásticas Ejemplo 2.4 Con base en lo expuesto sobre rapidez de fase, halle en qué sentido se propagan las ondas (a) ξ = ξ0 sen(kx − ωt), (b) ξ = ξ0 sen(ωt − kx) y (c) ξ = ξ0 sen(kx + ωt). Solución. Como v es la rapidez con que se propaga φ constante (o su respectivo ξ constante) centremos el análisis en φ. Lo primero de importancia en el análisis es comprender que t siempre crece. (a) φ = kx − ωt; como t crece, x debe crecer para que φ se mantenga constante; lo que nos dice que la onda se propaga hacia la derecha, en sentido de x creciente. (b) φ = ωt − kx; igual sustentación que en (a). (c) φ = kx + ωt; como t crece, x debe disminuir para que φ se mantenga cons- tante; lo que nos dice que la onda se propaga hacia la izquierda, en sentido de x decreciente. 2.2 Crítica a la onda armónica La función monocromática1 ξ = ξ0 sen(kx − ωt) (2.4) está definida para x ∈ (−∞, +∞) y t ∈ (−∞, +∞); pero ninguna onda, de ningún tipo, existe en todo el universo desde x = −∞ hasta x = +∞, ni ha existido ni existirá por siempre desde t = −∞ hasta t = +∞ (figura 2.7a). En consecuencia, tal función (igual se puede decir del coseno) no puede representar una onda en la naturaleza, pues una onda en el mundo físico empieza a existir en algún momento, y ocupa una región finita del espacio (figura 2.7b), así sea muy grande. Aunque un ciclo de la figura 2.7a sea idéntico a uno de la figura 2.7b, se puede demostrar2 que se necesitan infinitas ondas del tipo de la ecuación 2.4, Figura 2.7 (a) Onda no existente, (b) cada una con su frecuencia y amplitud, para representar la onda, o mejor tren onda real. de onda finito, de la figura 2.7b; de esto se ocupa el análisis de Fourier. Por consiguiente, cuando se habla de una onda de una única frecuencia, nos referimos a la onda imposible expresada por la ecuación 2.4, y cuando se habla de velocidad de fase también nos referimos es a esa onda. ¿Por qué en un curso de física darle tanta importancia a la onda de la ecuación 2.4, sabiendo que no representa ninguna onda física? La respuesta es doble: porque es la base para representar ondas que sí existen y, además, algunas ondas reales se pueden representar, aproximadamente, mediante ella. La relatividad especial (Einstein, 1905) predice que en la naturaleza no se presentan velocidades mayores que la de la luz, c. No hay contradicción con esta predicción que para una onda armónica (ecuación 2.4) su rapidez de fase, v = ω/k, sea mayor que c ya que, a fin de cuentas, estrictamente una onda armónica no existe. Tengamos presente que cuando decimos una onda armónica estamos hablando de una sola frecuencia. 2.3 La ecuación de onda Continuamos en esta sección restringidos a una onda que tiene una sola dirección de propagación, identificada con el eje x. 1Monocromática quiere decir una sola frecuencia. 2George Arfken y Hans Weber, Mathematical methods for physicists, 5.a ed., Academic Press, San Diego, 2001, p. 913. Módulo 2 Fase. Ecuación de onda 15 Cuando encontramos la ecuación diferencial (d2 y/dt2 ) + ω2 y = 0, re- conocemos inmediatamente que y corresponde al oscilador armónico sim- ple y = y0 sen(α + ωt). A continuación hallaremos un ecuación diferencial para ξ (puede ser otra variable), llamada ecuación de onda, tal que cuan- do la encontremos inmediatamente sabemos que su solución es la función de onda ξ = ξ ( x ± vt). Esta es una onda viajera que se propaga con ra- pidez uniforme v, sin cambios, como una mera traslación de la función ξ = ξ ( x). Quiere decir que si el medio está en reposo y en algún lugar de él producimos una perturbación ξ ( x), la perturbación no se queda donde la produjimos, sino que empieza a viajar con rapidez constante y sin cam- bios a través del medio. Ejemplos: cuando un guitarrista perturba en algún punto una cuerda de su guitarra, la perturbación no se queda en ese punto sino que se propaga a lo largo de la cuerda; cuando lanzando una piedra perturbamos la superficie quieta de un estanque lleno de agua, la pertur- bación no se queda en el lugar donde cayó la piedra sino que se propaga en todas las direcciones en la superficie del estanque; cuando con nuestras cuerdas vocales producimos una compresión del aire, esa perturbación no se queda en nuestra boca, sino que se propaga como sonido en todas las direcciones, con una rapidez de 340 m/s (realmente, con una rapidez que depende de la temperatura). Pero si hacemos una depresión en un pedazo de plastilina, esta depresión no viaja a través de ella; en la plastilina no se cumple la ecuación de onda por hallar. Para el oscilador armónico simple, y depende solo de una variable, t; su ecuación diferencial es ordinaria, esto es, únicamente contiene deriva- das totales, y su solución es una función en particular. En cambio ξ, cuando se propaga únicamente en la dirección x, depende de dos variables, x y t; su ecuación diferencial contiene derivadas parciales respecto a x y a t, y su solución no es una función en particular, sino la familia de funciones con argumento ( x − vt) o ( x + vt), compuesta por infinito número de funcio- nes. Sea u ≡ x ± vt. Con esta definición, ξ ( x, t) = ξ ( x ± vt) = ξ (u). Derivemos a ξ respecto a x con la regla de derivación en cadena, ∂ξ ( x, t) ∂ξ (u) ∂ξ (u) ∂u = =. ∂x ∂x ∂u ∂x Pero ∂ξ (u)/∂u = dξ (u)/du y ∂u/∂x = 1; ∂ξ ( x, t) dξ (u) =. ∂x du En consecuencia, ∂2ξ ( x, t) d2ξ (u) =. (2.5) ∂x2 du2 Derivemos respecto a t, ∂ξ ( x, t) ∂ξ (u) ∂ξ (u) ∂u = =. ∂t ∂t ∂u ∂t Pero ∂ξ (u)/∂u = dξ (u)/du y ∂u/∂t = ±v, ∂ξ ( x, t) dξ (u) = ±v. ∂t du 16 Capítulo 1 Ondas elásticas En consecuencia, ∂2ξ ( x, t) 2 2 d ξ (u) = v. ∂t2 du2 Reemplazando la ecuación 2.5 en la anterior ecuación obtenemos la ecuación de onda unidimensional para el desplazamiento, ∂2ξ ( x, t) 2 2 ∂ ξ ( x, t ) = v. (2.6) ∂t2 ∂x2 Esta ecuación la halló, por primera vez, Jean le Rond d’Alembert en 1747 para las ondas en una cuerda, aunque con una notación diferente.3 La so- lución que él planteó, ξ ( x, t) = ξ1 ( x − vt) + ξ2 ( x + vt), se llama solución de D’Alembert. Cuando se rasga una cuerda de una guitarra en un punto, se producen, simultáneamente, una onda hacia la derecha ξ1 ( x − vt), y otra hacia la izquierda ξ2 ( x + vt). A continuación hallamos la ecuación de onda unidimensional para va- rios medios continuos: una barra, un gas y una cuerda. Por medio continuo queremos decir un medio donde no tenemos en cuenta su constitución dis- continua, atómica, tratamiento que es válido mientras λ sea mucho mayor que la separación promedio entre los átomos o moléculas del medio. Pa- ra hallar la ecuación nos