Алгебра 7 клас Підручник 2024 PDF

7 Олександр Істер 2024 Олександр Істер  ФОРМУЛИ ЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ...

7 Олександр Істер 2024 Олександр Істер  ФОРМУЛИ ЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ ax  b (a – b)(a + b)  a2 – b2 ÿêùî a  0, ÿêùî a  0 і b  0, ÿêùî a  0 і b  0, (a + b)2  a2 + 2ab + b2 òî õ – áóäü-ÿêå òî ðіâíÿííÿ (a – b)2  a2 – 2ab + b2 òî ÷èñëî íå ìàє êîðåíіâ a3 – b3  (a – b)(a2 + ab + b2) a3 + b3  (a + b)(a2 – ab + b2) К ВАДРАТИ І КУБИ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ ВІД 1 ДО 10 (a + b)3  a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3  a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ aman  am+n am+n  aman СТЕПЕНІ ЧИСЕЛ 2 ТА 3 am : an  am–n am–n  am : an (am)n  amn amn  (am)n  (an)m n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (ab)n  anbn anbn  (ab)n 2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 3n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049 a1  a  ТАБЛИЦЯ КВАДРАТІВ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ ГРАФІК ЛІНІЙНОЇ ФУНКЦІЇ ВІД 10 ДО 99 y  –3x + 2 Д x 0 2 е y 2 –4 с я Од ин и ц і т к и 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 ГРАФІЧНИЙ СПОСІБ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 СИСТЕМ РІВНЯНЬ 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 M(3; –2) 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 x  3; y  –2 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 Ïåðåâіðêà: 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801  ОЛЕКСАНДР ІСТЕР АЛГЕБРА ЛГЕБРА Ïіäðó÷íèê äëÿ 7 êëàñó çàêëàäіâ çàãàëüíîї ñåðåäíüîї îñâіòè Êèїâ «Ãåíåçà» 2024 ÓÄÊ 512(075.3) І-89 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (íàêàç Ìіíіñòåðñòâà îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè âіä 05.02.2024 № 124) Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî Âіäïîâіäàє ìîäåëüíіé íàâ÷àëüíіé ïðîãðàìі «Àëãåáðà. 7–9 êëàñè» äëÿ çàêëàäіâ çàãàëüíîї ñåðåäíüîї îñâіòè (àâòîð Іñòåð Î. Ñ.) Іñòåð Î. Ñ. І-89 Àëãåáðà : ïіäðó÷. äëÿ 7-ãî êë. çàêë. çàã. ñåðåä. îñâіòè / Îëåêñàíäð Іñòåð. — Êèїâ : Ãåíåçà, 2024. — 288 ñ. : іë. ISBN 978-617-8353-29-2. ÓÄÊ 512(075.3) © Іñòåð Î. Ñ., 2024 © «Ãåíåçà», ISBN 978-617-8353-29-2 978 617 8353 29 2 îðèãіíàë ìàêåò, 2024 îðèãіíàë-ìàêåò,  Øàíîâíі ñåìèêëàñíèöі òà ñåìèêëàñíèêè! Âè ïî÷èíàєòå âèâ÷àòè îäíó ç íàéâàæëèâіøèõ ìàòåìàòè÷íèõ äèñöèïëіí – àëãåáðó. Äîïîìîæå âàì ó öüîìó ïіäðó÷íèê, ÿêèé âè òðèìàєòå â ðóêàõ. Ó ïіäðó÷íèêó âèêîðèñòàíî òàêі óìîâíі ïîçíà÷åííÿ: – ïðèãàäàé (ðàíіøå âèâ÷åíå); – çâåðíè îñîáëèâó óâàãó; – çàïèòàííÿ і çàâäàííÿ äî òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó; 113 – çàâäàííÿ äëÿ êëàñíîї і 115 – äîìàøíüîї ðîáîòè; – ðóáðèêà «Óêðàїíà – öå ìè»; – ðóáðèêà «Öіêàâі çàäà÷і – ïîìіðêóé îäíà÷å»; – ðóáðèêà «Æèòòєâà ìàòåìàòèêà»; – âïðàâè äëÿ ïіäãîòîâêè äî âèâ÷åííÿ íîâîї òåìè; – âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; – ðóáðèêà «Ãîëîâíå â ðîçäіëі». Òåêñò, íàäðóêîâàíèé æèðíèì øðèôòîì, çâåðòàє âàøó óâàãó íà íîâå ïîíÿòòÿ àáî òàêå, ÿêå òðåáà ïðèãàäàòè. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëüíèõ äîñÿã- íåíü і âèîêðåìëåíî òàê: ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ; ç ïîçíà÷êè ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöі- íþâàííÿ ìîæíà, âèêîíóþ÷è çàâäàííÿ «Äîìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè», ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіð- êè çíàíü». Ïіñëÿ êîæíîãî ðîçäіëó íàâåäåíî âïðàâè äëÿ éîãî ïîâ- òîðåííÿ, ãîëîâíèé òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë (ðóáðèêà «Ãîëîâíå â ðîç- 3 äіëі»), à â êіíöі ïіäðó÷íèêà – «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü çà êóðñ àëãåáðè 7 êëàñó». «Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі» äîïîìî- æóòü ïіäãîòóâàòèñÿ äî ìàòåìàòè÷íîї îëіìïіàäè òà ïîãëèáèòè çíàííÿ ç ìàòåìàòèêè. Àâòîð íàìàãàâñÿ ïîäàòè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë ïðîñòîþ, äî- ñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðóâàòè éîãî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëà- äіâ. Ïіñëÿ âèâ÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó â øêîëі éîãî îáîâ’ÿç- êîâî ïîòðіáíî îïðàöþâàòè âäîìà. Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Áіëüøіñòü ç íèõ âè ðîçãëÿíåòå íà óðîêàõ òà ïіä ÷àñ äîìàøíüîї ðîáîòè, іíøі âïðà- âè ðåêîìåíäóєòüñÿ ðîçâ’ÿçàòè ñàìîñòіéíî. Ó ðóáðèöі «Æèòòєâà ìàòåìàòèêà» çіáðàíî çàäà÷і, ÿêі ÷àñòî äîâîäèòüñÿ ðîçâ’ÿçóâàòè â ïîâñÿêäåííîìó æèòòі. Öіêàâі ôàêòè ç іñòîðії âèíèêíåííÿ ìàòåìàòè÷íèõ ïîíÿòü і ñèìâîëіâ òà ðîçâèòêó ìàòåìàòèêè ÿê íàóêè âè çíàéäåòå â ðóá- ðèöі «À ùå ðàíіøå...». Áàæàєìî óñïіõіâ â îïàíóâàííі êóðñó! Øàíîâíі â÷èòåëüêè òà â÷èòåëі! Ïðîïîíîâàíèé ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ; âïðàâè áіëüøîñòі ïàðàãðàôіâ ïîäàíî «іç çàïàñîì». Òîæ îáèðàéòå їõ äëÿ âèêîðèñòàííÿ íà óðîêàõ, ôàêóëüòàòèâíèõ, іíäèâіäóàëü- íèõ, äîäàòêîâèõ çàíÿòòÿõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ/ó÷åíèöü, äèôåðåí- öіàöії íàâ÷àííÿ òîùî. Äîäàòêîâі âïðàâè ó «Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü» ïðèçíà- ÷åíî äëÿ ó÷íіâ/ó÷åíèöü, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàííÿìè ðàíіøå çà іíøèõ. ×è ïðàâèëüíî їõ ðîçâ’ÿçàíî, ó÷èòåëü/ó÷èòåëü- êà ìîæå îöіíèòè îêðåìî. Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ ðîçäіëіâ ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷íÿì, íàïðèêëàä, ïіä ÷àñ óðîêіâ óçàãàëüíåííÿ àáî ïіä ÷àñ ïîâòîðåííÿ і ñèñòåìàòèçàöії íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó â êіíöі íàâ÷àëüíîãî ðîêó. Ó ðóáðèöі «Æèòòєâà ìàòåìàòèêà» çіáðàíî çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç åêîíîìі÷íîþ ãðàìîòíіñòþ і ïіäïðèєìëèâіñòþ, åêîíîìі÷íîþ áåç- ïåêîþ, çäîðîâèì ñïîñîáîì æèòòÿ, ãðîìàäÿíñüêîþ âіäïîâіäàëüíі- ñòþ, à â ðóáðèöі «Ïіäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðіàëó» – çàäà÷і, ùî äîïîìîæóòü àêòóàëіçóâàòè âіäïîâіäíі çíàííÿ. «Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі» â êіíöі ïіäðó÷íèêà äîïîìî- æóòü ïіäãîòóâàòè ó÷íіâ/ó÷åíèöü äî ðіçíîìàíіòíèõ ìàòåìàòè÷íèõ çìàãàíü òà ïіäâèùèòè їõíþ öіêàâіñòü äî ìàòåìàòèêè. 4  «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü çà êóðñ àëãåáðè 7 êëàñó», ÿêі òàêîæ ðîçìіùåíî â êіíöі ïіäðó÷íèêà, ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ó÷- íÿì äëÿ ïіäãîòîâêè äî ðі÷íîї êîíòðîëüíîї ðîáîòè. Øàíîâíі äîðîñëі! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêî- ëі, ïîòðіáíî çàïðîïîíóâàòè їé ñàìîñòіéíî îïðàöþâàòè ìàòåðіàë öèõ óðîêіâ çà ïіäðó÷íèêîì óäîìà. Ñïî÷àòêó äèòèíà ìàє ïðî÷èòà- òè òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë, ÿêèé âèêëàäåíî ïðîñòîþ, äîñòóïíîþ ìîâîþ, ïðîіëþñòðîâàíî çíà÷íîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Ïіñëÿ öüî- ãî ïîòðіáíî ðîçâ’ÿçàòè âïðàâè, ùî ïîñèëüíі, ç ðîçãëÿíóòîãî ïàðà- ãðàôà. Óïðîäîâæ êóðñó àëãåáðè 7 êëàñó, ÿêèé îïðàöüîâóє äèòèíà, âè ìîæåòå ïðîïîíóâàòè їé äîäàòêîâî ðîçâ’ÿçóâàòè âäîìà âïðàâè, ùî íå ðîçãëÿäàëèñÿ ïіä ÷àñ óðîêó. Öå ñïðèÿòèìå ÿêíàéêðàùîìó çà- ñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Êîæíà òåìà çàêіí÷óєòüñÿ òåìàòè÷íèì îöіíþâàííÿì. Ïåðåä éîãî ïðîâåäåííÿì çàïðîïîíóéòå äèòèíі ðîçâ’ÿçàòè çàâäàííÿ «Äî- ìàøíüîї ñàìîñòіéíîї ðîáîòè», ÿêі ïîäàíî â òåñòîâіé ôîðìі, òà «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü». Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ òà ÿêіñíî ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ. ßêùî âàøà äèòèíà âèÿâëÿє ïіäâèùåíó öіêàâіñòü äî ìàòåìàòè- êè òà áàæàє ïîãëèáèòè ñâîї çíàííÿ, çâåðíіòü óâàãó íà «Çàäà÷і ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі», ÿêі ðîçìіùåíî â êіíöі ïіäðó÷íèêà. 5  ПОВТОРЮЄМО МАТЕМАТИКУ ЗА 5–6 КЛАСИ Натуральні числа і дії з ними. Подільність натуральних чисел 1. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçіâ òà äіçíàєòåñÿ êіëüêіñòü ìåø- êàíöіâ ó äåÿêèõ ìіñòàõ Óêðàїíè íà ìîìåíò îñòàííüîãî ïåðå- ïèñó íàñåëåííÿ (2001 ð.). Äіçíàéòåñÿ, äî ÿêèõ îáëàñòåé íàëå- æàòü öі ìіñòà: 1) 13 145 + 7435 (Êðàñèëіâ); 2) 203 912 + 825 137 (Îäåñà); 3) 78 117 – 13 256 (Ïðèëóêè); 4) 974 002 – 725 189 (Ðіâíå); 5) 313 ∙ 42 (Áàøòàíêà); 6) 833 ∙ 281 (Êðåìåí÷óê); 7) 64 246 : 13 (Ðóäêè); 8) 1 536 470 : 106 (Ñóäàê). 2. Îá÷èñëіòü: 1) 137 125 + 321 117; 2) 429 113 – 253 087; 3) 429 ∙ 17; 4) 91 575 : 45; 5) 79 335 : 215; 6) 137 ∙ 273. 3. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) 297 + (495 + 703); 2) 329 + 1075 + 1925 + 671; 3) 250 ∙ 49 ∙ 4; 4) 125 ∙ 37 ∙ 8 ∙ 2. 4. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) (724 + 913) + 276; 2) 2715 + 256 + 1285 + 744; 3) 500 ∙ 73 ∙ 20; 4) 25 ∙ 13 ∙ 400 ∙ 7. 5. Çàïèøіòü óñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 16; 2) 38; 3) 60. 6. Çàïèøіòü óñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 25; 2) 36; 3) 78. 7. Ðîçêëàäіòü íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 48; 2) 80. 8. Ðîçêëàäіòü íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 60; 2) 96. 9. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê і íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë: 1) 19 і 3; 2) 36 і 48; 3) 17 і 51; 4) 10; 15 і 25. 10. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê і íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë: 1) 7 і 12; 2) 39 і 52; 3) 54 і 18; 4) 12; 16 і 20. 11. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó (166 788 : 452 – 125) ∙ 409 – 97 962 òà äіçíàéòåñÿ ðіê çàñíóâàííÿ Êèїâñüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíі- âåðñèòåòó іìåíі Òàðàñà Øåâ÷åíêà. 6  Ïîâòîðþºìî ìàòåìàòèêó çà 5–6 êëàñè 12. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó 95 472 – (423 – 35 133 : 147) ∙ 509 òà äіçíàéòåñÿ ðіê çàñíóâàííÿ Íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòåòó «Ëüâіâñüêà ïîëіòåõíіêà». 13. ßêîþ öèôðîþ çàêіí÷óєòüñÿ ÷èñëî: 1) 53472; 2) 20033 – 1952; 3) 1463 + 1272 – 393? 14. ßêîþ öèôðîþ çàêіí÷óєòüñÿ ÷èñëî: 1) 72932; 2) 40073 – 1292; 3) 1253 + 1383 – 452? 15. Çíàéäіòü íàéìåíøå і íàéáіëüøå ï’ÿòèöèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 124. 16. Çíàéäіòü íàéìåíøå і íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 39. Десяткові дроби і дії з ними 17. (Óñíî.) Îá÷èñëіòü: 1) 4 + 2,7; 2) 1,8 + 3,2; 3) 4,5 – 1,2; 4) 7,2 – 4,5; 5) 10 ∙ 5,2; 6) 4,3 ∙ 0,01; 7) 3,6 : 3; 8) 2,8 : 0,1. 18. Âèêîíàéòå äіþ: 1) 4,92 + 5,713; 2) 12,38 – 4,113; 3) 3,5 ∙ 2,14; 4) 2,62; 5) 5,9 ∙ 4,03; 6) 41,04 : 12; 7) 8,55 : 2,5; 8) 0,73. 19. Âèêîíàéòå äіþ: 1) 5,731 + 9,28; 2) 17,52 – 9,293; 3) 7,6 ∙ 4,15; 4) 3,22; 5) 2,05 ∙ 4,7; 6) 31,2 : 15; 7) 8,82 : 2,8; 8) 0,63. 20. Çàïèøіòü ó ïîðÿäêó çðîñòàííÿ ÷èñëà 2,9(Ï); 2,81(Ë); 3,41(Ê); 2,8(Ñ); 3,4(À); 2,89(І) òà ïðî÷èòàéòå ïðіçâèùå âіäîìî- ãî ó ñâіòі óêðàїíñüêîãî îïåðíîãî ñïіâàêà, Ãåðîÿ Óêðàїíè. Äіç- íàéòåñÿ ç іíòåðíåòó áіëüøå ïðî íüîãî. 21. Çàïèøіòü ó ïîðÿäêó ñïàäàííÿ ÷èñëà 7,7(Ï); 7,6(Í); 7,8(І); 6,8(Ü); 7,73(Ð); 7,65(І) òà ïðî÷èòàéòå íàçâó ìіñòà-ãåðîÿ Óêðàї- íè. Äіçíàéòåñÿ ç іíòåðíåòó, çà ùî ìіñòó áóëî ïðèñâîєíî öå çâàííÿ. 22. Îêðóãëіòü ÷èñëà: 1) 7,25; 3,739; 8,03; 9,05 äî äåñÿòèõ; 2) 5,713; 9,8999; 4,115; 8,718 äî ñîòèõ; 3) 7,389; 4,5; 9,93; 7,38 äî îäèíèöü; 4) 135,72; 431,431 äî äåñÿòêіâ. 7 Ïîâòîðþºìî ìàòåìàòèêó çà 5–6 êëàñè 23. Îêðóãëіòü ÷èñëà: 1) 17,38; 49,55; 4,06; 7,02 äî äåñÿòèõ; 2) 13,548; 29,341; 9,999; 4,444 äî ñîòèõ; 3) 3,713; 14,52; 7,111 äî îäèíèöü. 24. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 2,9 ∙ (7,32 + 0,08 : 0,125) – 4,2 ∙ 0,25 + 7,35; 2) (7,85 + 4,22) : 5 – 0,93 : 3. 25. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 45,2 ∙ 0,75 – (9,34 + 0,06 : 0,25) ∙ 2,8 – 4,05; 2) (8,93 – 2,62) : 4 + 0,63 : 2. 26. Çàïèøіòü òðè äåñÿòêîâèõ äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ: 1) áіëüøèé çà 4,8 і ìåíøèé âіä 4,9; 2) ìåíøèé âіä 0,43 і áіëüøèé çà 0,41. 27. Çàïèøіòü òðè äåñÿòêîâèõ äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ: 1) ìåíøèé âіä 9,6 і áіëüøèé çà 9,4; 2) áіëüøèé çà 4,83 і ìåíøèé âіä 4,84. Звичайні дроби і дії з ними. Відсотки 28. (Óñíî.) Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8). 29. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8). 30. Âèêîíàéòå äіþ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8). 31. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2). 8  Ïîâòîðþºìî ìàòåìàòèêó çà 5–6 êëàñè 32. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2). 33. Äçâіíîê äëÿ âåëîñèïåäà êîøòóє 150 ãðí. Ñêіëüêè êîøòóâàòè- ìå âåëîñèïåäíèé äçâіíîê ïіñëÿ: 1) çíèæåííÿ öіíè íà 10 %; 16 %; 2) ïіäâèùåííÿ öіíè íà 8 %; 20 %? 34. ×îõîë äëÿ òåëåôîíà êîøòóє 200 ãðí. Ñêіëüêè êîøòóâàòèìå ÷îõîë ïіñëÿ: 1) ïіäâèùåííÿ öіíè íà 15 %; 9 %; 2) çíèæåííÿ öіíè íà 4 %; 30 %? 35. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) x + 0,4  ; 2) x –  ; 3) – x  0,6; 4)  ; 5) x :  1,6; 6) 2,4 : x . 36. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) –x ; 2) 0,8 + x  ; 3) x – 0,05  ; 4) 3,2 : x  ; 5) 1,5x  ; 6) x :  2,8. 37. Àâòîìîáіëü çà ïåðøèé äåíü ïîäîðîæі ç Êèєâà äî Áóõàðåñòà ïîäîëàâ 364 êì, ùî ñòàíîâèòü 40 % âіä âіäñòàíі ìіæ öèìè ìіñòàìè. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ éîìó çàëèøèëîñÿ ïîäîëàòè? 38. Ïðèäáàâøè êíèæêó çà 90 ãðí, Îëÿ âèòðàòèëà 30 % ãðîøåé, ÿêі ìàëà. Ñêіëüêè ãðîøåé çàëèøèëîñÿ â äіâ÷èíêè? 39. Îá÷èñëіòü äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðèâøè äåñÿòêîâèé äðіá ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðèâøè ìіøàíå ÷èñëî â äåñÿò- êîâèé äðіá): 1) 13,75 + ; 2) – 3,9; 3) 1,125 ∙ ; 4) : 1,4. 40. Îá÷èñëіòü äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðèâøè äåñÿòêîâèé äðіá ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðèâøè ìіøàíå ÷èñëî â äåñÿòêî- âèé äðіá): 1) + 6,05; 2) 3,48 – ; 3) 1,15 ∙ ; 4) 5,2 :. 9 Ïîâòîðþºìî ìàòåìàòèêó çà 5–6 êëàñè 41. Ïіñëÿ çíèæåííÿ öіíè íà 10 % íàâóøíèêè ñòàëè êîøòóâàòè 225 ãðí. ßêîþ áóëà ïî÷àòêîâà âàðòіñòü íàâóøíèêіâ? 42. Ïіä ÷àñ ñóøіííÿ ÿáëóêà âòðà÷àþòü 82 % ñâîєї ìàñè. Ñêіëüêè ïîòðіáíî ñâіæèõ ÿáëóê, ùîá îòðèìàòè 9 êã ñóøåíèõ? 43. Öіíó òîâàðó ñïî÷àòêó çáіëüøèëè íà 20 %, à ïîòіì íîâó öіíó çìåíøèëè íà 15 %. ßê і íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìіíèëàñÿ öіíà ïîðіâíÿíî ç ïî÷àòêîâîþ? 