Poglavlje 2: Prsteni - Algebarske strukture PDF

Poglavlje 2 Prsteni 2.1 Osnovna svojstva prstena Prsteni su algebarske strukture na kojima su definirane dvije binarne operacije koje nazivamo zbrajanje i množenje, i koje su povezane zakonom distributivnosti. Prototip prstena je skup cijelih brojeva Z sa standardnim operacijama zbrajanja i množenja. U ovom poglavlju ćemo proučiti elementarna svojstva prstena, posebno konstrukcije koje su analogne onim u teoriji grupa kao što su podprsteni, ideali (koji su analogni normalnim podgrupama), kvocijentni prsteni i homomorfizmi prstena. Kratko ćemo se osvrnuti i na pitanje multiplikativnog inverza koje prirodno vodi do konstrukcije polja. Definicija 2.1 Prsten je neprazan skup R s dvije binarne operacije + i ∙ koje nazi- vamo zbrajanje i množenje, i koje za svaki a, b, c ∈ R zadovoljavaju sljedeća svojstva: (i) (R, +) je Abelova grupa, (ii) množenje je asocijativno: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c, (iii) množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje slijeva i zdesna: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c, (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c. 80 POGLAVLJE 2. PRSTENI 81 Neutralni element u Abelovoj grupi (R, +) označavamo s 0, a inverzni element s −a. Dakle, u prstenu vrijedi a + (−a) = 0 za svaki a ∈ R. Radi jednostavnosti pisanja množenje označavamo s a ∙ b ≡ ab. Definicija 2.2 Ako je množenje u prstenu R komutativno, onda R nazivamo komu- tativni prsten. Kažemo da je R prsten s jedinicom ako postoji element 1R ∈ R takav da je 1R a = a 1R = a za svaki a ∈ R. Jedinicu u prstenu R označavamo s 1R kako bi je razlikovali od realnog broja 1. Medutim, ako nema opasnosti od zabune, jedinicu u prstenu ćemo jednostavno označa– vati s 1. Zanimiljivo je primijetiti da je komutativnost zbrajanja u R uvjetovana zahtjevom distributivsnoti množenja u R. Pretpostavimo na trenutak da (R, +) nije komutativna grupa i da R ima jedinicu 1 ∈ R. Tada se umnožak (1 + 1)(a + b) može izračunati na dva različita načina: (1 + 1)(a + b) = (1 + 1)a + (1 + 1)b = a + a + b + b, (2.1) (1 + 1)(a + b) = 1(a + b) + 1(a + b) = a + b + a + b. (2.2) Usporedbom (2.1) and (2.2) zaključujemo da je a + b = b + a jer bismo inače imali kontradikciju. Dakle, (R, +) mora biti Abelova grupa kako bi zbrajanje bilo kompa- tibilno s uvjetom distibutivnosti. Primjeri prstena (1) Neka je (R, +) Abelova grupa. Ako na R definiramo množenje s ab = 0 za svaki a, b ∈ R, onda dobivamo trivijalni prsten. Ovakav prsten nema jedinicu osim ako je R = {0}. U tom je slučaju 1 = 0. (2) Standardni primjeri prstena s jedinicom su skupovi brojeva Z, Q, R i C sa stan- dardnim operacijama zbrajanja i množenja. (3) Neka je M (n, F) skup kvadratnih matrica reda n nad F = R ili C. M (n, F) je prsten s operacijama matričnog zbrajanja i množenja. Nula u prstenu je nul matrica, a jedinica je jedinična matrica. POGLAVLJE 2. PRSTENI 82 (4) Skup 2 × 2 matrica na poljem F definiran sa ( ! ) a b R= | a, b ∈ F (2.3) 0 0 je nekomutativni prsten. Primijetimo da R nema jedinicu. Pretpostavimo da postoji ( x0 y0 ) ∈ R takav da je ! ! ! ! ! x y a b a b x y a b = = (2.4) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 za sve a, b ∈ F. Jednadžba (2.4) implicira ax = a, ay = b i xb = b što vodi na kontradikciju ako je a = 0 i b 6= 0. Jedinična matrica ( 10 01 ) je jedinica u prstenu M (2, F), ali ( 10 01 ) ∈ / R. (5) Sa R[x] označimo skup polinoma s realnim koeficijentima f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ∙ ∙ ∙ + an xn , an ∈ R, an 6= 0. Standardne operacije zbrajanja i množenja polinoma zadovoljavaju aksiome pr- stena. Nula u R[x] je nul polinom 0(x) = 0, a jedinica je konstantni polinom 1(x) = 1. Svojstva polinoma s koeficijentima u proizvoljnom prstenu ćemo de- taljnije proučiti u poglavlju 2.10. (6) Skup neprekidnih funkcija f : [a, b] → R je prsten sa zbrajanjem i množenjem po točkama: (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f g)(x) = f (x)g(x) x ∈ [a, b]. Jedinica u prstenu je konstantna funkcija 1(x) = 1 za svaki x ∈ [a, b]. Ovaj prsten označavamo s C[a, b]. (7) Promotrimo Abelovu grupu Zn = {0, 1,... , n − 1}. Množenje u Zn definirano s x ∙ y = xy, zadovoljava aksiome prstena. Zn je prsten s jedinicom 1 koji ima konačno mnogo elemenata. POGLAVLJE 2. PRSTENI 83 Elemenatarna svojstva prstena dana su sljedećim teoremom. Teorem 2.1 Neka je R prsten. Tada za svaki a, b, c ∈ R vrijedi (i) a0 = 0a = 0, (ii) a(−b) = −(ab) = (−a)b, (iii) a(b − c) = ab − ac, (a − b)c = ac − bc. Dokaz (i) Iz distribucije množenja slijedi a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, što prema definiciji neutralnog elementa implicira a0 = 0. Slično se pokazuje da je 0a = 0. (ii) Distributivnost množenja daje 0 = a0 = a(b + (−b)) = ab + a(−b), pa iz definicije inverznog elementa slijedi a(−b) = −(ab). Slično se pokazuje relacija −(ab) = (−a)b. (iii) Koristeći svojstvo (ii) dobivamo a(b − c) = a(b + (−c)) = ab + a(−c) = ab − ac, i slično (a − b)c = (a + (−b))c = ac + (−b)c = ac − bc. POGLAVLJE 2. PRSTENI 84 Množenje u prstenu je asocijativno pa umnožak elemenata a1 , a2 i a3 jednostavno za- pisujemo kao a1 a2 a3 jer nije važno kako grupiramo elemente. Isto vrijedi za umnožak elemenata a1 , a2 ,... , an koji zapisujemo kao n Y a i = a1 a 2... a n. i=1 Takoder, zbog asocijativnosti zbrajanja suma elemenata a1 , a2 ,... , an se zapisuje kao n X a i = a 1 + a2 + ∙ ∙ ∙ + an. i=1 Sljedeća propozicija daje generalizaciju aksioma o distributivnosti, i lako se dokazuje indukcijom po n i m. Propozicija 2.1 Neka je R prsten, i neka su ai , bj ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Tada je ! m ! Xn X Xn X m ai bj = ai b j. i=1 j=1 i=1 j=1 Ako je a ∈ R i m ∈ N, onda definiramo am = a | a{z... a}, {z∙ ∙ ∙ + a}, ma = |a + a + m puta m puta −m −1 m a = (a ) ako a ima muliplikativni inverz a−1 , −ma = (−a) + (−a) + ∙ ∙ ∙ + (−a). | {z } m puta Ako R ima jedinicu, onda definiramo a0 = 1. Iz ovih definicija indukcijom se lako pokazuje sljedeći teorem. Teorem 2.2 Neka je R prsten, i neka su a, b ∈ R. Tada za svaki n, m ∈ N vrijedi (i) am an = am+n , (ii) (am )n = amn. Takoder, za svaki n, m ∈ Z imamo (i) ma + na = (m + n)a, (ii) m(na) = (mn)a, (iii) (ma)(nb) = (mn)(ab) = (na)(mb). POGLAVLJE 2. PRSTENI 85 2.2 Vrste prstena S obzirom na svojstva množenja, razlikujemo nekoliko vrsta prstena. Definicija 2.3 Neka je R prsten s jedinicom. Ako svaki element a ∈ R, a 6= 0, ima multiplikativni inverz a−1 ∈ R, onda R nazivamo prsten s dijeljenjem. Ako je množenje u R takoder komutativno, onda R nazivamo polje. Ako je R prsten s jedinicom, onda skup invertibilnih elemenata tvori multiplikativnu grupu R∗. Na primjer, u prstenu cijelih brojeva je Z∗ = {1, −1}. U prstenu s dijelje- njem multiplikativna grupa jednaka je R∗ = R \ {0}. Standarni primjeri prstena s dijeljenjem (odnosno polja) su prsteni brojeva Q, R i C. Primijetimo da Z nije prsten s dijeljenjem jer cijeli brojevi osim 1 i −1 nemaju mul- tiplikativni inverz u Z. Prsten matrica M (n, R) nije prsten s dijeljenjem jer matrica A 6= 0 nema nužno imati inverz. Na primjer, matrica ! a 0 A= , a, b 6= 0, b 0 nije nul-matrica, ali A−1 ne postoji jer je det(A) = 0. Definicija 2.4 Prsten R nazivamo integralna domena ako xy = 0, x, y ∈ R, povlači x = 0 ili y = 0. Ako je R prsten s dijeljenjem, onda je R integralna domena. Posebno, svako polje je integralna domena. Ako je R integralna domena i x, y ∈ R \ {0}, onda je xy 6= 0. Napomenimo da neki autori definiraju integralnu domenu kao komutativni prsten s jedinicom koji zadovoljava definiciju 2.4. Primjeri (1) Prsten cijelih brojeva Z je očigledno integralna domena. (2) Lako se pokazuje da je prsten Gaussovih cijelih brojeva n √ o Z[i] = m + in | m, n ∈ Z, i = −1 takoder integralna domena. POGLAVLJE 2. PRSTENI 86 (3) Promotrimo prsten neprekidnih funkcija C[0, 1]. Definirajmo  0, 0 ≤ x ≤ 12 , f (x) = x − 1 , 1 < x ≤ 1, 2 2  −x + 1 , 0 ≤ x ≤ 12 , 2 g(x) = 0, 1 < x ≤ 1. 2 Tada su f, g ∈ C[0, 1] i f 6= 0, g 6= 0. Medutim, f (x)g(x) = 0 za svaki x ∈ [0, 1], odnosno f g = 0, pa zaključujemo da C[0, 1] nije integralna domena. Prsten Z je komutativna integralna domena s jedinicom koja nije polje jer za n ∈ Z / Z. Medutim, u sljedećem slučaju vrijedi obrat. osim za n = ±1 vrijedi n−1 = n1 ∈ Propozicija 2.2 Neka je R komutativna integralna domena s jedinicom. Ako je R konačan skup, onda je R polje. Dokaz Odaberimo a ∈ R, a 6= 0, i definirajmo preslikavanje ϕ : R → R s ϕ(x) = ax. Pokažimo da je ϕ injekcija. Ako je ax = ay, onda je a(x − y) = 0 što implicira da je x − y = 0 jer je R integralna domena i a 6= 0. Dakle, x = y. Injektivnost implicira da je ϕ : R → R surjekcija jer je R konačan skup. Odavde slijedi da za 1 ∈ R postoji jedinstveni b ∈ R takav da je ϕ(b) = 1, odnosno ab = ba = 1. Time je dokazano da svaki element a 6= 0 ima mulitplikativni inverz. Stoga je R polje. Definicija 2.5 Neka je R prsten. Element x ∈ R naziva se lijevi djelitelj nule ako postoji y ∈ R, y 6= 0, takav da je xy = 0. Slično se definira desni djelitelj nule. Ako je x lijevi i desni djelitelj nule, onda se x naziva djelitelj nule. Očito je 0 ∈ R trivijalni djelitelj nule u svakom prstenu R. Primijetimo da je R integralna domena ako i samo ako je 0 ∈ R jedini djelitelj nule u R. Primjeri