basamos en la segunda ley de Newton, F = ma: la suma de fuerzas externas sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración. La relación entre la segunda ley de Newton y la ecuación de onda se consigue con la aceleración, pues esta es el miembro izquierdo de la ecuación 2.6. Resumen El campo de una onda armónica es función de la fase; esta nos dice la direc- ción de propagación de la onda, pero no la dirección del campo. Cuando φ sufre un cambio de 2mπ, con m entero, el campo se repite, ya sea espa- cial o temporalmente, en cuyo caso hablamos de periodicidad espacial λ o temporal P, respectivamente. Un desfase ∆φ entre dos variables es la resta entre sus respectivas fases. Los desfases más notables son: cuando es un par por π las variables están en fase, cuando es un impar por π están en contrafase, cuando es un impar por π /2 están en cuadratura. La onda armónica es una idealización; su rapidez se llama rapidez de fase, y es la rapidez con que se propaga un valor fijo de la fase, o un valor fijo del campo al que le corresponde esa fase. Una función de onda ξ que es solo una traslación con rapidez constante v de la función se llama onda viajera y cumple la ecuación de onda lineal (ecuación 2.6). 3 Elizabeth Garber, The language of physics. The calculus and the development of theoretical dy T dy physics, Ed. Birkhäuser, Boston, 1999, p. 32: d 2 = d 2. dt ρ ds   Módulo 3 Ondas en una barra Contenido 3.1 Ondas longitudinales 3.2 Medida del módulo de Young 3.3 Ondas transversales Objetivos 1. Obtener las ecuaciones de onda para las ondas longitudinales y transversales en una barra sólida con la segunda ley de Newton y Thomas Young (1773-1829), médico y fí- una relación simple entre la deformación y la causa que la produce sico inglés, hizo trabajos para medir el ta- (ley de Hooke). maño de las moléculas y la tensión super- 2. Diseñar un método experimental para medir el módulo de Young ficial en los líquidos. En reconocimiento a de una barra. su trabajo en elasticidad se llama módulo de Young Y a una cantidad que mide la rigidez de una barra. Estableció la natu- Preguntas básicas raleza ondulatoria de la luz con su impor- tantísimo experimento de la doble rendi- ja, calculó la longitud de onda de varios 1. ¿Cuáles son las principales variables para estudiar la propagación colores y propuso que la luz era una onda de ondas en una barra? transversal. 2. ¿Por qué las ondas longitudinales se propagan más rápidamente que las transversales? 3. ¿Qué significa el que un material sea más rígido que otro? 4. ¿Qué aproximaciones se hacen en el modelo físico utilizado para estudiar las ondas en una barra? Introducción Cuando dejamos de presionar con la mano una mesa, aparece una fuerza neta recuperadora sobre las moléculas de la mesa que habían dejado sus posiciones de equilibrio, y se aceleran hacia ellas. El tiempo que tardan en alcanzarlas depende de la rigidez de la mesa y de su densidad. En su mo- vimiento alteran el equilibrio de moléculas vecinas y así se propaga una perturbación por toda la mesa. En un sólido se propagan ondas longitudi- nales y transversales, a diferencia de un fluido homogéneo e ideal como un gas o un líquido, en el que solo se propagan ondas longitudinales. Un estu- dio riguroso de la propagación ondulatoria en un sólido real y de cualquier tamaño y forma es muy complejo; para iniciarlo es necesario restringirlo a una barra, donde la propagación es solo en la dirección de la barra y las fuerzas deformantes se pueden expresar con ecuaciones muy simples. Una vez entendido este caso sencillo, se pueden estudiar casos más complejos, como las ondas en un bloque sólido, en libros de elasticidad más avanza- dos. 17 Módulo 3 Ondas en una barra 19 3.1 Ondas longitudinales Cuando golpeamos un sólido, a través suyo se propagan ondas longitu- dinales y transversales. Para su estudio dinámico adoptamos un modelo muy simple sobre el tipo de fuerza que se genera a medida que la onda avanza. Una suposición fundamental es que se generan fuerzas longitudi- nales independientes de las transversales, situación que nunca se presenta. Se deben utilizar tensores1 para describir más fielmente el fenómeno de la propagación en sólidos. Aquí trabajaremos con una relación lineal entre la deformación y la fuerza recuperadora, o ley de Hooke. A pesar de lo sim- ple, el modelo es muy útil para ahondar en la comprensión de las ondas; además, muchas situaciones reales se aproximan a sus predicciones teóri- cas. En la figura 3.1 se ilustra una barra de sección transversal constante A, dividida en elementos de volumen de grosor ∆x. Cuando nos refiramos a un elemento en particular, nos referimos es a su centro de masa. Por la ac- ción de un golpe en el extremo izquierdo, el primer elemento se comprime un poco y su centro de masa se desplaza hacia la derecha. Al separarse de su posición de equilibrio, sobre el elemento aparecen fuerzas recuperado- ras que lo regresan a su situación inicial, pero en el proceso transfiere al se- gundo elemento el momento lineal p que le fue dado con el golpe. Después Figura 3.1 Barra dividida en elementos el segundo elemento le hace al tercero, lo que el primero le hizo a él, y así de volumen. sucesivamente... la onda se va propagando hacia la derecha. Si ante una deformación no se generaran fuerzas recuperadoras, el primer elemento se quedaría comprimido sin regresar a su posición inicial, y no se propagaría una onda. Para la propagación es necesario que el medio sea elástico, esto es, que se generen fuerzas recuperadoras; lo contrario a elástico es plás- tico, y como ejemplo de material plástico tenemos a la plastilina. Por lo anterior, a las ondas en los medios materiales se les llama ondas elásticas, u ondas mecánicas por seguir las leyes de la mecánica de Newton. En la figura 3.2 se amplifica, sin perspectiva, el primer elemento de vo- lumen de la barra. El punto 1 es el centro de masa antes de que la barra sea golpeada, el punto 2 es el centro de masa del elemento comprimido por el golpe a lo largo del eje de la barra. El segmento 1-2 es ξ; este cam- po de desplazamiento se propaga con una rapidez v que depende de las propiedades físicas de la barra. La onda avanza en sentido + x, y ξ 2 está en dirección x, lo que define a estas ondas como longitudinales; con notación vectorial, v = u x v y ξ = u xξ. La velocidad v siempre está dirigida hacia la derecha; en cambio ξ está dirigido hacia la derecha o hacia la izquierda, Figura 3.2 ξ del primer elemento. dependiendo de x y de t. La fuerza sobre una cara de un elemento de volumen varía a lo largo de la barra y siempre actúa sobre toda el área A. Definimos el esfuerzo de tensión o esfuerzo normal, Sl , como la fuerza perpendicular al área, dividida por el área, Sl = F / A. (3.1) El esfuerzo tiene unidades de presión, [ Sl ] = N/m2. En la figura 3.3 se muestra un elemento de volumen de grosor ∆x con su cara izquierda en la posición de equilibrio x y la derecha en la posición de equilibrio x + ∆x; también se muestra la posición del mismo elemen- to un poco más tarde, en el tiempo t. Bajo la acción de fuerzas, la cara 1 William Elmore y Mark Heald. Physics of waves, Dover Publications, Nueva York, 1969, caps. 3 y 7. 