44. Öіíó òîâàðó ñïî÷àòêó çìåíøèëè íà 20 %, à ïîòіì íîâó öіíó çáіëüøèëè íà 15 %. ßê і íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìіíèëàñÿ öіíà òîâàðó ïîðіâíÿíî ç ïî÷àòêîâîþ? Відношення і пропорції 45. (Óñíî.) ×îìó ðіâíіñòü є ïðîïîðöієþ? Íàçâіòü її êðàéíі é ñåðåäíі ÷ëåíè. 46. (Óñíî.) Ñêіëüêîì êіëîìåòðàì íà ìіñöåâîñòі âіäïîâіäàє 1 ñì íà êàðòі ç ìàñøòàáîì: 1) 1 : 100 000; 2) 1 : 700 000; 3) 1 : 5 000 000? 47. Çíàéäіòü íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії: 1) x : 6  5 : 3; 2) ; 3) x : 12 . 48. Çíàéäіòü íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії: 1) 6 : x  2 : 7; 2) ; 3). 49. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 2 âіä 5; 2) 18 âіä 12; 3) 3,5 âіä 17,5; 4) âіä ? 50. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 4 âіä 8; 2) 20 âіä 16; 3) 2,6 âіä 10,4; 4) âіä ? 51. Ïîäіëіòü ÷èñëî: 1) 28 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 5 : 2; 2) 36 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 1 : 3 : 5. 52. Ïîäіëіòü ÷èñëî: 1) 48 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 1 : 3; 2) 50 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5 : 3. 10  Ïîâòîðþºìî ìàòåìàòèêó çà 5–6 êëàñè 53. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2). 54. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2). 55. 1) Ìàéñòåð çà ïåðøèé òèæäåíü âіäðåìîíòóâàâ 24 äåâàéñè, à çà äðóãèé — 30 äåâàéñіâ. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çðîñëà ïðî- äóêòèâíіñòü ïðàöі ìàéñòðà? 2) Ìàéñòåð çà ïåðøèé òèæäåíü âіäðåìîíòóâàâ 30 äåâàéñіâ, à çà äðóãèé — 24 äåâàéñè. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çíèçèëàñÿ ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ìàéñòðà? 56. Òîâàð êîøòóâàâ 80 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøèëàñÿ àáî çìåíøèëàñÿ öіíà òîâàðó, ÿêùî â ðåçóëüòàòі ïåðåîöіíêè âіí ñòàâ êîøòóâàòè: 1) 72 ãðí; 2) 84 ãðí? 57. Äî 180 ã 10-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîëèëè 70 ã âîäè. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé óìіñò ñîëі â íîâîìó ðîç÷èíі? 58. Äî ñïëàâó ìàñîþ 250 ã, ùî ìіñòèòü 40 % îëîâà, äîëèëè 150 ã îëîâà. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé óìіñò îëîâà â íîâîìó ñïëàâі? Раціональні числа і дії з ними 59. Îá÷èñëіòü: 1) –8 + (–9); 2) –13,6 + (–7,9); 3) 29 + (–11); 4) –37 + 4,5; 5) –8 – 5; 6) –9 – (–4); 7) 7 – (–3); 8) 4 – 9,1; 9) 2,9 ∙ (–10); 10) –4 ∙ (–4,5); 11) –4,2 : (–4); 12) 8 : (–0,01). 60. Âèêîíàéòå äії: 1) –6 + (–10); 2) –4,9 + (–5,7); 3) –38 + 12; 4) 7,2 + (–5); 5) –4 – (–3); 6) –9 – 11; 7) 0 – (–9); 8) 5 – 10,2; 9) –5,1 ∙ (–0,1); 10) –6 ∙ 2,5; 11) –7,2 : 10; 12) –7,5 : (–5). 61. Âèêîíàéòå äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) 7) ; 9). 11 Ïîâòîðþºìî ìàòåìàòèêó çà 5–6 êëàñè 62. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 7) ; 9). 63. Çàïèøіòü óñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿ- ìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) –2,7 і 4,1; 2) –102,5 і –97,9; 3) і. 64. Çàïèøіòü óñі öіëі ÷èñëà, ùî ìіñòÿòüñÿ íà êîîðäèíàòíіé ïðÿ- ìіé ìіæ ÷èñëàìè: 1) і 4,7; 2) –85,3 і –78,4; 3) і. 65. Ïîçíà÷òå íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè: A(–2; 4), M M(0; –3), K K(5; 1), D(4; 0), L(–6; –2), NN(2; –3). 66. Ïîçíà÷òå íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі òî÷êè: B(2; –5), C(–2; 0), T(4; 2), E(0; 3), Q(–4; –1), P(–5; 2). 67. Çâåäіòü ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 4x + 2y – 5x – 2y; 2) –5,9 + 11,2a + 7,8 – 18a; 3) –9a + 7b – 8 + 3a – b; 4) 2,7x 7 + 3x + 12y – 9,8y – 5,7x 7. 68. Çâåäіòü ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 7 7p – 2m + 6p 6 + 2m; 2) –14b + 3,9 – 7,2 + 18,5b; 3) 5x – 8y + 5 – 4x + y; 4) 2,5a – 2,9b + 3a + 3,7b – 5,5a. 69. Ðîçêðèéòå äóæêè і çâåäіòü ïîäіáíі äîäàíêè: 1) –5(2a – 3) + 3(4a – 5); 2) 2(a – 3m) – 7(2a + m); 3) (2y – 3) ∙ (–3) + 2(4y – 1); 4) 2,4(2x – 3) – 4,8(x – 5). 70. Ðîçêðèéòå äóæêè і çâåäіòü ïîäіáíі äîäàíêè: 1) –4(3a – 2) + 6(2a – 1); 2) 5(b – 3c) – 3(4b + c); 3) (7x 7 – 2) ∙ (–4) + 2(4 – 3y); 4) 2,6(3a – 5) – 7,8(a – 10). 71. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 0,5(2x – 3) + 2,6  0,2(4 + 2x); 2). 12  Ïîâòîðþºìî ìàòåìàòèêó çà 5–6 êëàñè 72. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 0,5(3 – x x) + 1,4  –0,3(2x – 2); 2). 73. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó òà äіçíàéòåñÿ, ó ÿêîìó ñòîëіòòі áóëà ïåðøà ïèñüìîâà çãàäêà ïðî ñåëèùå Ãóðçóô ó Êðèìó. 74. Îá÷èñëіòü çíà÷åííÿ âèðàçó òà äіçíàéòåñÿ ðіê çàêëàäàííÿ Ìèõàéëіâñüêîãî Çîëîòîâåðõîãî ñîáîðó â Êèєâі. 75. Ñïðîñòіòü âèðàç 5(2,6a + 3,4b) – 2(6a – 2,5b) òà çíàéäіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî a  –11;. 76. Ñïðîñòіòü âèðàç 6(1,5x + 2,5y) – 5(2x – 3y) òà çíàéäіòü éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî x  –2;. 77. Çíàéäіòü ñóìó, äîäàíêàìè ÿêîї є ÷èñëà: îáåðíåíå òà ïðî- òèëåæíå äî ÷èñëà 2,6. 78. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó a2, ÿêùî. 79. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó b3, ÿêùî b  24,25 – + ∙ (–4,8). 80. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó 10b – (2b + 4x), ÿêùî x – 2b  –5. 81. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó 15a – (3a + 4m), ÿêùî m – 3a  –3. Ïiäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðiàëó 82. ×è є ÷èñëî –2 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) õ + 5  7; 2) õ ∙ 4  –8; 3) õ – 3  –5; 4) –10 : õ  –5? 83. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) õ – 3  8; 2) 7 + õ  3; 3) –4õ  –20; 4) õ : 3  –7. ßêùî âàì ïîòðіáíî ïðèãàäàòè ïîíÿòòÿ àáî òåðìіí ç òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çà 5–6 êëàñè, òî öå ìîæíà çðî- áèòè, çàéøîâøè çà ïîñèëàííÿì https://cutt.ly/AwKIdi35 àáî QR-êîäîì. 13  РОЗДIЛ 1 ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ВИ: пригадаєте основні властивості рівнянь з однією змінною; ознайомитеся з лінійним рівнянням з однією змінною; навчитеся розв’язувати лінійні рівняння з однією змінною та рівняння, які до них зводяться; текстові задачі за допомогою рівнянь. § 1. Загальні відомості про рівняння Рівняння та його розв’язки Óïðîäîâæ áàãàòüîõ ñòîëіòü àëãåáðà ðîçâèâàëàñÿ ÿê íàóêà ïðî ðіâíÿííÿ. Îñíîâíі âіäîìîñòі ïðî ðіâíÿííÿ âè âæå çíàєòå ç ïîïåðåäíіõ êëàñіâ. Âèðàç, çàïèñàíèé ó ðіâíÿííі ëіâîðó÷ âіä çíàêà ðіâíî- ñòі, íàçèâàþòü ëіâîþ ÷àñòèíîþ ðіâíÿííÿ, à âèðàç, çàïèñàíèé ïðàâîðó÷, – ïðàâîþ ÷àñòèíîþ ðіâíÿííÿ. ßêùî â ðіâíÿííÿ 4x – 6  x çàìіñòü çìіííîї x ïіäñòàâèòè ÷èñ- ëî 2, òî îäåðæèìî ïðàâèëüíó ÷èñëîâó ðіâíіñòü: 4 · 2 – 6  2, àäæå ÷èñëîâі çíà÷åííÿ îáîõ ÷àñòèí ðіâíÿííÿ áóäóòü ìіæ ñîáîþ ðіâíі. Ó òàêîìó ðàçі ïðî ÷èñëî 2 êàæóòü, ùî âîíî є êîðåíåì ðіâíÿííÿ. Про число, яке є коренем рівняння, ще кажуть, що воно задоволь- няє рівняння. Ðіçíі ðіâíÿííÿ ìîæóòü ìàòè ðіçíó êіëüêіñòü êîðåíіâ. Íàïðèêëàä, ðіâíÿííÿ 4x – 6  x ìàє ëèøå îäèí êîðіíü – ÷èñ- ëî 2. Ðіâíÿííÿ x(x – 6)  0 ìàє äâà êîðåíі – ÷èñëà 0 і 6. Ðіâíÿííÿ 14  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ x + 0,1  0,1 + x çàäîâîëüíÿòèìå áóäü-ÿêå çíà÷åííÿ çìіííîї x, òîáòî áóäü-ÿêå ÷èñëî є éîãî êîðåíåì, îòæå, öå ðіâíÿííÿ ìàє áåç- ëі÷ êîðåíіâ. Àëå íå іñíóє æîäíîãî çíà÷åííÿ çìіííîї x, ÿêå á ïåðå- òâîðþâàëî ðіâíÿííÿ x + 1  x ó ïðàâèëüíó ÷èñëîâó ðіâíіñòü, àäæå äëÿ êîæíîãî çíà÷åííÿ çìіííîї x çíà÷åííÿ ëіâîї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ áóäå íà 1 ïåðåâèùóâàòè çíà÷åííÿ ïðàâîї éîãî ÷àñòèíè. Òîìó ðіâ- íÿííÿ êîðåíіâ íå ìàє. Рівносильні рівняння Ðîçãëÿíåìî ðіâíÿííÿ і. Êîæíå ç íèõ ìàє єäèíèé êîðіíü – ÷èñëî 4. Öі ðіâíÿííÿ є ðіâíîñèëüíèìè. Приклад 1. ×è ðіâíîñèëüíі ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) x + 2  x і 2 – x  5 – x; 3) 18 – x  11 і 21 : x  3? Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Êîðåíåì ðіâíÿííÿ є ÷èñëî 1, à êîðåíåì ðіâíÿííÿ – ÷èñëî 2. Òîìó ðіâíÿííÿ і íå є ðіâíîñèëüíèìè. 2) Êîæíå ç ðіâíÿíü і íå ìàє êîðåíіâ, òîìó öі ðіâíÿííÿ є ðіâíîñèëüíèìè. 3) Êîðåíåì ðіâíÿííÿ 18 – x  11 є ÷èñëî 7. Êîðåíåì ðіâíÿííÿ 21 : x  3 òàêîæ є ÷èñëî 7. Òîìó ðіâíÿííÿ 18 – x  11 і 21 : x  3 – ðіâíîñèëüíі. Âіäïîâіäü: 1) íі; 2), 3) òàê. Властивості рівнянь Äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ðіâíÿíü âèêîðèñòîâóþòü âëàñòèâîñòі, ÿêі ïåðåòâîðþþòü ðіâíÿííÿ íà ðіâíîñèëüíі їì ðіâíÿííÿ: 15 ÐÎÇÄ²Ë 1 Приклад 2. Ç’ÿñóâàòè, ÷è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) 2(x – 1)  5x і ; 2) 3a + 2  5a – a – 7 і 3a + 2  4a – 7; 3) і ; 4) 0,5b  1,5b – 3,5 і b  3b – 7. Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Ðіâíÿííÿ 2(x – 1)  5x і є ðіâíîñèëü- íèìè, îñêіëüêè äðóãå ðіâíÿííÿ îäåðæóєìî ç ïåðøîãî ðîçêðèò- òÿì äóæîê ó éîãî ëіâіé ÷àñòèíі. 2) Ðіâíÿííÿ 3a + 2  5a – a – 7 і 3a + 2  4a – 7 – ðіâíîñèëüíі, îñêіëüêè äðóãå ðіâíÿííÿ îäåðæóєìî ç ïåðøîãî çâåäåííÿì ïîäіá- íèõ äîäàíêіâ ó éîãî ïðàâіé ÷àñòèíі. 3) Ðіâíÿííÿ і – ðіâíîñèëüíі, îñêіëüêè äðóãå ðіâíÿííÿ îäåðæóєìî ç ïåðøîãî ïåðåíåñåííÿì äîäàíêà ç ïðàâîї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ â ëіâó çі çìіíîþ çíàêà öüîãî äîäàíêà íà ïðîòèëåæíèé. 4) Ðіâíÿííÿ 0,5b  1,5b – 3,5 і b  3b – 7 – ðіâíîñèëüíі, îñêіëü- êè äðóãå ðіâíÿííÿ îäåðæóєìî øëÿõîì ìíîæåííÿ íà 2 îáîõ ÷à- ñòèí ïåðøîãî ðіâíÿííÿ. Âіäïîâіäü: 1) – 4) òàê, ðіâíÿííÿ ðіâíîñèëüíі. У ІХ ст. видатний арабський математик Мухаммед бен Муса Аль-Хорезмі у своєму трактаті «Кітаб аль-джебр аль-мукабала» зібрав і систематизував наявні на той час методи розв’язування рівнянь. Узятий з назви цієї книжки термін «аль-джебр» (у перекладі з арабської означає «відновлення») надалі став уживатися як «алгебра» і дав назву цілій науці. У ті часи, коли Аль-Хорезмі писав свій трактат, від’ємні числа вважа- лися хибними, несправжніми. Тому коли від’ємне число переносили з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи його знак, вважали, що воно «відновлюється» (стає додатним), тобто з несправжнього перетворюєть- ся на справжнє. Саме таке перетворення рівнянь Аль-Хорезмі й назвав «відновленням». 16  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ Властивість взаємного знищення однакових доданків рівняння, що містилися в обох його частинах, Аль-Хорезмі назвав «протиставленням» (арабською мовою – «аль-мукабала»). Аль-Хорезмі був перший учений, хто відокремив алгебру від арифметики і розглянув її як окрему ма- тематичну науку. Алгебру Аль-Хорезмі в латинсько- му перекладі вивчали європейці протягом ХІІ–ХVI ст. Подальший розвиток алгебри пов’язаний саме з єв- ропейськими вченими, зокрема з італійськими мате- матиками епохи Відродження. До XIX ст. алгебра розвивалася як наука, що ви- вчає методи розв’язування рівнянь. Згодом вона значно збагатилася новими змістовими лініями: Мухаммед бен спрощення виразів, функції, розв’язування нерівнос- Муса Аль-Хорезмі тей тощо. І тепер рівняння – це лише одна зі складо- (783 – бл. 850) вих частин алгебри. Що називають рівнянням? Що називають коренем (або розв’язком) рівнян- ня? Що означає розв’язати рівняння? Які рівняння називають рівносильни- ми? Які властивості використовують під час розв’язування рівнянь? Ðîçâ'ÿæiòü çàäà÷i òà âèêîíàéòå âïðàâè ð 84. (Óñíî.) ßêèé іç çàïèñіâ є ðіâíÿííÿì (âіäïîâіäü îáґðóíòóéòå): 1) 4x – 12 > 0; 2) 3x + 7; 3) 4x – 2  10; 4) (14 – 10) · 2  8? 85. (Óñíî.) ×è є ÷èñëî 4 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) 2x  8; 2) x – 2  3; 3) 2x – 3  6; 4) 32 : x  8? 86. ×è є ÷èñëî 3 ðîçâ’ÿçêîì ðіâíÿííÿ: 1) x + 5  8; 2) 2x  9; 3) x – 4  –1; 4) x : 3  0? 87. ßêå іç ÷èñåë є êîðåíåì ðіâíÿííÿ : 1) 0; 2) –1; 3) 1; 4) 3? 88. ×è є êîðåíåì ðіâíÿííÿ ÷èñëî: 1) 0; 2) 1; 3) –2; 4) –4? 89. Äîâåäіòü, ùî êîæíå іç ÷èñåë 1,2 òà –1,2 є êîðåíåì ðіâíÿííÿ x2  1,44. 90. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і ; 2) і ? 91. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і 2x  10; 2) і 17 ÐÎÇÄ²Ë 1 92. Äîâåäіòü, ùî: 1) êîðåíåì ðіâíÿííÿ 2(x – 3)  2x – 6 є áóäü-ÿêå ÷èñëî; 2) ðіâíÿííÿ y – 7  y íå ìàє êîðåíіâ. 93. Äîâåäіòü, ùî: 1) êîðåíåì ðіâíÿííÿ 3(2 – c)  6 – 3c є áóäü-ÿêå ÷èñëî; 2) ðіâíÿííÿ x  x + 8 íå ìàє êîðåíіâ. 94. Ñêëàäіòü ðіâíÿííÿ, ùî ìàє: 1) єäèíèé êîðіíü – ÷èñëî –2; 2) äâà êîðåíі – ÷èñëà 5 і –5. 95. Ç’ÿñóéòå, íå ðîçâ’ÿçóþ÷è ðіâíÿíü, ÷è є âîíè ðіâíîñèëüíèìè: 1) 4(x – 2)  19 і 4x – 8  19; 2) і 2x – 3x  5 + 3; 3) 8(x – 3)  40 і x – 3  5; 4) і 96. Óñòàíîâіòü, íå ðîçâ’ÿçóþ÷è, ÷è є ðіâíÿííÿ ðіâíîñèëüíèìè: 1) 8(x – 1)  5 і 8x – 8  5; 2) і 3x – 4x  –8 – 7; 3) 9(x + 2)  18 і x + 2  2; 4) і 97. ×è ìàє ðîçâ’ÿçêè ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 5) 0 · (x – 1)  3; 6) 5(x – 1)  5x – 5; 7) 0 : x  0; 8) 2(x – 3)  2x – 7? Âïðàâè ð äëÿ ïîâòîðåííÿ ð 98. Îá÷èñëіòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). 99. Çíàéäіòü: 1) 25 % âіä ÷èñëà 200; 2) 13 % âіä ÷èñëà 82; 3) 20,5 % âіä ÷èñëà 64; 4) 21 % âіä ÷èñëà. 18  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ Æèòòєâà ìàòåìàòèêà 100. Ùîá çàîùàäèòè íà åëåêòðîñïîæèâàííі, ó ðîäèíі âèðіøèëè âñòàíîâèòè äâîçîííèé ëі÷èëüíèê åëåêòðîåíåðãії. Îïëàòà çà åëåêòðîåíåðãіþ âíî÷і ñòàíîâèòü 50 % âіä îïëàòè â іíøèé ÷àñ. Ëі÷èëüíèê áóëî ïðèäáàíî çà 1500 ãðí, і ùå 500 ãðí áóëî ñïëà÷åíî çà âñòàíîâëåííÿ òà âçÿòòÿ ëі÷èëüíèêà íà îáëіê. Ç ÷åðâíÿ 2023 ðîêó òàðèô äëÿ íàñåëåííÿ ñòàíîâèòü 2,64 ãðí çà 1 êÂò · ãîä. Ðîäèíà ùîìіñÿöÿ âèêîðèñòîâóє 500 êÂò · ãîä åëåêòðîåíåðãії, ç íèõ 100 êÂò · ãîä – ó íі÷íèé ÷àñ. Çà äâîçîí- íèì ëі÷èëüíèêîì âàðòіñòü åëåêòðîåíåðãії, âèêîðèñòàíîї â íі÷íèé ÷àñ, îá÷èñëþєòüñÿ çà òàðèôîì 1,32 ãðí çà 1 êÂò · ãîä. ×åðåç ñêіëüêè ìіñÿöіâ ðîäèíà îêóïèòü âñòàíîâëåííÿ äâîçîí- íîãî ëі÷èëüíèêà? Ïiäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðiàëó Ïåðåíåñіòü ó ëіâó ÷àñòèíó ðіâíÿííÿ âñі äîäàíêè, ùî ìіñòÿòü çìіííó, à â ïðàâó – óñі äîäàíêè, ÿêі її íå ìіñòÿòü: 1) 5ó + 11  8 – 3ó; 2) 6õ – 13  2õ + 7; 3) –2m – 13  –3m + 5; 4) –1 – 4x  17x 7 – 8. 102. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) –3x  –21; 2) –2x  40; 3) 0,2x  –5; 4) 50x  –5. Öіêàâі çàäà÷і ä – ïîìіðêóé ð ó îäíà÷å ä 103. ßêó îñòà÷ó ïðè äіëåííі íà 1001 äàє ÷èñëî 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 + 2000? § 2. Лiнiйне рiвняння з однiєю змiнною Лінійне рівняння з однією змінною та його розв’язування Ìè çíàєìî, ÿê ðîçâ’ÿçóâàòè ðіâíÿííÿ 2x  –8; –0,01x  17;. Êîæíå іç öèõ ðіâíÿíü ìàє âèãëÿä ax  b, äå x – çìіííà, a і b – äåÿêі ÷èñëà 19 ÐÎÇÄ²Ë 1 ßêùî a  0, òî ðіâíÿííÿ є ðіâíÿííÿì ïåðøîãî ñòåïå- íÿ ç îäíієþ çìіííîþ. Ïîäіëèâøè îáèäâі ÷àñòèíè òàêîãî ðіâíÿí- íÿ íà a, ìàòèìåìî, ùî , òîáòî єäèíèì êîðåíåì öüîãî ðіâ- íÿííÿ є ÷èñëî. ßêùî a  b  0, òî ëіíіéíå ðіâíÿííÿ íàáóâàє âèãëÿäó. Éîãî êîðåíåì є áóäü-ÿêå ÷èñëî, îñêіëüêè äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x çíà- ÷åííÿ ëіâîї і ïðàâîї ÷àñòèí ðіâíÿííÿ áóäóòü ìіæ ñîáîþ ðіâíèìè é äîðіâíþâàòèìóòü íóëþ. Òîìó ðіâíÿííÿ ìàє áåçëі÷ êîðåíіâ. ßêùî , à b  0, ëіíіéíå ðіâíÿííÿ íàáóâàє âèãëÿäó. Ïðè öüîìó íå іñíóє æîäíîãî çíà÷åííÿ çìіííîї x, ÿêå á ïåðåòâîðþ- âàëî ëіâó і ïðàâó ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî. Àäæå çíà÷åííÿ ëіâîї ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x äîðіâ- íþâàòèìå íóëþ, à çíà÷åííÿ ïðàâîї ÷àñòèíè – ÷èñëó b, âіäìіííîìó âіä íóëÿ. Òîìó ðіâíÿííÿ äëÿ b  0 êîðåíіâ íå ìàє. Ñèñòåìàòèçóєìî äàíі ïðî ðîçâ’ÿçêè ëіíіéíîãî ðіâíÿííÿ , äå a і b – ÷èñëà, ó âèãëÿäі ñõåìè: Приклад 1. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ: 1) 0,2x  7; 2) 3) Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) 0,2x  7; 2) 3) 0x  7; x  7 : 0,2; ðіâíÿííÿ êîðåíіâ x  35. íå ìàє. Âіäïîâіäü: 35. Âіäïîâіäü: êîðåíіâ íåìàє. x  –4. Âіäïîâіäü: –4. Приклад 2. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ b ðіâíîñèëüíі ðіâíÿííÿ –2x  8 і 3x + b  11? 20  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Ðîçâ’ÿæåìî ðіâíÿííÿ –2x  8. Ìàєìî: x  8 : (–2); x  –4. 2) Ùîá ðіâíÿííÿ –2x  8 і 3x + b  11 áóëè ðіâíîñèëüíèìè, íåîá- õіäíî, ùîá äðóãå ðіâíÿííÿ ìàëî єäèíèé êîðіíü, ùî äîðіâíþє ÷èñëó –4. Îñêіëüêè x  –4, òî ìàєìî: –12 + b  11; b  23. Ëåãêî ïåðåñâіä÷èòèñÿ â òîìó, ùî ðіâíÿííÿ 3x + 23  11 ìàє єäèíèé êîðіíü, ùî äîðіâíþє –4. Âіäïîâіäü: 23. Розв’язування рівнянь, що зводяться до лінійних Ïðîöåñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ áàãàòüîõ ðіâíÿíü є çâåäåííÿì öèõ ðіâ- íÿíü äî ëіíіéíèõ øëÿõîì ðіâíîñèëüíèõ ïåðåòâîðåíü çà âëàñòè- âîñòÿìè ðіâíÿíü. Приклад 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ: 1) 3(x + 3) – 2x  6 – 4x; 2) Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1. Ïîçáóäåìîñÿ çíàìåííèêіâ (ÿêùî âîíè є): 1) 3(x (x + 3) – 2x  6 – 4x. 2) Ïîìíîæèìî îáèäâі ÷àñòèíè ðіâíÿííÿ íà 6 (íà íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåí- íèê äðîáіâ). Ìàєìî: 3(x + 1) + 2(5 – x)  x + 13. 2. Ðîçêðèєìî äóæêè (ÿêùî âîíè є): 3x + 9 – 2x  6 – 4x. 3x + 3 + 10 – 2x  x + 13. 3. Ïåðåíåñåìî äîäàíêè, ùî ìіñòÿòü çìіííó, ó ó ëіâó ÷àñòèíó ðіâíÿí- íÿ, à іíøі – ó ïðàâó, ó çìіíèâøè çíàêè öèõ äîäàíêіâ íà ïðîòèëåæíі: 3x – 2x + 4x  6 – 9. 3x – 2x – x  13 – 3 – 10. 4. Çâåäåìî ïîäіáíі äîäàíêè: 5x  – 3. 0x  0. 5. Ðîçâ’ÿæåìî îòðèìàíå ëіíіéíå ðіâíÿííÿ: x  –3 : 5; x – áóäü-ÿêå ÷èñëî. x  –0,6. Âіäïîâіäü: –0,6. Âіäïîâіäü: áóäü-ÿêå ÷èñëî. 21 ÐÎÇÄ²Ë 1 Приклад 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ 5(x + p)  3x – 7p 7 , x – çìіííà. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçêðèєìî äóæêè â ëіâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ: 5x + 5p 5  3x – 7p 7. Ïåðåíåñåìî äîäàíîê 3x ó ëіâó ÷àñòèíó, à 5 5p – ó ïðàâó. Ìàòèìåìî: 5x – 3x  –7p 7 – 5p5 , òîáòî 2x  –12p2. Òîäі x  (–12p 2 ) : 2, òîáòî x  (–12 : 2)p ) , îòæå, x  –6p 6. Âіäïîâіäü: –6p 6. Приклад 5. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ùîá ìîäóëü äåÿêîãî âèðàçó äîðіâíþâàâ ÷èñëó 3, çíà÷åííÿ öüîãî âèðàçó ìàє äîðіâíþâàòè 3 àáî –3. Ìàєìî: ; 2x – 7  3; àáî 2x – 7  –3; 2x  10; 2x  4; x  5. x  2. Âіäïîâіäü: 5; 2. Яке рівняння називають лінійним рівнянням з однією змінною? Наведіть при- клади лінійних рівнянь. Коли рівняння ax  b має єдиний корінь? Коли рів- няння ax  b має безліч коренів? Коли рівняння ax  b не має коренів? Ðîçâ'ÿæiòü çàäà÷i òà âèêîíàéòå âïðàâè ð 104. (Óñíî.) ßêå ç ðіâíÿíü є ëіíіéíèì: 1) 15x  0; 2) ; 3) x2  2x; 4) 0x  19; 5) x + 3  x2; 6) 0x  0? 105. (Óñíî.) Ñêіëüêè êîðåíіâ ìàє ðіâíÿííÿ: 1) 2x  –3; 2) 0x  7; 3) 0x  0? 106. Ç’ÿñóéòå, ÿêå ç äàíèõ ðіâíÿíü ìàє ëèøå îäèí êîðіíü, íå ìàє êîðåíіâ, ìàє áåçëі÷ êîðåíіâ: 1) –2x  –9; 2) 0x  0; 3) 0,42x  0; 4) 17  0x; 5) ; 6) 0x  –12. 22  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ 107. (Óñíî.) Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) –2x  –12; 2) 0,5x  –2,5; 3) –2,5x  7,5; 4) 5) 6) – 108. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) –3x  –21; 2) 3) 4) 50x  5; 5) 6) –0,01x  0,17; 7) 8) –1,2x  –4,2; 9) 109. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2x  –8; 2) 3) 4) –10x  –5; 5) 6) 0,1x  –0,18. 110. Âèçíà÷òå, ùî ìàє áóòè çàïèñàíî â ïðàâіé ÷àñòèíі ðіâíÿííÿ çàìіñòü ïðîïóñêіâ, ÿêùî âіäîìî éîãî êîðіíü: 1) 8x ... ; 2) –9x ... ; 3) ; x  –9; x  0; x  12. 111. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 112. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 113. ßêå ç ðіâíÿíü ðіâíîñèëüíå ðіâíÿííþ 5x  10: 1) 2) 3) 4) x – 7  –5; 5) 6) 114. ×è є ðіâíÿííÿ ðіâíîñèëüíèìè: 1) і 2) і 3) і 4) і 23 ÐÎÇÄ²Ë 1 115. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ x çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) äîðіâíþє –2; 2) 4(x + 1) äîðіâíþє çíà÷åííþ âèðàçó ? 116. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ y: 1) çíà÷åííÿ âèðàçó 5y – 13 äîðіâíþє –3; 2) çíà÷åííÿ âèðàçіâ 3(y – 2) і 13y – 8 ìіæ ñîáîþ ðіâíі? 117. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 118. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 119. Ñêëàäіòü ëіíіéíå ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є: 1) ÷èñëî –2; 2) ÷èñëî –0,2. 120. Ñêëàäіòü ëіíіéíå ðіâíÿííÿ: 1) ÿêå íå ìàє êîðåíіâ; 2) êîðåíåì ÿêîãî є áóäü-ÿêå ÷èñëî. 121. Ñêëàäіòü ëіíіéíå ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є: 1) ÷èñëî –8; 2) áóäü-ÿêå ÷èñëî. 122. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 123. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 124. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ і Çíàéäіòü äîáóòîê 10xy òà äіçíàéòåñÿ ðіê çàñíóâàííÿ ×åðíі- âåöüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòåòó іìåíі Þðіÿ Ôåäüêîâè÷à. 125. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ і. Çíàé- äіòü çíà÷åííÿ âèðàçó x + y + 1788 òà äіçíàéòåñÿ ðіê çàñíó- âàííÿ Õàðêіâñüêîãî íàöіîíàëüíîãî óíіâåðñèòåòó іìåíі Â. Í. Êàðàçіíà. 24  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ 126. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ, äå x – çìіííà: 1) 2) 3) 4) 127. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ, äå x – çìіííà: 1) 2) 3) 4) 128. ×è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і 2) і 3) і 4) і 5) і 6) і 129. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ y çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) óòðè÷і áіëüøå çà çíà÷åííÿ âèðàçó 2) íà 7,4 áіëüøå çà çíà÷åííÿ âèðàçó 130. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ x çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) óäâі÷і áіëüøå çà çíà÷åííÿ âèðàçó 2) íà 17,2 ìåíøå âіä çíà÷åííÿ âèðàçó 131. Ñêëàäіòü ðіâíÿííÿ, ÿêå áóëî á ðіâíîñèëüíèì ðіâíÿííþ 7(2x – 8)  5(7x 7 – 8) – 15x. 132. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) + 3  7; 2) – 2  –9; 3) – 6  0; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9). 133. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) + 1  –2; 3) – 4  0; 4) ; 5) ; 6). 134. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a ðіâíÿííÿ: 1) ìàє êîðіíü, ùî äîðіâíþє 4; 2) ìàє êîðіíü, ùî äîðіâíþє 3) ìàє êîðіíü, ùî äîðіâíþє –1? 25 ÐÎÇÄ²Ë 1 135. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ b êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) є ÷èñëî –4; 2) є ÷èñëî 3? 136. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 2). 137. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 138. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) ; 5) 6). 139. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 140. Çà ÿêîãî çíà÷åííÿ b ðіâíÿííÿ ìàþòü îäíàêîâі êîðåíі: 1) і 2) і 141. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a ðіâíÿííÿ ìàþòü îäíàêîâі êîðåíі: 1) 2x – 3  7 і a – 3x  9; 2) x + a  7 і 3x – a  2x? 142. Çíàéäіòü óñі öіëі çíà÷åííÿ m, äëÿ ÿêèõ êîðіíü ðіâíÿííÿ є öіëèì ÷èñëîì. 143. Çíàéäіòü óñі öіëі çíà÷åííÿ b, äëÿ ÿêèõ êîðіíü ðіâíÿííÿ є íàòóðàëüíèì ÷èñëîì. 144. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a íå ìàє êîðåíіâ ðіâíÿííÿ: 1) (a – 1)x  5; 2) (a + 3)x  a – 2; 3) (a – 4)x  a – 4? 145. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ b íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ ðіâíÿííÿ: 1) (b + 1)x  6; 2) (b – 3)x  b; 3) (b + 1)x  b + 1? 146. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ m áóäü-ÿêå ÷èñëî є êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) (m – 1)x  1 – m; 2) m(m + 2)x  (m + 2); 3) (m – 3)x  5? 26  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ 147. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a ìàє áåçëі÷ êîðåíіâ ðіâíÿííÿ: 1) (a + 2)x  2 + a; 2) (a – 3)x  9; 3) a(a – 4)x  4 – a? 148. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ, äå x – çìіííà. 1) (b + 1)x  7; 2) (5 – b)x  b – 5; 3). 149. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) + 4x  15; 2) – x  24. Âïðàâè ð äëÿ ïîâòîðåííÿ ð 150. Çíàéäіòü çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 4a + 12b + 8a, ÿêùî a  –13; b  13; 2) (3x – 2x)(5m + 4m), ÿêùî x  ;m. 151. Çíàéäіòü ÷èñëî, ÿêùî: 1) 15 % éîãî äîðіâíþþòü 300; 2) 11 % éîãî äîðіâíþþòü 28,16. 152. Çâåäіòü ïîäіáíі äîäàíêè: 1) 7 7x – 2y + 3x + 17y 7 ; 2) –5,2 + 17a 7 + 4,9 – 12a; 3) –5x + 7 – 2y + 5x – 12y; 4). 153. Ðîçêðèéòå äóæêè і ñïðîñòіòü âèðàç: 1) a – (a – (2a – 8)); 2) 5m – ((n – m) + 3n); 3) 15a – (2a – (3a – (a + 1))); 4) b – (b – ((b – a) – 2a)). Æèòòєâà ìàòåìàòèêà 154. Äîáîâà äîçà âіòàìіíó Ñ äëÿ äîðîñëîї ëþäèíè ñòàíîâèòü 0,05 ã. Ó 100 ã ÿãіä ìàëèíè ìіñòèòüñÿ ìàéæå 25 ìã âіòàìі- íó Ñ (1 ìã  0,001 ã). 1) Âèçíà÷òå, ñêіëüêè ãðàìіâ âіòàìіíó Ñ ìіñòèòüñÿ â 1 êã ÿãіä ìàëèíè. 2) Ñêіëüêè äîáîâèõ äîç âіòàìіíó Ñ ìîæå çàìіíèòè äîðîñëіé ëþäèíі ñïîæèâàííÿ 1 êã ÿãіä ìàëèíè? iäãîòóéòåñÿ äî âèâ÷åííÿ íîâîãî ìàòåðiàëó 155. Îäíå ÷èñëî íà 6 ìåíøå âіä äðóãîãî. Ìåíøå іç ÷èñåë ïîçíà÷å- íî ÷åðåç õ. Âèðàçіòü ÷åðåç õ äðóãå ÷èñëî. 27 ÐÎÇÄ²Ë 1 156. Îäíå ÷èñëî â 4 ðàçè áіëüøå çà äðóãå. Ìåíøå іç ÷èñåë ïîçíà- ÷åíî ÷åðåç õ. Âèðàçіòü ÷åðåç õ äðóãå ÷èñëî. 157. Íà äâîõ êëóìáàõ ðàçîì ðîñòå 62 òþëüïàíè, äî òîãî æ íà îä- íіé êëóìáі íà 6 òþëüïàíіâ ìåíøå, íіæ íà äðóãіé. Ñêіëüêè òþëüïàíіâ ðîñòå íà êîæíіé êëóìáі? Öіêàâі çàäà÷і ä – ïîìіðêóé ð ó îäíà÷å ä 158. Âіäîìî, ùî x + y  13. Äëÿ ÿêèõ íàòóðàëüíèõ çíà÷åíü x і y âèðàç xy íàáóâàє íàéáіëüøîãî çíà÷åííÿ? § 3. Розв’язування задач за допомогою лінійних рівнянь. Рівняння як математична модель задачі Математична модель задачі Ùîá ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó ïðàêòè÷íîãî çìіñòó, äîöіëüíî ñïî÷àòêó ñòâîðèòè її ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü, òîáòî çàïèñàòè çàëåæíіñòü ìіæ âіäîìèìè é íåâіäîìèìè âåëè÷èíàìè çà äîïîìîãîþ ìàòåìàòè÷íèõ ïîíÿòü, âіäíîøåíü, ôîðìóë, ðіâíÿíü òîùî. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь Ðîçãëÿíåìî òåêñòîâі çàäà÷і, ìàòåìàòè÷íèìè ìîäåëÿìè ÿêèõ є ëіíіéíі ðіâíÿííÿ òà ðіâíÿííÿ, ùî çâîäÿòüñÿ äî íèõ. Ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ðіâíÿííÿ ñëіä ó òàêіé ïîñëі- äîâíîñòі: Ðîçãëÿíåìî êіëüêà çàäà÷ òà ðîçâ’ÿæåìî їõ çà äîïîìîãîþ ëіíіé- íîãî ðіâíÿííÿ. 28  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ Задача 1. Íà ñâіé äåíü íàðîäæåííÿ ñåñòðè÷êè-áëèçíþ÷êè Íà- òàëÿ òà Îëåíà îòðèìàëè ðàçîì 127 âіòàëüíèõ SMS-ïîâіäîì- ëåíü, ïðè÷îìó Íàòàëÿ îòðèìàëà íà 13 ïîâіäîìëåíü áіëüøå, íіæ Îëåíà. Ñêіëüêè SMS-ïîâіäîìëåíü íà ñâіé äåíü íàðîäæåí- íÿ îòðèìàëà êîæíà ñåñòðè÷êà? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íåõàé Îëåíà îòðèìàëà x ïîâіäîìëåíü, òîäі Íàòà- ëÿ –. À îáèäâі ðàçîì – ïîâіäîìëåíü, ùî çà óìîâîþ äîðіâíþє 127. Ìàєìî ðіâíÿííÿ: Çâіäêè Îòæå, Îëåíà îòðèìàëà 57 ïîâіäîìëåíü, (ïîâіä.) – îòðèìàëà Íàòàëÿ. Âіäïîâіäü: 70 ïîâіäîìëåíü; 57 ïîâіäîìëåíü. Задача 2.Ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìèé ðîçìіð êðåäèòó áàíê îá- ÷èñëþє çà ôîðìóëîþ: äå S – ñóìà êðåäèòó, C – ñåðåäíüîìіñÿ÷íà çàðïëàòà ïîçè÷àëü- íèêà. Äëÿ êðåäèòó òåðìіíîì â îäèí ðіê ââàæàþòü, ùî , òåðìіíîì ó äâà ðîêè – , òåðìіíîì ó òðè ðîêè –. ßêèé íàéìåíøèé ðîçìіð ñåðåäíüîìіñÿ÷íîї çàðïëàòè ìàє áóòè â ïîçè÷àëüíèêà, ùîá áàíê íàäàâ éîìó êðåäèò ó ñóìі 30 000 ãðí íà: 1) 1 ðіê; 2) 2 ðîêè; 3) 3 ðîêè? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çà óìîâîþ ãðí. Íåõàé íàéìåíøèé ðîç- ìіð ñåðåäíüîìіñÿ÷íîї çàðïëàòè ïîçè÷àëüíèêà – x ãðí. 1) Ìàєìî ðіâíÿííÿ: çâіäêè Îòæå, ñåðåäíüîìіñÿ÷íà çàðïëàòà ïîçè÷àëüíèêà ìàє áóòè íå ìåí- øå íіæ 10 000 ãðí. 2) Ìàєìî ðіâíÿííÿ: çâіäêè x  4285,7. Îòæå, ñåðåäíüîìіñÿ÷íà çàðïëàòà ìàє áóòè íå ìåíøå íіæ 4286 ãðí. 3) Ìàєìî ðіâíÿííÿ: çâіäêè x  2727,3. Îòæå, ñåðåäíüîìіñÿ÷íà çàðïëàòà ìàє áóòè íå ìåíøå íіæ 2728 ãðí. Âіäïîâіäü: 1) 10 000 ãðí; 2) 4286 ãðí; 3) 2728 ãðí. 29 ÐÎÇÄ²Ë 1 Задача 3. Ç ìіñòà A äî ìіñòà B, âіäñòàíü ìіæ ÿêèìè 310 êì, âè- їõàëà âàíòàæіâêà. ×åðåç 30 õâ ïіñëÿ öüîãî ç ìіñòà B äî ìіñòà A âèїõàâ ëåãêîâèê. Âàíòàæіâêà і ëåãêîâèê çóñòðіëèñÿ ÷åðåç 2 ãîä ïіñëÿ âèїçäó ëåãêîâèêà. Çíàéòè øâèäêіñòü êîæíîї іç öèõ àâòі- âîê, ÿêùî øâèäêіñòü ëåãêîâèêà íà 20 êì/ãîä áіëüøà çà øâèä- êіñòü âàíòàæіâêè. õ êì/ãîä (õ + 20) êì/ãîä A B 310 êì Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íåõàé øâèäêіñòü âàíòàæіâêè – x êì/ãîä. Óìîâó çàäà÷і çðó÷íî ïîäàòè ó âèãëÿäі òàáëèöі: Ó÷àñíèêè ðóõó v, êì/ãîä t, ãîä s, êì Âàíòàæіâêà x 2,5 2,5x 310 êì Ëåãêîâèê x + 20 2 2(x + 20) Îñêіëüêè àâòіâêè âèїõàëè íàçóñòðі÷ îäíà îäíіé і çóñòðіëèñÿ, òî ðàçîì âîíè ïîäîëàëè 310 êì. Ìàєìî ðіâíÿííÿ: Ðîçâ’ÿæåìî éîãî: 2,5x + 2x + 40  310; 4,5x  270; x  60 (êì/ãîä) – øâèäêіñòü âàíòàæіâêè; 60 + 20  80 (êì/ãîä) – øâèäêіñòü ëåãêîâèêà. Âіäïîâіäü: 60 êì/ãîä; 80 êì/ãîä. Якої послідовності дій слід дотримуватися, розв’язуючи задачу за допомогою рівняння? Ðîçâ'ÿæiòü çàäà÷i òà âèêîíàéòå âïðàâè ð 159. (Óñíî.) Îäíå ÷èñëî íà 30 áіëüøå çà іíøå. Ìåíøå ç íèõ ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçіòü ÷åðåç x áіëüøå іç öèõ ÷èñåë. 160. (Óñíî.) Îäíå äîäàòíå ÷èñëî â 4 ðàçè áіëüøå çà іíøå. Ìåíøå ç íèõ ïîçíà÷åíî ÷åðåç x. Âèðàçіòü ÷åðåç x áіëüøå іç öèõ ÷èñåë. 161. Íà îäíіé êëóìáі ðîñòå x êóùіâ òðîÿíä, à íà іíøіé – óòðè÷і áіëüøå. Âèðàçіòü ÷åðåç x êіëüêіñòü êóùіâ òðîÿíä, ùî ðîñòóòü íà äðóãіé êëóìáі. 