2 Note que ξ está en negrilla, y por lo tanto es un vector. Al escribir a mano, en lugar de negrilla, para los vectores se debe utilizar una flecha, y para los vectores unitarios un gorro. 20 Capítulo 1 Ondas elásticas izquierda se desplaza ξ ( x, t) y la derecha ξ ( x + ∆x, t); si estos valores fue- ran iguales, no habría onda sino una simple traslación de la barra en la cantidad ξ. Por ejemplo, cuando empujamos una mesa de largo L, el la- do donde empujamos y el lado opuesto se trasladan, aproximadamente, la misma cantidad, y así la mesa permanece inalterada, sin comprimirse ni expandirse: ξ ( x, t) = ξ ( x + L, t). Pero una onda elástica es precisamente la propagación de deformaciones, de compresiones y expansiones: cuando uno mueve un bolígrafo que tiene sobre la mano, todos sus puntos experi- mentan el mismo ξ y no hay onda a través de él. El nuevo grosor del elemento por fuera de su posición de equilibrio es ∆x + ∆ξ, donde ∆x es el grosor inicial y la deformación es ∆ξ = ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t). La deformación por unidad de longitud o deformación por tensión, l , es, entonces, ∆ξ ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t) l = =. (3.2) ∆x ∆x Vemos que l > 0 implica que ∆ξ > 0 y ξ ( x + ∆x, t) > ξ ( x, t), y por lo tanto el elemento de volumen a la derecha en la figura 3.3 está expandido Figura 3.3 Deformación de un elemento. a lo largo del eje x; l < 0 quiere decir que está comprimido. Tomando el límite en la ecuación 3.2 cuando ∆x → 0, notamos que el miembro derecho es la definición de ∂ξ /∂x, ∆ξ ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t) ∂ξ l = lim = lim =. (3.3) ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∂x La deformación por tensión es causada por el esfuerzo de tensión. Su- pongamos que la relación entre ellos es lineal, esto es, supongamos que se cumple la ley de Hooke en la barra, Sl ∝ l. La constante de proporciona- lidad es el módulo de Young, Y, de la barra, F ∂ξ Sl = Yl o =Y. (3.4) A ∂x La anterior ecuación nos da el tipo de fuerza que actúa sobre el elemento de masa y podemos proceder a aplicarle la segunda ley de Newton al elemen- to: la fuerza neta es la fuerza F 0 = F ( x + ∆x, t) que la sección derecha de la barra le ejerce, menos la fuerza F = F ( x, t) que le ejerce la sección izquier- da; la masa m es la densidad ρ por el elemento de volumen ∆V = A ∆x; la aceleración a es ∂2ξ /∂t2 (ecuación 1.3, p. 5), ∂2ξ ∑ Fexterna = F0 − F = ma = F(x + ∆x, t) − F(x, t) = (ρA ∆x) ∂t2. Cuando ∆x → 0, F 0 − F = dF y ∆x = dx, ∂2ξ dF = (ρA dx). ∂t2 Como ξ depende de x y t, es claro que F también, y su diferencial total es ∂F ∂F dF = dx + dt. ∂x ∂t Las dos últimas ecuaciones son iguales, ∂2ξ ∂F ∂F (ρA dx) = dx + dt. ∂t2 ∂x ∂t Módulo 3 Ondas en una barra 21 Como el desplazamiento de las caras derecha e izquierda es medido en el mismo t en la figura 3.3, a la cual hemos referido la segunda ley de Newton, entonces dt = 0 y cancelamos dx, ∂2ξ ∂F ρA 2 =. (3.5) ∂t ∂x Despejemos a F de la ecuación 3.4 y derivemos respecto a x,   ∂F ∂ ∂ξ = AY. (3.6) ∂x ∂x ∂x Cuando aplicamos una fuerza a un sólido, el cambio relativo de volu- men es muy bajo, es muchísimo menor que 1; para un gas o un líquido, en las mismas condiciones que el sólido, el cambio relativo es mucho mayor. En la figura 3.3 el volumen del elemento inicial y del elemento deformado son, con muy buena aproximación, iguales, aunque por claridad en la fi- gura no lo sean. Como el grosor de ambos elementos es distinto, entonces sus secciones transversales también lo son. Estrictamente, el área depende de x: A = A( x, t); la deformación longitudinal conlleva una deformación transversal. Vamos a suponer deformaciones muy bajas, donde bajas quiere decir ∆ξ  ∆x, esto es, l  1 (ecuación 3.2). (Por supuesto que la defor- mación en la figura citada está exagerada; vea el ejemplo 3.1, p. 23). En este caso de baja deformación, podemos tratar a A como constante y sacar- la de la derivada. Como estamos desarrollando la física para un material homogéneo, Y tampoco depende de x y la ecuación 3.6 toma la forma ∂F ∂2ξ = AY 2. ∂x ∂x Igualemos esta ecuación a la ecuación 3.5, cancelemos A y despejemos la aceleración, ∂2ξ Y ∂2ξ 2 =. (3.7) ∂t ρ ∂x2 Esta ecuación (compárela con la ecuación 2.6, p. 16) nos dice que la pertur- bación ξ de la figura 3.2 no se queda en el sitio donde se produjo, sino que viaja con rapidez v constante, √ v= Y /ρ. (3.8) En la tabla 4.1, p. 29, se da el módulo de Young de algunos materiales. El valor predicho por la ecuación anterior se cumple bastante bien en una barra delgada, pero es notablemente inferior a la rapidez con que se propa- gan las ondas longitudinales en un bloque, pues las fuerzas recuperadoras ya no se pueden expresar de una forma tan sencilla como hicimos en la ecuación 3.4. 3.2 Medida del módulo de Young Para medir el módulo de Young de un material, se suspende de un soporte fijo (x = 0 en la figura 3.4) un alambre de longitud L0 y diámetro o sección transversal A conocida (figura 3.4a). Luego se le suspende una masa M, mucho mayor que la masa del alambre, y se mide el estiramiento ` (figu- ra 3.4b). 22 Capítulo 1 Ondas elásticas Recuerde que x no indica la posición de un punto de la cuerda, sino la posición de equilibrio de un punto de ella. Homologando3 la figu- ra 1.1, p. 5, con la figura 3.4, en aquella hacemos coincidir el eje x con la cuerda, el origen de coordenadas con el punto de suspensión, y ξ ( x) lo hacemos paralelo al eje x en lugar de perpendicular. La posición de equilibrio varía entre x = 0 y x = L0. La posición de equilibrio x = L0 + ` no existe, ya que en la figura 3.4b todos los puntos están desplazados de su posición de equilibrio respecto a la figura 3.4a. Como la cuerda sigue unida al punto de suspensión cuando se le agrega la carga M, quiere decir que el punto x = 0 no se desplaza de ese sitio: ξ (0) = 0. En cambio el punto con x = L0 sufre el máximo desplazamiento de esta posición de equilibrio, ξ ( L0 ) = `. La tensión es mayor en x = 0 que en el resto de la cuerda, ya que Figura 3.4 Medición de Y. por debajo del origen está la masa de la cuerda más la carga; pero como mcuerda  M, es buena aproximación tomar como tensión en la cuerda solo el peso de M. Sea F la tensión del alambre, F = Mg. Despejemos a F de la ecuación 3.4 y multipliquemos por dx, ∂ξ F dx = AY dx. (3.9) ∂x ξ depende de x y de t, y su diferencial total es dξ ( x, t) = (∂ξ /∂x) dx + (∂ξ /∂t) dt. Pero t es fijo, dt = 0; esto quiere decir que en el instante en que medimos ξ (0) en la figura 3.4b, también medimos a ξ ( L0 ) y dξ ( x, t) = (∂ξ /∂x) dx. Reemplacemos esta ecuación en la ecuación 3.9, F dx = AY dξ. Integrando, F sale de la integral, al igual que A y Y. Realmente A debe disminuir cuando el alambre se alarga, pero en un experimento real un alambre de 2 m de longitud se puede alargar solo 0.5 mm, de modo que el cambio del diámetro del alambre es despreciable respecto a su valor inicial, Z L0 Z ` F dx = AY dξ, (3.10) 0 0 FL0 = AY `, de donde Vea en el multimedia de Físi- FL0 ca de las ondas la experiencia. Y= (3.11) A` Medida del módulo de Young. Las cuatro cantidades F, L0 , A y ` son fácilmente medibles, y así se pue- de averiguar en el laboratorio el módulo de Young del material del que está hecho el alambre. Note que de varias muestras de materiales distin- tos, pero con iguales F, L0 y A, el que menos se alargue es el de mayor Y. Por ejemplo, como Y del hierro es mayor que Y del aluminio, quiere decir que en igualdad de condiciones, ante una fuerza igual, se deforma más la muestra de aluminio que la de hierro; otra manera de verlo es así: ante una misma deformación, la fuerza recuperadora que aparece en el hierro es mayor que en el aluminio. 3.3 Ondas transversales En la figura 3.5 se ilustra una sección de una barra horizontal sin pertur- bar. En el extremo izquierdo, mediante una fuerza perpendicular al eje de 3 Homologar: equiparar, poner en relación de igualdad dos cosas. Módulo 3 Ondas en una barra 23 la barra, se producen ondas que, cuando llegan al elemento de grosor ∆x, desplazan transversalmente su cara izquierda en ξ ( x, t) y su cara derecha en ξ ( x + ∆x, t). Mientras que la onda avanza horizontalmente, los diferentes elementos de masa se desplazan transversalmente; con notación vectorial, v = u x v y ξ = u yξ. Esto corresponde a una onda transversal. Las fuerzas son perpendiculares al eje de la barra, y por esta razón se les llama fuerzas de corte o de cizalladura. Las deformaciones y fuerzas son, en la realidad, más complejas que lo dicho y mostrado en la figura; sin embargo, este mo- delo da buenos resultados en muchas situaciones prácticas. El esfuerzo de corte o de cizallamiento St se define como la fuerza pa- ralela o tangencial a las caras sobre el área transversal de la barra (compare con la ecuación 3.1), St = F / A. (3.12) La deformación de corte o de cizallamiento t es ∆ξ ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t) ∂ξ t = lim = lim =. (3.13) ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∂x Matemáticamente esta ecuación es idéntica a la ecuación 3.3; la diferencia es física: en la primera, los ξ están en la dirección x; en la última, los ξ son perpendiculares a x, tal vez con componentes y y z. Figura 3.5 Onda transversal en una barra. Dentro de los límites elásticos del material, se cumple la ley de Hooke, F ∂ξ St = St , o =S. (3.14) A ∂x S se llama módulo de corte del material; en la tabla 4.1, p. 29, se da el mó- dulo de corte de algunas sustancias. Ante una deformación longitudinal igual a una deformación transversal, siempre es mayor la fuerza recupera- dora en el primer caso, ya que Y > S. Según la segunda ley de Newton, dF = (dm) a: ∂F ∂2ξ dx = (ρA dx) 2. ∂x ∂t Cancelemos dx, ∂F ∂2ξ = ρA 2. ∂x ∂t Despejemos a F de la ecuación 3.14, derivemos respecto a x, igualemos a la anterior ecuación y cancelemos A para obtener ∂2ξ S ∂2ξ =. (3.15) ∂t2 ρ ∂x2 Esta ecuación nos dice que la perturbación ξ de la figura 3.5 no se queda en el sitio donde se produjo en la barra, sino que viaja con rapidez v constante igual a √ v = S/ρ. (3.16) Como siempre Y > S, la rapidez de las ondas longitudinales siempre es mayor que la de las transversales en un mismo material. Ejemplo 3.1 Una esfera de hierro de 10.0 kg se une a un extremo de un alambre de acero de 3.00 m de longitud; el otro extremo se suspende del techo, y se hace oscilar el péndulo así formado con una amplitud de 60.0◦ (figura 3.6). La sección transver- sal del alambre es de 1.00 mm2 , ρacero = 7.80 g/cm3 y Yacero = 2.0 × 1011 N/m2. Halle el estiramiento del alambre cuando pasa por la posición más baja. 24 Capítulo 1 Ondas elásticas Solución. Cuando una barra se somete a un tensión longitudinal T, el estiramiento l se despeja de la ecuación 3.11, reemplazando a F por T. La tensión depende del ángulo y l (θ ) = T (θ ) L/YA. En el punto más bajo, T (0◦ ) L l (0◦ ) =. (3.17) YA Sea m la masa de la esfera. Se podría pensar que T (0◦ ) = mg, pero la posi- ción más baja no es de equilibrio, puesto que la esfera se mueve en un arco de circunferencia, y la aceleración centrípeta, v2 /r, es diferente de cero; la aceleración tangencial sí es cero en θ = 0. El estudiante debe comprobar que el radio de la esfera (ρhierro ≈ ρacero ) es cerca de 6.7 cm y que malambre ≈ 23 g. Podemos enton- ces despreciar, respecto a L, a resfera ; respecto a m podemos despreciar a malambre. También debe demostrar que 1 mm2 = 10−6 m2. Figura 3.6 La longitud depende de θ. Con base en el anterior párrafo, y puesto que el problema es especialmente de dinámica y no de ondas, el estudiante debe demostrar que si θmáx = 60◦ , entonces T (0◦ ) = 2mg. Reemplazando en la ecuación 3.17 obtenemos 2mgL 2(10 kg)(9.76 m/s2 )(3 m) l (0◦ ) = = ≈ 3 × 10−3 m = 3 mm. YA (2.0 × 1011 N/m2 )(10−6 m2 ) El alambre en su posición más baja se estira una milésima de su longitud inicial y mide 3 m + 3 mm. Resumen En una barra podemos utilizar la aproximación de que las deformaciones longitudinales y transversales son independientes. Planteamos una ley de Hooke para ambas; mientras más baja la deformación, más cercanas están las predicciones teóricas a los resultados experimentales. Las ecuaciones de onda 3.7 y 3.15 son matemáticamente idénticas a la ecuación 2.6. La ley de Hooke, ecuación 3.4, es una definición operacional del módu- lo de Young. Se llama operacional porque a partir de ella podemos diseñar las operaciones experimentales necesarias para cuantificarlo, diseño que hicimos en la sección 3.2: se suspende una masa M de un alambre de lon- gitud L0 y área transversal A, se mide el estiramiento ` causado por el peso de M y se aplica la ecuación 3.11.    