30  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ 162. (Óñíî.) Âіäñòàíü, ùî äîðіâíþє x êì, âåëîñèïåäèñòêà äîëàє çà 3 ãîä. Âèðàçіòü ÷åðåç x øâèäêіñòü її ðóõó. 163. (Óñíî.) Ïåðøå ÷èñëî ïîçíà÷èëè ÷åðåç x, à äðóãå ÷èñëî ñòàíî- âèòü ÷âåðòü âіä ïåðøîãî. Âèðàçіòü äðóãå ÷èñëî ÷åðåç x. 164. Ïåðøå ÷èñëî äîðіâíþє x, à äðóãå ÷èñëî ñòàíîâèòü 60 % âіä ïåðøîãî. Âèðàçіòü ÷åðåç x äðóãå ÷èñëî. 165. (Óñíî.) Ñóìà äîâæèí äâîõ âіäðіçêіâ äîðіâíþє 16 ñì. Äîâ- æèíà îäíîãî ç íèõ x ñì. Âèðàçіòü ÷åðåç x äîâæèíó äðóãîãî âіäðіçêà. 166. (Óñíî.) Âëàñíà øâèäêіñòü ÷îâíà äîðіâíþє 24 êì/ãîä, à øâèä- êіñòü òå÷ії – x êì/ãîä. Âèðàçіòü ÷åðåç x øâèäêіñòü ÷îâíà çà òå÷ієþ і ïðîòè òå÷ії. 167. Çàãàäàëè ÷èñëî. ßêùî âіä íüîãî âіäíÿòè 7 і îäåðæà- íèé ðåçóëüòàò ïîäіëèòè íà 9, òî ìàòèìåìî 12. ßêå ÷èñëî çàãàäàëè? 168. Çíàéäіòü ÷èñëî, ïîëîâèíà ÿêîãî ðàçîì ç éîãî òðåòèíîþ äî- ðіâíþє 40. 169. Ó äâîõ öèñòåðíàõ ðàçîì 64 ò ïàëüíîãî, ïðè÷îìó â ïåðøіé íà 4 ò ìåíøå, íіæ ó äðóãіé. Ñêіëüêè òîíí ïàëüíîãî â êîæíіé öèñòåðíі? 170.  àâòîïàðêó âàíòàæіâîê ó 6 ðàçіâ áіëüøå, íіæ ëåãêîâèêіâ. Ñêіëüêè ëåãêîâèêіâ â àâòîïàðêó, ÿêùî їõ ðàçîì ç âàíòàæіâ- êàìè íàëі÷óєòüñÿ 91? 171. Îäíå ç äâîõ äîäàòíèõ ÷èñåë óòðè÷і áіëüøå çà іíøå. Çíàéäіòü öі ÷èñëà, ÿêùî їõ ðіçíèöÿ äîðіâíþє 32. 172. Áàáóñі ðàçîì ç ìàìîþ 99 ðîêіâ. Ñêіëüêè ðîêіâ êîæíіé ç íèõ, ÿêùî áàáóñÿ ñòàðøà çà ìàìó íà 25 ðîêіâ? 173. Ñóìà äâîõ ÷èñåë 240, à їõ âіäíîøåííÿ äîðіâíþє 5 : 7. Çíàé- äіòü öі ÷èñëà. 174. Ðіçíèöÿ äâîõ ÷èñåë 36, à їõ âіäíîøåííÿ äîðіâíþє 7 : 4. Çíàé- äіòü öі ÷èñëà. 175. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 20 äì. Äâі éîãî ñòîðîíè ìіæ ñîáîþ ðіâíі, і êîæíà ç íèõ íà 1 äì áіëüøà çà òðåòþ. Çíàé- äіòü ñòîðîíè òðèêóòíèêà. 176. Çà äâà äíі áóëî ïðîäàíî 384 êã áàíàíіâ, ïðè÷îìó äðóãîãî äíÿ ïðîäàëè âіä òîãî, ùî ïðîäàëè ïåðøîãî. Ñêіëüêè êіëî- ãðàìіâ áàíàíіâ ïðîäàëè ïåðøîãî äíÿ і ñêіëüêè – äðóãîãî? 31 ÐÎÇÄ²Ë 1 177. Ãðóïà ñòóäåíòіâ çà äðóãèé äåíü ïîäîëàëà âіä òієї âіäñòàíі, ÿêó ïîäîëàëà ïåðøîãî äíÿ. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîäîëàëè ñòóäåíòè ïåðøîãî äíÿ і ñêіëüêè – äðóãîãî, ÿêùî çà ïåðøèé äåíü áóëî ïîäîëàíî íà 3 êì áіëüøå, íіæ çà äðóãèé? 178. Áàáóñÿ ëіïèëà âàðåíèêè ïðîòÿãîì äâîõ ãîäèí. Çà äðóãó ãî- äèíó âîíà âèëіïèëà íà 5 % áіëüøå âàðåíèêіâ, íіæ çà ïåðøó. Ñêіëüêè âàðåíèêіâ âèëіïèëà áàáóñÿ çà ïåðøó ãîäèíó і ñêіëü- êè – çà äðóãó, ÿêùî çà äðóãó ãîäèíó âîíà âèëіïèëà íà 3 âà- ðåíèêè áіëüøå, íіæ çà ïåðøó? 179. Çà ïðàëüíó ìàøèíó òà її ïіäêëþ÷åííÿ çàïëàòèëè 11 760 ãðí. Âàðòіñòü ïіäêëþ÷åííÿ ñòàíîâèòü 5 % âіä âàðòîñòі ìàøèíè. Ñêіëüêè êîøòóє ïðàëüíà ìàøèíà? 180. Çà 2 ãîä ìîòîöèêëіñò äîëàє òàêó ñàìó âіäñòàíü, ùî é âåëîñè- ïåäèñòêà çà 5 ãîä. Øâèäêіñòü ìîòîöèêëіñòà íà 27 êì/ãîä áіëüøà çà øâèäêіñòü âåëîñèïåäèñòêè. Çíàéäіòü øâèäêіñòü êîæíîãî ç íèõ. 181. ßùèê ç àïåëüñèíàìè íà 3 êã âàæ÷èé çà ÿùèê ç ëèìîíàìè. ßêà ìàñà êîæíîãî ç íèõ, ÿêùî ìàñà ÷îòèðüîõ ÿùèêіâ ç àïå- ëüñèíàìè òàêà ñàìà, ÿê ìàñà ï’ÿòè ÿùèêіâ ç ëèìîíàìè? 182. Ç ìіñòà äî ñåëà òóðèñò іøîâ çі øâèäêіñòþ 4 êì/ãîä, à ïîâåð- òàâñÿ íàçàä çі øâèäêіñòþ 3 êì/ãîä. Íà âåñü øëÿõ âіí âèòðà- òèâ 7 ãîä. Çíàéäіòü âіäñòàíü âіä ìіñòà äî ñåëà. 183. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 36 ñì, ïðè÷îìó îäíà ç éîãî ñòîðіí íà 4 ñì áіëüøà çà іíøó. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïðÿ- ìîêóòíèêà òà éîãî ïëîùó. 184. Ïіä ÷àñ ëіòíіõ êàíіêóë Ñåðãіé ïðî÷èòàâ óäâі÷і áіëüøå îïîâі- äàíü, íіæ Êîñòÿ. Ïðîòå ïðîòÿãîì âåðåñíÿ Êîñòÿ âñòèã ïðî- ÷èòàòè ùå 24 îïîâіäàííÿ, ïіñëÿ ÷îãî âèÿâèëîñÿ, ùî õëîïöі ïðî÷èòàëè îäíàêîâó êіëüêіñòü îïîâіäàíü. Ñêіëüêè îïîâіäàíü ïðî÷èòàâ êîæåí ç õëîïöіâ äî ïî÷àòêó íàâ÷àëüíîãî ðîêó? 185. Ó Ìàðіéêè áóëî âòðè÷і áіëüøå ãðîøåé, íіæ â Îëі. Ïіñëÿ òîãî ÿê Ìàðіéêà âèòðàòèëà 18 ãðí, ãðîøåé ó äіâ÷àò ñòàëî ïîðіâ- íó. Ñêіëüêè ãðîøåé ìàëà êîæíà ç äіâ÷àò ñïî÷àòêó? 186. Ìåðåæà êîíäèòåðñüêèõ äî ðі÷íèöі ñâîãî âіäêðèòòÿ äà- ðóâàëà âіäâіäóâà÷àì íàáîðè ñîëîäîùіâ òîðãîâèõ ìàðîê «Äî- áðå», «Ñîëîäêî» òà «Ñìà÷íî». Íàïðèêіíöі ñâÿòêóâàííÿ ç’ÿñó- âàëîñÿ, ùî íàáîðіâ «Ñîëîäêî» áóëî ïîäàðîâàíî íà 12 áіëüøå, íіæ íàáîðіâ «Äîáðå», à íàáîðіâ «Ñìà÷íî» – íà 31 áіëüøå, íіæ «Ñîëîäêî». Ïî ñêіëüêè íàáîðіâ êîæíîї ìàðêè áóëî ïîäàðîâà- 32  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ íî, ÿêùî âіäâіäóâà÷іâ áóëî 430 і êîæåí ç íèõ îòðèìàâ ïî îäíîìó íàáîðó? 187. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà íà 9 ñì ìåíøà âіä äðóãîї і âäâі÷і ìåíøà âіä òðåòüîї. Çíàéäіòü ñòîðîíè òðèêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð äîðіâíþє 105 ñì. 188. ×è ìîæíà ðîçêëàñòè 68 áàíîê êîíñåðâіâ ó òðè ÿùèêè òàê, ùîá ó äðóãîìó ÿùèêó áóëî âäâі÷і áіëüøå áàíîê, íіæ ó ïåð- øîìó, à â òðåòüîìó – íà 3 áàíêè ìåíøå, íіæ ó ïåðøîìó? 189. ×è ìîæíà 90 êíèæîê ðîçìіñòèòè íà òðüîõ ïîëèöÿõ òàê, ùîá íà òðåòіé áóëî íà 3 êíèæêè áіëüøå, íіæ íà äðóãіé, і íà 5 êíèæîê ìåíøå, íіæ íà ïåðøіé? 190. Áàòüêîâі çàðàç – 38 ðîêіâ, à éîãî ñèíîâі – 10. ×åðåç ñêіëüêè ðîêіâ áàòüêî áóäå âòðè÷і ñòàðøèé çà ñèíà? 191. Íà îäíіé äіëÿíöі êóùіâ àґðóñó âòðè÷і áіëüøå, íіæ íà äðó- ãіé. ßêùî ç ïåðøîї äіëÿíêè ïåðåñàäèòè 12 êóùіâ íà äðóãó, òî êóùіâ àґðóñó íà îáîõ äіëÿíêàõ ñòàíå ïîðіâíó. Ñêіëüêè êóùіâ àґðóñó ðîñòå íà êîæíіé äіëÿíöі? 192. Ó äâîõ êîðïóñàõ ïàíñіîíàòó ïðîæèâàëà îäíàêîâà êіëüêіñòü âіäïî÷èâàëüíèêіâ. Ó çâ’ÿçêó ç ïðîâåäåííÿì ðåìîíòó áóëî âè- ðіøåíî ïåðåñåëèòè 24 âіäïî÷èâàëüíèêè ç ïåðøîãî êîðïóñó äî äðóãîãî, ïіñëÿ ÷îãî êіëüêіñòü âіäïî÷èâàëüíèêіâ ó ïåðøî- ìó êîðïóñі ñòàëà â 4 ðàçè ìåíøîþ, íіæ ó äðóãîìó. Ïî ñêіëü- êè âіäïî÷èâàëüíèêіâ ïðîæèâàëî â êîæíîìó êîðïóñі äî ïî- ÷àòêó ðåìîíòíèõ ðîáіò? 193. Ó äâîõ ìіøêàõ öóêðó áóëî ïîðіâíó. Ïіñëÿ òîãî ÿê ç ïåðøîãî ìіøêà ïåðåñèïàëè 8 êã äî äðóãîãî, ó íüîìó ñòàëî âäâі÷і ìåí- øå öóêðó, íіæ ó äðóãîìó. Ïî ñêіëüêè êіëîãðàìіâ öóêðó áóëî â êîæíîìó ìіøêó ñïî÷àòêó? 194. Íà 440 ãðèâåíü áóëî ïðèäáàíî 25 çîøèòіâ ó êëіòèíêó і ëі- íіéêó. Âàðòіñòü çîøèòà â ëіíіéêó – 17 ãðí, à â êëіòèíêó – 18 ãðí. Ïî ñêіëüêè çîøèòіâ êîæíîãî âèäó ïðèäáàëè? 195. Äëÿ ñâÿòà ïðèäáàëè 12 êîðîáîê öóêåðîê ïî 55 ãðí òà ïî 62,5 ãðí çà îäèíèöþ, óñüîãî íà ñóìó 697,5 ãðí. Ïî ñêіëüêè êîðîáîê êîæíîãî âèäó ïðèäáàëè? 196. Ñòàðîâèííà ãðåöüêà çàäà÷à. Ó Ïіôàãîðà çàïèòàëè: «Ñêіëüêè ó÷íіâ íàâ÷àєòüñÿ ó òâîїé øêîëі?». Íà ùî âіí âіäïîâіâ: «Ïî- ëîâèíà âñіõ ìîїõ ó÷íіâ âèâ÷àє ìàòåìàòèêó, ÷âåðòü – ìóçèêó, ñüîìà ÷àñòèíà ìîâ÷èòü, і, îêðіì òîãî, є ùå òðè æіíêè». Ñêіëüêè ó÷íіâ íàâ÷àëîñÿ â øêîëі Ïіôàãîðà? 33 ÐÎÇÄ²Ë 1 197. Ìàñà áіäîíà ç ìîëîêîì ñòàíîâèòü 25 êã і ùå ïîëîâèíó éîãî ìàñè. ßêà ìàñà áіäîíà ç ìîëîêîì? 198. âіä îäíîãî ÷èñëà äîðіâíþє âіä äðóãîãî. Çíàéäіòü öі ÷èñëà, ÿêùî їõ ñóìà äîðіâíþє 66. 199. 60 % âіä îäíîãî ÷èñëà äîðіâíþþòü 45 % âіä äðóãîãî. Çíàé- äіòü öі ÷èñëà, ÿêùî їõ ñóìà äîðіâíþє 210. 200. ×îâåí âèòðàòèâ íà øëÿõ çà òå÷ієþ 2,5 ãîä, à ïðîòè òå÷ії – 3,6 ãîä. Âіäñòàíü, ÿêó ïðîïëèâ ÷îâåí çà òå÷ієþ, âèÿâèëàñÿ íà 7,6 êì ìåíøîþ, íіæ âіäñòàíü, ÿêó âіí ïðîïëèâ ïðîòè òå- ÷ії. Çíàéäіòü âëàñíó øâèäêіñòü ÷îâíà, ÿêùî øâèäêіñòü òå÷ії äîðіâíþє 2 êì/ãîä. 201. Êàòåð çà òå÷ієþ ðі÷êè ïëèâ 1,6 ãîä, à ïðîòè òå÷ії – 2,5 ãîä. Âіäñòàíü, ÿêó ïîäîëàâ êàòåð ïðîòè òå÷ії, âèÿâèëàñÿ íà 6,2 êì áіëüøîþ, íіæ âіäñòàíü, ÿêó ïîäîëàâ êàòåð çà òå÷ієþ. Çíàéäіòü øâèäêіñòü òå÷ії, ÿêùî âëàñíà øâèäêіñòü êàòåðà äî- ðіâíþє 16 êì/ãîä. 202. Ç ïóíêòó A äî ïóíêòó B çі øâèäêіñòþ 12 êì/ãîä âèїõàâ âåëî- ñèïåäèñò. ×åðåç 3 ãîä ç ïóíêòó B äî ïóíêòó A âèїõàëà ìîòî- öèêëіñòêà çі øâèäêіñòþ 45 êì/ãîä. Ñêіëüêè ãîäèí äî çóñòðі- ÷і ç ìîòîöèêëіñòêîþ їõàâ âåëîñèïåäèñò, ÿêùî âіäñòàíü âіä A äî B ñòàíîâèòü 235,5 êì? Íà ÿêіé âіäñòàíі âіä ïóíêòó A âіä- áóëàñÿ їõíÿ çóñòðі÷? 