Módulo 4   Ondas en un fluido Contenido 4.1 Ondas en un fluido 4.2 Dependencia de la rapidez con la temperatura 4.3 Ondas sísmicas Objetivos 1. Determinar la ley de Hooke para un fluido. 2. Hallar la relación entre las ondas de desplazamiento, presión y Cuando alguien habla, produce fluctua- densidad en un fluido. ciones o perturbaciones en la presión y 3. Encontrar la dependencia de la rapidez del sonido en un gas con densidad del aire en su boca, las cuales la temperatura. se propagan en todas las direcciones con 4. Comprender por qué una onda de desplazamiento genera ondas una rapidez que depende de las propieda- des del aire, no de qué tan fuerte hable de presión y de densidad. o de qué frecuencias tenga el sonido que pronuncie. Preguntas básicas 1. ¿Cómo se propaga el sonido en el aire? 2. ¿Son independientes entre sí las diferentes ondas en un fluido, o son diferentes aspectos de un solo proceso? 3. ¿Qué significan amplitud de presión y amplitud de densidad? 4. ¿Por qué a mayor temperatura de un medio mayor la rapidez de las ondas en él? 5. ¿Qué significa que la onda de desplazamiento esté desfasada 90◦ con las de densidad y de presión y estas estén en fase entre sí? Introducción Una diferencia muy notable entre un sólido y un fluido, como un gas o un líquido, es la compresibilidad. Consideraremos fluidos ideales, esto es, no viscosos. En condiciones comunes de presión y temperatura, los resul- tados que obtendremos con el tratamiento teórico que haremos coincide muy bien, en especial para los gases, con medidas experimentales. Supon- dremos que el fluido está encerrado en un cilindro metálico de sección transversal A, lo que nos facilita el tratamiento teórico. Las relaciones que obtendremos entre desplazamiento, presión y densidad para el sonido en el aire, son iguales a si el aire está encerrado en un cilindro, o si el sonido se propaga en un espacio abierto. 25 Módulo 4 Ondas en un fluido 27 4.1 Ondas en un fluido En la figura 4.1 se muestra un cilindro que se llena con un gas hasta una densidad ρ0 y presión p0 ; estos parámetros reciben el nombre de densidad estática o de equilibrio y de presión estática o de equilibrio respectiva- mente; en el lugar donde vivamos corresponden con la densidad y presión atmosféricas.1 El sonido es fluctuaciones de la presión y la densidad alrededor de sus valores estáticos. También se muestra un elemento de volumen, cuando no hay ondas, Figura 4.1 Onda en un gas. de grosor ∆x, con presión y densidad, obvio, p0 y ρ0. En la izquierda del cilindro se produce, con un pistón o un parlante, una perturbación que, cuando llega a tal elemento, lo saca de su posición de equilibrio x, lo lleva a una nueva posición un tiempo más tarde, cambiándole la presión a un nuevo valor p y la densidad a un valor ρ. Estos son los valores absolutos o instantáneos de la presión y la densidad, dependientes de x y de t. El cambio de presión y de densidad es lo que constituye el sonido; a ∆p = p − p0 se le llama presión acústica u onda de presión, a ∆ρ = ρ − ρ0 se le llama densidad acústica u onda de densidad. Cuando la frecuencia con que ∆p y ∆ρ cambian es de 440 Hz, al soni- do se le llama la central, y corresponde al sonido que se escucha cuan- do levantamos el teléfono; cuando cambia a 261.6 Hz, se le llama do cen- tral. El oído humano normal escucha frecuencias en el rango 20-20 000 Hz.2 En ecografías y exámenes de tejidos se utiliza ultrasonido de alrededor de 4 MHz; en un microscopio acústico las ondas sonoras pueden ser de 4 GHz. Con sonido se trazan mapas del fondo del mar, ya que no se pueden usar ondas electromagnéticas debido a que el agua salada las absorbe comple- tamente a los pocos centenares de metros de profundidad. Ultrasonido de 35 kHz se utiliza en el agua para producir cambios de presión que provo- can la aparición de pequeñas cavidades de vapor que al sufrir implosión limpian las superficies de los cuerpos sumergidos; a este fenómeno de for- mación de cavidades o burbujas se le llama cavitación. Iniciemos la tarea de encontrar la ecuación de onda para el fluido (ecua- ción 2.6, p. 16): como la densidad de un gas cambia notablemente ante un cambio de presión, no la podemos aproximar a una constante como hici- mos con la barra. La masa del elemento en su posición de equilibrio (figu- ra 4.1) es igual a la masa fuera de ella, ρ0 V0 = ρV, ρ0 ( A ∆x) = ρ[ A(∆x + ∆ξ )]. Cancelemos A. En el límite cuando ∆x → 0, hacemos ∆x = dx y ∆ξ = dξ, ρ0 dx = ρ(dx + dξ ). (4.1) Como t es fijo, esto es, en el instante en que medimos a ξ ( x, t) también medimos a ξ ( x + dx, t), entonces dt = 0 y dξ = (∂ξ /∂x) dx. Después de reemplazar en la ecuación 4.1 y cancelar a dx obtenemos que la densidad instantánea es ρ0 ρ= = ρ0 (1 + ∂ξ /∂x)−1. (4.2) 1 + ∂ξ /∂x 1 En Medellín, patm = p0 = 640 mm Hg, ρatm = ρ0 ≈ 1.0 kg/m3. 2 Algunos rangos de audición: perro 60 Hz-45 kHz, gato 40 Hz-60 kHz, vaca 20 Hz-35 kHz, caballo 50 Hz-33 kHz, rata 200 Hz-76 kHz, murciélago 2 kHz-140 kHz, ballena beluga 1 kHz- 125 kHz, atún 50 Hz-1.1 kHz, pollo 120 Hz-2 kHz. 28 Capítulo 1 Ondas elásticas Suponemos que la onda transporta bajas energías, donde bajas quiere decir que el volumen del elemento no perturbado difiere muy poco del vo- lumen del elemento perturbado; gráficamente, en la figura 4.1 esto quiere decir que ∆ξ  ∆x. Tomando el límite, dξ  dx, (∂ξ /∂x) dx  dx. Cancelando dx, obtenemos que bajas deformaciones o bajas energías quiere decir ∂ξ /∂x  1. Con el binomio de Newton se puede probar que cuando a  1, (1 + a)−1 ≈ 1 − a. Aplicando esta aproximación a la ecuación 4.2, con a = ∂ξ /∂x, obtenemos ρ = ρ0 (1 − ∂ξ /∂x). Despejemos la onda de densidad, ∆ρ = ρ − ρ0 = −ρ0 ∂ξ /∂x. (4.3) Esta ecuación inmediatamente implica que el desfase entre las ondas de desplazamiento y de densidad es π /2, ya que si una de ellas está expresada con seno, la otra lo está con coseno, debido a que ξ y ∆ρ están relacionadas a través de una derivada, y la derivada de seno es coseno, y de coseno es −seno. Para ξ ( x, t) = ξ0 sen(kx − ωt), ∆ρ = −ρ0ξ0 k cos(kx − ωt). (4.4) El coeficiente del coseno se llama amplitud de densidad, R0 , R0 = kξ0 ρ0. La densidad acústica es ∆ρ = −R0 cos(kx − ωt). La máxima densidad acústica se obtiene con cos(kx − ωt) = −1, ∆ρmáx = (ρ − ρ0 )máx = R0. De donde ρmáx = ρ0 + R0. La