203. Ç êîòåäæíîãî ìіñòå÷êà â íàïðÿìêó çàëіçíè÷íîї ñòàíöії çі øâèäêіñòþ 14 êì/ãîä âèїõàëà âåëîñèïåäèñòêà, à ÷åðåç 2 ãîä ïіñëÿ íåї çâіäòè æ, àëå â ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó çі øâèä- êіñòþ 4 êì/ãîä âèéøîâ ïіøîõіä. ×åðåç ñêіëüêè ãîäèí ïіñëÿ ñâîãî âèõîäó ïіøîõіä áóäå íà âіäñòàíі 73 êì âіä âåëîñèïå- äèñòêè? Íà ÿêіé âіäñòàíі âіä êîòåäæíîãî ìіñòå÷êà â öåé ÷àñ âіí ïåðåáóâàòèìå? 204. Ïåðøèé êàâóí íà 5 êã ëåãøèé çà äðóãèé і óòðè÷і ëåãøèé çà òðåòіé. Ïåðøèé і òðåòіé êàâóíè ðàçîì óäâі÷і âàæ÷і çà äðó- ãèé. Çíàéäіòü ìàñó êîæíîãî êàâóíà. 205. Ïіä ÷àñ ïіäãîòîâêè äî îëіìïіàäè ç ìàòåìàòèêè Іâàí ðîçâ’ÿ- çàâ íà 3 çàäà÷і ìåíøå, íіæ Îêñàíà, і ó 2 ðàçè ìåíøå, íіæ Ñåðãіé. Ïðè öüîìó Іâàí і Ñåðãіé ðàçîì ðîçâ’ÿçàëè ó 2,1 ðàçà áіëüøå çàäà÷, íіæ Îêñàíà. ßêó êіëüêіñòü çàäà÷ ðîçâ’ÿçàâ êî- æåí ç ó÷íіâ, ãîòóþ÷èñü äî îëіìïіàäè? 34  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ Âïðàâè ð äëÿ ïîâòîðåííÿ ð 206. Îá÷èñëіòü: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 207. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) ÷èñëî 7 âіä ÷èñëà 28; 2) ÷èñëî 2,7 âіä ÷èñëà 208. Ïîÿñíіòü, ÷îìó íå ìàþòü ðîçâ’ÿçêіâ ðіâíÿííÿ: 1) 0 · x  15; 2) x + 8  x; 3) y – 2  y + 3; 4) 7 – m  2 – m; 5) 0 : x  13; 6) 3(x + 1)  3x. 209. Çíàéäіòü óñі çíà÷åííÿ a, äëÿ ÿêèõ ðіâíÿííÿ ax  –8 ìàє: 1) äîäàòíèé êîðіíü; 2) âіä’єìíèé êîðіíü. Æèòòєâà ìàòåìàòèêà 210. Íà àâòîìàãіñòðàëі âñòàíîâëåíî äî- ðîæíіé çíàê, ÿêèé óêàçóє, ùî øâèä- êіñòü íà íàéáëèæ÷іé äіëÿíöі øëÿõó 10 êì çàâäîâæêè íå ìàє ïåðåâèùó- âàòè 50 êì/ãîä. Âîäіé ïîäîëàâ öþ äі- ëÿíêó çà 10 õâ. ×è ïîðóøèâ âіí ïðà- âèëà äîðîæíüîãî ðóõó íà öіé äіëÿí- öі øëÿõó? Öіêàâі çàäà÷і ä – ïîìіðêóé ð ó îäíà÷å ä 211. Ìàìà, òàòî òà äâîє їõíіõ äіòåé ìàþòü ïåðåïðàâèòèñÿ ÷îâíîì íà ïðîòèëåæíèé áåðåã ðі÷êè. Ìàñà òàòà – 75 êã, ìàìè – 60 êã, äіòåé – ïî 38 êã. ßê їì ñêîðèñòàòèñÿ ÷îâíîì, ÿêùî âіí âèòðèìóє ìàñó äî 80 êã і êîæåí ó öіé ñіì’ї âìіє âåñëóâàòè? 35 ÐÎÇÄ²Ë 1 ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 1 Çàâäàííÿ 1–12 ìàþòü ïî ÷îòèðè âàðіàíòè âіäïîâіäåé (À–Ã), ñåðåä ÿêèõ ëèøå îäèí є ïðàâèëüíèì. Îáåðіòü ïðàâèëüíèé âàðі- àíò âіäïîâіäі. 1. Êîðåíåì ÿêîãî ðіâíÿííÿ є ÷èñëî 8? À. x : 4  3 Á. x – 9  1 Â. x + 7  15 Ã. 2x  10 2. ßêå ç ðіâíÿíü є ëіíіéíèì? À. 4x2  5 Á. x + 7  x2 Â. 3x + x  0 2 Ã. 2x  0 3. ßêå ç ðіâíÿíü íå ìàє êîðåíіâ? À. 7x  0 Á. 0x  7 Â. 0x  0 Ã. 7x  7 4. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ 0,3x – 1,5  0. À. 5 Á. –5 Â. Ã. 5. ßêå ç ðіâíÿíü ðіâíîñèëüíå ðіâíÿííþ 3x – 8  10? À. 2x  –12 Á. x + 7  1 Â. 5x  30 Ã. x – 9  3 6. Íà îäíіé ç ïîëèöü êíèæîê óòðè÷і áіëüøå, íіæ íà іíøіé. Ñêіëüêè êíèæîê íà öіé ïîëèöі, ÿêùî ðàçîì íà äâîõ ïîëèöÿõ 48 êíèæîê? À. 12 Á. 16 Â. 30 Ã. 36 7. Óêàæіòü ðіâíÿííÿ, êîðåíåì ÿêîãî є áóäü-ÿêå ÷èñëî. À. 12x  –8 Á. 2(x – 1)  2x Â. 2(x – 1)  2x – 2 Ã. 2x  2x – 2 8. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ À. 0 Á. 1 Â. 2 Ã. 5 9. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ |2x – 5|  7. ßêùî ðіâíÿííÿ ìàє îäèí êîðіíü, óêàæіòü éîãî ó âіäïîâіäі; ÿêùî ðіâíÿííÿ ìàє áіëüøå íіæ îäèí êîðіíü, ó âіäïîâіäі âêàæіòü їõ ñóìó. À. 7 Á. 6 Â. –1 Ã. 5 10. Çíàéäіòü íàéìåíøå öіëå çíà÷åííÿ a, äëÿ ÿêîãî êîðåíåì ðіâíÿííÿ ax  8 є öіëå ÷èñëî. À. 4 Á. 1 Â. –8 Ã. –16 11. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a ðіâíÿííÿ (a + 3)x  a(a – 3) íå ìàє ðîçâ’ÿçêіâ? À. íåìàє òàêèõ çíà÷åíü a Á. –3 Â. 0 Ã. 3 36  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ 12. 80 % âіä îäíîãî ÷èñëà äîðіâíþþòü âіä äðóãîãî. Çíàéäіòü ìåíøå іç öèõ ÷èñåë, ÿêùî їõ ñóìà äîðіâíþє 76. À. 30 Á. 24 Â. 22 Ã. 20 Ó çàâäàííі 13 ïîòðіáíî âñòàíîâèòè âіäïîâіäíіñòü ìіæ іíôîð- ìàöієþ, ïîçíà÷åíîþ öèôðàìè òà áóêâàìè. Îäíà âіäïîâіäü çàéâà. 13. Ó ïåðøîìó êîøèêó ÿáëóê íà 6 ìåíøå, íіæ ó äðóãîìó, é óäâі÷і ìåíøå, íіæ ó òðåòüîìó. Âñüîãî ó òðüîõ êîøèêàõ ðà- çîì 62 ÿáëóêà. Âñòàíîâіòü âіäïîâіäíіñòü ìіæ ïèòàííÿìè äî çàäà÷і (1–3) òà âіäïîâіäÿìè äî íèõ (À–Ã). Ïèòàííÿ Âіäïîâіäі 1. Ñêіëüêè ÿáëóê ó ïåðøîìó êîøèêó? À. 28 ÿáë. 2. Ñêіëüêè ÿáëóê ó äðóãîìó êîøèêó? Á. 20 ÿáë. 3. Ñêіëüêè ÿáëóê ó òðåòüîìó êîøèêó? Â. 16 ÿáë. Ã. 14 ÿáë. à ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 1–3 1. ×è є ÷èñëî 4 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) x + 7  10; 2) 3x  12? 2. ßêі ç ðіâíÿíü є ëіíіéíèìè: 1) 5x  –2; 2) x2  7; 3) 7 : x  7; 4) 0x  0? 3. Ñêіëüêè êîðåíіâ ìàє ðіâíÿííÿ: 1) –3x  5; 2) 0x  7? 4. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) –4x  12; 2) 0,2x – 1,2  0. 5. ×è ðіâíîñèëüíі ðіâíÿííÿ: 3x – 2  x + 8 і 2(x – 3)  x – 1? 6. Ó ïåðøîìó êîøèêó óäâі÷і áіëüøå ãðèáіâ, íіæ ó äðóãîìó. Ñêіëüêè ãðèáіâ ó êîæíîìó êîøèêó, ÿêùî ó äâîõ êîøèêàõ ðàçîì 78 ãðèáіâ? 7. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) x – (x + 5)  4(x – 2). 8. ×îâåí çà òå÷ієþ ïëèâ 3,5 ãîä, à ïðîòè òå÷ії 4,2 ãîä. Âіä- ñòàíü, ÿêó ïðîïëèâ ÷îâåí çà òå÷ієþ, íà 9,8 êì áіëüøà çà âіäñòàíü, ÿêó ïðîïëèâ ÷îâåí ïðîòè òå÷ії. Çíàéäіòü âëàñíó øâèäêіñòü ÷îâíà, ÿêùî øâèäêіñòü òå÷ії äîðіâíþє 2 êì/ãîä. 37 ÐÎÇÄ²Ë 1 Äîäàòêîâі çàâäàííÿ 9. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ |4x – 3|  5. 10. Çíàéäіòü óñі öіëі çíà÷åííÿ a, äëÿ ÿêèõ êîðіíü ðіâíÿííÿ ax  –6 є öіëèì ÷èñëîì. 11. Ç ìіñòà äî ñåëà âèéøîâ ïіøîõіä çі øâèäêіñòþ 4 êì/ãîä. ×åðåç 2 ãîä іç ñåëà äî ìіñòà âèðóøèëà âåëîñèïåäèñòêà çі øâèäêіñòþ 16 êì/ãîä. Ñêіëüêè ãîäèí äî çóñòðі÷і ç ïіøîõîäîì їõàëà âåëî- ñèïåäèñòêà, ÿêùî âіäñòàíü âіä ñåëà äî ìіñòà äîðіâíþє 38 êì? ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1 Äî § 1 212. ×è є ÷èñëî –5 êîðåíåì ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 213. Äîâåäіòü, ùî êîæíå іç ÷èñåë 2, –3 і 0 є êîðåíåì ðіâíÿí- íÿ 214. Ç’ÿñóéòå, ÷è є ðіâíîñèëüíèìè ðіâíÿííÿ: 1) і 2) і. 215. ×è є ïðàâèëüíèì òâåðäæåííÿ: «ßêùî êîæåí êîðіíü îäíî- ãî ðіâíÿííÿ є êîðåíåì іíøîãî, òî öі ðіâíÿííÿ ðіâíîñèëüíі»? Äî § 2 216. Óêàæіòü êіëüêіñòü êîðåíіâ ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 0x  –8. 217. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ: 1) 2) 3) 4) 5) 4,7x 7 – 2  4,5x + 3; 6) 2x – 3 – (3x – 2)  –8. 218. Çíàéäіòü êîðіíü ðіâíÿííÿ: 1) 10(2x – 7) – 5(4x – 2)  –60; 2) 3(5x – 4) – (15x – 2)  9; 3) 4) 219. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a: 1) ðіâíÿííÿ íå ìàє êîðåíіâ; 2) êîðåíåì ðіâíÿííÿ є áóäü-ÿêå ÷èñëî? 220. Ðîçâ’ÿæіòü ðіâíÿííÿ âіäíîñíî çìіííîї x. 38  ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ Äî § 3 221. Íà ñòàíöії òåõîáñëóãîâóâàííÿ çà 3 äíі âіäðåìîíòóâàëè x àâòіâîê. Âèðàçіòü ÷åðåç x êіëüêіñòü âіäðåìîíòîâàíèõ àâòі- âîê íà äåíü, ÿêùî ùîäíÿ ðåìîíòóâàëè îäíàêîâó êіëüêіñòü àâòіâîê. 222. Ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 36 ñì, ïðè÷îìó éîãî äîâæèíà âäâі÷і áіëüøà çà øèðèíó. Çíàéäіòü ñòîðîíè ïðÿìî- êóòíèêà òà éîãî ïëîùó. 223. Çà 7 îëіâöіâ і 3 ðó÷êè çàïëàòèëè 50 ãðí 85 ê. Ñêіëüêè êîøòóє îäèí îëіâåöü, ÿêùî âіí ä?