densidad mínima es ρmín = ρ0 − R0. La densidad varía entre ρmáx y ρmín , fluctuando alrededor del valor ρ0 (fi- gura 4.2). En la vida cotidiana (por ejemplo, cuando hablamos), ρ0 es la densidad atmosférica y R0 puede tener un valor cercano a 10−5 kg/m3 , ¡y esto es unas cien mil veces menor que ρ0 !; realmente el sonido es peque- ñas fluctuaciones de la densidad (pequeñas quiere decir ∆ρ/ρ0  1, o sea cambios relativos pequeños). Procedamos a obtener la ley de Hooke para el gas: la presión es función de la densidad, p = p(ρ).3 Como el sonido es pequeñas fluctuaciones de p y ρ, es útil expresar a p en series de Taylor alrededor de ρ0 , Figura 4.2 Variación de ρ.    2  dp d p p(ρ) = p(ρ0 ) + (ρ − ρ0 ) + 21 (ρ − ρ0 )2 +···. dρ ρ0 dρ2 ρ0 3 Para la atmósfera, que se comporta muy aproximadamente como un gas ideal, pV = nRT; de esta ecuación se puede obtener una relación entre p y ρ. Módulo 4 Ondas en un fluido 29 Tabla 4.1 Densidad y módulos de algunas sustancias. Material ρ (103 kg/m3 ) Y (1010 Pa) S (1010 Pa) B (1010 Pa) Agua 1.0 0.21 Acero 7.8 20 7.5 16 Aluminio 2.7 7.0 2.5 7.5 Cobre 8.9 11 4.4 14 Latón 8.6 9.0 3.5 6.0 Hierro 7.8 21 7.7 16 Mercurio 13.6 2.8 Plomo 11.3 21 7.8 17 Cuando la densidad es ρ0 la presión es p0 , p(ρ0 ) = p0. Reemplacemos ∆ρ = ρ − ρ0 en la anterior expansión y multipliquemos y dividamos por ρ0 a partir del segundo término del miembro derecho para obtener 2 d2 p      ∆ρ dp ∆ρ p = p0 + ρ0 + 1 2 ρ20 +···. ρ0 dρ ρ0 ρ0 dρ2 ρ0 Para cambios relativos pequeños de la densidad, ∆ρ/ρ0  1, (∆ρ/ρ0 )2 ≪ 1... y en la anterior expansión conservamos solo hasta el segundo término,   ∆ρ dp p = p0 + ρ0. ρ0 dρ ρ0 El módulo volumétrico del fluido es B = ρ0 (dp/dρ)ρ0 , Vea en el multimedia de Físi- ca de las ondas la experiencia p = p0 + ( B/ρ0 )∆ρ. Medida del módulo volumétri- co del aire. Por definición, ∆p = p − p0. Llegamos así a la ecuación que nos relaciona la onda de presión con la onda de densidad, ∆p = ( B/ρ0 )∆ρ. Esta ecuación nos dice que la onda de presión está en fase con la de densi- dad; si ∆ρ se expresa con seno, ∆p se expresa con la misma función. Reem- placemos en la anterior ecuación la ecuación 4.3, ∆p = p − p0 = − B∂ξ /∂x. (4.5) La anterior ecuación corresponde a la ley de Hooke para un fluido. Con ξ = ξ0 sen(kx − ωt), ∆p = − Bkξ0 cos(kx − ωt). El coeficiente del coseno se llama amplitud de presión, P0 , P0 = Bkξ0. (4.6) La presión acústica es ∆p = −P0 cos(kx − ωt). 30 Capítulo 1 Ondas elásticas La presión máxima es pmáx = p0 + P0 ; la presión mínima es pmín = p0 − P0. La presión varía entre pmáx y pmín , fluctuando alrededor de p0 (figura 4.3). Estar en fase la presión y la densidad significa que en los puntos e ins- tantes cuando la presión es máxima, la densidad también lo es. El que estén en fase está de acuerdo con nuestra experiencia cotidiana: cuando aumen- tamos la presión sobre un cuerpo, disminuye su volumen y en consecuen- cia aumenta la densidad. En nuestro objetivo de hallar la ecuación de onda aún nos falta aplicar la segunda ley de Newton al elemento de masa de la figura 4.1: como un Figura 4.3 Variación de p. gas tiende a ocupar el máximo volumen, sobre la cara derecha actúa una fuerza compresiva F 0 dirigida hacia la izquierda, F 0 = − p0 A; sobre la cara izquierda actúa otra fuerza F compresiva dirigida hacia la derecha, F = pA. La fuerza resultante es F 0 + F = − p0 A + pA = A( p − p0 ); esta resta de presiones es la presión en la cara izquierda menos la presión en la cara derecha, y por lo tanto es −∆p, ya que el ∆ de una función se define como la función evaluada a la derecha menos la función evaluada a la izquierda: la fuerza neta es −∆pA; la masa es ρ0 A∆x y la aceleración es ∂2ξ /∂t2. Según la segunda ley de Newton, cuando ∆x → 0, ∂2ξ − A dp = (ρ0 A dx). (4.7) ∂t2 La presión depende de x y t. Para t fijo, dt = 0 y el diferencial total de p es dp = (∂p/∂x) dx. Reemplazando en la ecuación 4.7 y cancelando A y dx obtenemos ∂p ∂2ξ = −ρ0 2. (4.8) ∂x ∂t Según la ecuación 4.5, ∆p = p − p0 = − B∂ξ /∂x; derivemos respecto a x, y tengamos en cuenta que p0 es constante a lo largo del tubo, ∂p ∂2ξ = −B 2. ∂x ∂x Igualemos esta ecuación a la ecuación 4.8 y despejemos la aceleración, ∂2ξ B ∂2ξ =. (4.9) ∂t2 ρ0 ∂x2 Esta ecuación de onda nos informa que cuando perturbamos un fluido, la perturbación no se queda en el sitio que se produce, sino que se propaga ondulatoriamente con rapidez4 √ v= B/ρ0. (4.10) También se puede demostrar que la presión y la densidad cumplen las ecuaciones de onda, ∂2 p B ∂2 p ∂2 ρ B ∂2 ρ = , =. ∂t2 ρ0 ∂x2 ∂t2 ρ0 ∂x2 √ 4 La expresión v = B/ρ0 la obtuvo Newton, pero utilizó un valor de B que corresponde a un proceso isotérmico, cuando a frecuencias audibles el sonido en el aire es un proceso adiabático, y por lo tanto el valor que predijo para la rapidez del sonido es considerablemente inferior al valor real. Solo en 1816 Laplace trató correctamente como adiabática la propagación sonora. Módulo 4 Ondas en un fluido 31 Como p0 y ρ0 son constantes, sus derivadas espaciales y temporales son cero y podemos reemplazar a p por p − p0 = ∆p y a ρ por ρ − ρ0 = ∆ρ, ∂2 ∆p B ∂2 ∆p ∂2 ∆ρ B ∂2 ∆ρ = , =. ∂t2 ρ0 ∂x2 ∂t2 ρ0 ∂x2 Es claro que en el fluido se propagan, simultáneamente, ondas de des- plazamiento longitudinales, de √presión y de densidad, desfasadas entre sí (figura 4.4) y con rapidez v = B/ρ. Si no hay fuerzas recuperadoras ante una deformación, no hay ondas. Como un fluido ideal, o sea no viscoso, no puede transmitir esfuerzos transversales ni deformaciones transversales, entonces tampoco es posible que en él se propaguen ondas transversales. En un fluido solo se propagan ondas longitudinales. Veámoslo así: una lámina tapa el extremo izquierdo de un tubo lleno de un fluido, como aire o agua (figura 4.5). Con la intención de producir una deformación transversal, movemos hacia arriba la lámina, pero el fluido sigue inalterado, como si la lámina estuviera quieta. En cam- bio, si en lugar del tubo hubiera una barra, al mover la lámina, por mera Figura 4.4 Ondas de desplazamiento, pre- fricción, los átomos en contacto con la lámina se desplazarían ligeramente sión y densidad. de su posición de equilibrio, generándose una fuerza recuperadora ante tal deformación, y dando origen a una onda transversal. 4.2 Dependencia de la rapidez con la temperatura La gran mayoría de ondas elásticas en un gas, en particular en el aire, tie- nen frecuencias inferiores a 109 Hz. Hasta esta frecuencia el proceso de pro- pagación ondulatoria es un fenómeno adiabático, por encima de ella es un proceso isotérmico.5 En la aproximación adiabática, B = γ p0 , donde γ = C p /CV (C p es la Figura 4.5 Un fluido no transporta esfuer- zos transversales. capacidad calorífica molar a presión constante y CV es a volumen constan- te),  1.67, gases monoatómicos,  γ = 1.40, gases diatómicos,  1.33, gases poliatómicos.  Reemplacemos B = γ p0 en la ecuación 4.10, √ v = γ p0 /ρ0. (4.11) La presión del gas de la figura 4.6 es p0 , el volumen es V, el número de moles es n, la temperatura es T, la masa total es m. La ecuación de estado para un gas ideal es po V = nRT, donde R = 8.31 J/mol · K es la constante universal de los gases ideales. Dividamos por m, po RT =. m /V m/n La densidad es ρ0 = m/V y la masa molar es M = m/n, Figura 4.6 Un cubo de gas. p0 RT =. ρ0 M 5 Allan Pierce, Acoustics, Acoustical Society of America, Nueva York, 1994, p. 36. 32 Capítulo 1 Ondas elásticas Por lo tanto p0 = ρ0 RT / M. Reemplacemos en la ecuación 4.11 y cancele- mos ρ0 , √ √ v = γRT / M = (γR/ M) T. R es constante, γ solo depende del número de átomos de cada molécula; la masa molar M sí es característica de cada gas. Definamos para un gas en particular la constante α, √ αgas = γR/ Mgas. (4.12) La penúltima ecuación la expresamos como √ v = αgas T. Aunque la densidad de la atmósfera disminuye notablemente con la altura, su composición porcentual es muy uniforme hasta poco menos de los 100 km: el aire está compuesto de 78% de N2 , 21% de O2 , 1% de agua, argón, dióxido de carbono y otros compuestos menos abundantes. La tem- peratura también decrece rápidamente hasta una altura de 17 km (compare con la altura del Everest: 8748 m). Vemos que el aire está compuesto en un 99% por gases diatómicos, por lo que γaire = 1.40. Su masa molar equivalente es Maire ≈ 0.78MN2 + 0.21MO2 = 0.78 × 0.028 + 0.21 × 0.032 ≈ 0.029 kg/mol. Reemplacemos en la ecuación 4.12, r r γR 1.40(8.31 J/mol · K) αaire = = = 20 m/s · K1/2. Maire 0.029 kg/mol La rapidez del sonido en el aire es √ vaire = αaire T, con αaire = 20 m/s · K1/2. (4.13) Hasta una altura cercana a los 100 km en la atmósfera, la concordancia de las predicciones de esta ecuación teórica con las medidas experimentales es excelente. 4.3 Ondas sísmicas Cuando golpeamos un sólido, se propagan en él ondas longitudinales (l) y ondas transversales (t). Solo si el sólido tiene la forma √ de una barra √ delga- da, la rapidez está dada por las ecuaciones vl = Y /ρ y vt = S/ρ. Para un bloque, el estudio de las ondas es más complejo que el visto aquí, de una barra, pero se sigue cumpliendo que vl > vt. En el foco A (la figura 4.7 representa a la Tierra y no está a escala) de un terremoto se producen ondas longitudinales y ondas transversales. A las longitudinales se les llama ondas P y a las transversales ondas S. A un punto en la superficie terrestre, como al epicentro C, llegan primero las on- das P (P de primero) que las S (S de segundo o del inglés shear, que significa cortar). Conociendo la diferencia de tiempo en la llegada de las dos ondas, se puede saber la distancia del foco. Las ondas sísmicas P se propagan con v ≈ 6 km/s o poco más de 20 000 km/h (diámetro terrestre ≈ 13 000 km). Note que 20 000 km/h es Figura 4.7 Interior de la Tierra. un número cercano a la rapidez de las ondas L en una barra de hierro o de aluminio. Módulo 4 Ondas en un fluido 33 Además de conocer la distancia del foco al lugar de recepción de las ondas, también se puede saber su dirección. Se ha notado que en la direc- ción de A a un punto B situado sobre la superficie entre el arco DE, nunca se propagan ondas transversales sino longitudinales. Como vimos, esto es característico de un fluido, por lo que se ha concluido que hay un núcleo fluido en el interior de nuestro planeta. Las líneas AD y AE son tangentes a dicho núcleo. Ejemplo 4.1 Combinando las ecuaciones ∂ξ ∂p ∂ 2ξ p = p0 − B y = −ρ0 2 , ∂x ∂x ∂t obtenga la ecuación de onda para la presión en una columna de gas. Solución. Tomemos la segunda derivada respecto al tiempo de la primera ecuación y conmutémosla con la derivada espacial, ∂2 p ∂ 2ξ   ∂ = −B. ∂t2 ∂x ∂t2 Despejemos a ∂2ξ /∂t2 de la segunda ecuación y reemplacemos en la anterior, ∂2 p B ∂2 p   ∂ 1 ∂p = −B − =. ∂t2 ∂x ρ0 ∂x ρ0 ∂x2 Ejemplo 4.2 Con este ejemplo queremos ilustrar el proceso de producción de so- nidos al tocar (a) una flauta, (b) una trompeta.6 (a) En la figura 4.8a, correspondiente a un corte transversal, la presión dentro de la flauta es la presión atmosférica p0 , la corriente de aire producida por el músico da sobre la boquilla y entra con máxima velocidad a la flauta. Definamos como cero la fase φ de la presión en su interior. En la figura 4.8b ha transcurrido un cuarto de período, la presión llega al má- ximo pmáx = p0 + P0 (P0 : amplitud de presión), deja de entrar aire y un instante después empieza a salir aire por la boquilla. La fase vale π /2. En la figura 4.8c ha transcurrido otro cuarto de período, la presión ha mermado Figura 4.8 Un ciclo de la emisión de una hasta p0 , el aire sale con máxima velocidad. La fase vale π. nota. En la figura 4.8d ha transcurrido un cuarto de período más, la presión llega al mínimo pmín = p0 − P0 , el aire deja de salir y un instante después empieza a entrar. La fase vale 3π /2. Entre las figuras 4.8d y 4.8a transcurre otro cuarto de período, la presión aumen- ta hasta p0 , el aire entra al máximo, la fase vale 2π y se completa un ciclo. Cuando el músico toca un la central, este proceso se repite 440 veces en un segundo. Compare la figura 4.8 con la figura 4.4. (b) En la figura 4.9a, inicio de un ciclo, definimos la fase como cero, los labios están cerrados y dan contra la boquilla de la trompeta. La presión del aire sobre los labios es máxima. En la figura 4.9b ha transcurrido un cuarto de período, la fase es 90◦ , los labios están abiertos, y debido a su inercia continúan abriéndose hasta un máximo que se alcanza otro cuarto de período más tarde, figura 4.9c; la fase es 180◦. La rapidez del aire a través de los labios es máxima y, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la presión es mínima. Al ser máxima la separación entre los labios la fuerza mus- cular que tiende a cerrarlos también es máxima porque están sometidos al mayor esfuerzo, y se inicia el proceso de cierre de los labios. En la figura 4.9d ha transcurrido un cuarto de período más y los labios están parcialmente cerrados; la fase vale 270◦. Entre d y a transcurre el último cuarto de período, los labios se cierran, la pre- Figura 4.9 Un ciclo de la emisión de una sión se hace máxima. La fase vale 360◦ y se completa un ciclo que se repite según nota. 6 Harry Olson, Music, physics and engineering, Dover Publications, Nueva York, 1967, pp. 133-134, 161-162. 34 Capítulo 1 Ondas elásticas la frecuencia de la nota emitida. La onda producida por los labios se asemeja a una señal diente de sierra y no a una función armónica. Si fuera un do central los la- bios vibrarían con una frecuencia de 261.6 Hz y, en consecuencia, la presión del aire también cambiaría con igual frecuencia. El músico puede variar ν modificando la tensión de los labios. Ejemplo 4.3 Suponga que las ondas de presión en una columna de gas tienen la forma ∆p = p − p0 = P0 sen(kx − ωt). (4.14) (a) Usando las ecuaciones 4.3, p. 28, y 4.5, obtenga la expresión para la onda de desplazamiento. (b) Muestre que las ondas de desplazamiento y de presión están desfasadas entre sí un cuarto de longitud de onda, e interprete físicamente y en la representación gráfica de esas ondas, el desfase. (c) Obtenga la expresión para la onda de densidad y muestre que está en fase con la onda de presión. (d) Encuentre la relación entre la amplitud de la onda de densidad y la amplitud de la onda de presión, y entre las amplitudes de densidad y de desplazamiento. Solución (a) Igualemos la ecuación 4.5 a la ecuación 4.14 y multipliquemos por dx, − B(∂ξ /∂x), dx = P0 sen(kx − ωt) dx. (4.15) El diferencial de ξ ( x, t) es dξ = (∂ξ /∂x) dx + (∂ξ /∂t) dt. En un t fijo, dt = 0, y dξ = (∂ξ /∂x) dx. Introduzcamos este diferencial en la ecuación 4.15 e integremos, Z Z − B dξ = − Bξ = P0 sen(kx − ωt) dx = −(P0 /k) cos(kx − ωt). Despejemos la onda de desplazamiento, P0 ξ ( x, t) = cos(kx − ωt) = ξ0 cos(kx − ωt). (4.16) Bk La amplitud de las oscilaciones es ξ0 = P0 / Bk. Reemplazando a B = v2 ρ0 , y a k = 2πν /v, la amplitud toma la forma P0 ξ0 =. (4.17) 2π vρ0 ν (b) La onda de presión, ecuación 4.14, está expresada en términos de la función seno, mientras que la onda de desplazamiento, ecuación 4.16, está expresada con coseno. Puesto que el desfase entre ambas funciones es π /2, este también es el desfase entre dichas ondas. Un desfase se expresa, estrictamente, en radianes, pero como la mínima distancia ∆x, con t fijo, entre un mismo valor arbitrario de las funciones seno y coseno es λ /4 (figura 4.10a), se dice a veces, hablando sin total rigor, que el desfase es λ /4, con unidades de longitud. El desfase se puede ver también en términos temporales en lugar de espaciales Figura 4.10 Desfase de π /2 entre las ondas como en el anterior párrafo. Es válido darlo con unidades de tiempo, y decir que es de desplazamiento y de presión. (a) Interpre- P/4, ya que en un punto fijo x hay que esperar un tiempo mínimo de P/4 (figura tación espacial, (b) interpretación temporal. 4.10b) para que un valor arbitrario de la función seno sea igual al de la función coseno. Un desfase de π /2 (o λ /4 o P/4 según se prefiera) entre dos variables, quiere decir, según las familiares gráficas del seno y del coseno (figura 4.10a), que en el instante en que en ciertos puntos del espacio una de las variables es máxima o mínima, en ese mismo instante y en esos mismos puntos la otra variable vale cero, y viceversa: el elemento de aire en x A está en su posición de equilibrio, ξ ( x A ) = 0, y allí la presión es máxima, p( x A ) = p0 + P0. El elemento de aire en x B está en su posición de equilibrio, ξ ( x B ) = 0, y allí la presión es mínima, p( x B , t) = p0 − P0. Que la presión sea máxima o mínima en los puntos del medio que están en su posición de equilibrio se ve fácilmente interpretando la gráfica de ξ ( x, t), figura 4.11. El campo ξ en los puntos vecinos a x A y a su derecha es positivo, lo que se interpreta como que esas porciones de aire se han alejado de sus respectivas posiciones de equilibrio hacia la derecha, como se indica con la flechita dirigida Módulo 4 Ondas en un fluido 35 hacia la derecha y encima de x A (vea la definición de ξ en la figura y el recuadro de la p. 5). El campo ξ en los puntos vecinos a x A y a su izquierda es negativo, lo que se interpreta como que esas porciones de aire se han alejado de sus respectivas posiciones de equilibrio hacia la izquierda. Esto implica que en x A la presión y la densidad son mínimas. En la vecindad de x B ocurre todo lo contrario, y es un punto de máximas densidad y presión. Visto analíticamente, la pendiente en x A es positiva, (∂ξ /∂x) x A > 0, y según la ecuación 4.5, p − p0 < 0 o p < p0. Por supuesto, en x B , p > p0. En los puntos donde ξ es máxima o mínima, ∂ξ /∂x = 0, y según la ecuación 4.5, Figura 4.11 Onda de desplazamiento p = p0 , esto es, la onda de presión ( p − p0 ) vale cero. ξ ( x, t). Examinando el entorno de los puntos (c) Al dividir la ecuación 4.3 por la ecuación 4.5 y reemplazar B = ρ0 v2 obtenemos del medio se sabe si son de máxima o de mínima presión. ∆ρ = ∆p/v2. (4.18) Si la onda de presión ∆p se expresa con la función seno, también la onda de densi- dad ∆ρ se expresa con la misma función, y como v2 > 0, entonces las ondas están en fase entre sí: ellas alcanzan su máximo, se hacen cero o se vuelven mínimas si- multáneamente. Ello era de esperarse, pues sabemos, según la experiencia común y la ley de los gases ideales, que a mayor presión mayor es la densidad. Reemplacemos la ecuación 4.14 en la ecuación 4.18 para obtener la onda de densidad en función de x y t, ∆ρ = (P0 /v2 ) sen(kx − ωt). (4.19) (d) Designemos R0 a la amplitud de la onda de densidad. De la ecuación 4.19, R0 = P0 / v 2. Despejemos a P0 de la ecuación 4.17 y reemplacemos, 2π vρ0 νξ0 2πρ0ξ0 ξ R0 = = = 2πρ0 0 = kξ0 ρ0. (4.20) v2 v/ν λ Los sonidos que escuchamos son variaciones, con ciertas frecuencias, de la pre- sión y densidad atmosféricas alrededor de los valores de equilibrio p0 y ρ0 , que en Medellín valen 640 mm Hg y 1.0 kg/m3 , respectivamente. En el agua los valores son distintos. Ejemplo 4.4 Halle la condición que se debe cumplir para que los cambios de den- sidad (y de presión) se puedan llamar pequeños. Solución. La ecuación 4.9, p. 30, para las ondas en una columna de gas, se obtuvo para cambios pequeños en la densidad, esto es, para una densidad instantánea ρ que se aparta poco del valor de equilibrio ρ0 , lo que implica que R0  ρ0. En esta desigualdad reemplacemos R0 (ecuación 4.20), kξ0 ρ0  ρ0 ; cancelemos ρ0 , kξ0  1, (2π /λ )ξ0  1, ξ0  λ. Cambios pequeños implica ξ0  λ, y viceversa (hemos despreciado el 2π en la última Figura 4.12 El calificativo de grande o relación). Esta desigualdad, gráficamente, corresponde más con la curva de baja pequeño depende de la relación ξ