prstena s netrivijalnim djeliteljima nule su M (n, R) i Zn. Neka su ! ! a 0 0 0 A= , B= , a, b 6= 0, 0 0 b 0 matrice u prstenu M (2, R). Tada je AB = 0 što znači da je A lijevi djelitelj, a B desni djelitelj nule u M (2, R). POGLAVLJE 2. PRSTENI 87 Netrivijalni djelitelji nule u prstenu Zn su elementi ˉa ∈ Zn gdje a i n nisu relativno prosti, odnosno a i n imaju zajednički djelitelj d > 1. Neka je d > 1 najveći za- jednički djelitelj brojeva a i n. Tada je n = bd i a = cd za neki b ∈ N i c ∈ Z. Kako je d > 1 imamo 0 < b < n, stoga je b 6= 0. Nadalje, ab = cdb = cn što implicira da je ab = ab = 0. Dakle, a je djelitelj nule jer je b 6= 0. Na primjer, djelitelji nule u prstenu Z6 su 2, 3 i 4 jer 2, 3 i 4 nisu relativno prosti u odnosu na 6. Definirajmo još nekoliko korisnih pojmova u teoriji prstena. Definicija 2.6 Neka je R prsten. Za element a ∈ R kažemo da je nilpotentan ako postoji n ∈ N takav da je an = 0. Neutralni element 0 ∈ R je očigledno nilpotentan. Matrica ! 0 x A= , x ∈ R, 0 0 je nilpotentan element u prstenu M (2, R) jer je ! 0 0 A2 =. 0 0 Ako je R integralna domena, onda R ne sadrži nilpotentne elemente a 6= 0. Doista, ako je a 6= 0 nilpotentan, onda jednakost an = aan−1 = 0 implicira an−1 = 0. Iteracijom po n zaključujemo da je a = 0, što je kontradikcija. Dakle, jedini nilpotentni element u integralnoj domeni je 0 ∈ R. Definicija 2.7 Neka je R prsten. Kažemo da je element a ∈ R idempotentan ako je a2 = a. Očito je da su 0 i 1 idempotentni elementi u svakom prstenu R (ako R ima jedinicu). Za matricu ! 1 1 A= ∈ M (2, R) 0 0 vrijedi A2 = A, stoga je A idempotentan element u M (2, R). POGLAVLJE 2. PRSTENI 88 2.3 Podprsten i karakteristika prstena Definicija 2.8 Neka je (R, +, ∙) prsten, i neka je S ⊆ R neprazan podskup. Ako je (S, +, ∙) prsten, onda S nazivamo podprsten od R. Binarne operacije u S su iste kao u R. Slično se definira podpolje nekog polja. Svaki prsten R ima trivijalne podprstene: {0} i R. Propozicija 2.3 Neka je R prsten. Neprazan podskup S ⊆ R je podprsten od R ako za svaki a, b ∈ S vrijedi a − b ∈ S i ab ∈ S. Dokaz Ako je a − b ∈ S za svaki a, b ∈ S, onda je (S, +) aditivna podgrupa grupe (R, +). Nadalje, ako je ab ∈ S za svaki a, b ∈ S, onda je S zatvoren na množenje, dok se asocijativnost i distributivnost množenja naslijeduju iz R. Lako se pokazuje da je presjek konačnog broja podprstena od R takoder podprsten od R. Definicija 2.9 Neka je R prsten. Skup Z(R) = {a ∈ R | xa = ax za svaki x ∈ R} naziva se centar prstena R. Centar Z(R) je neprazan skup jer je 0 ∈ Z(R). Teorem 2.3 Centar prstena je podprsten. Dokaz Neka su a, b ∈ Z(R) i x ∈ R. Tada je (a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b), što pokazuje da je a − b ∈ Z(R). Nadalje, (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = x(ab), pa slijedi da je ab ∈ Z(R). Prema propoziciji 2.3, Z(R) je podprsten od R. POGLAVLJE 2. PRSTENI 89 Definicija 2.10 Neka je R prsten. Pretpostavimo da postoji n ∈ N takav da je na = 0 za svaki a ∈ R. Najmanji takav prirodni broj naziva se karakteristika prstena R. Ako takav broj ne postoji, onda kažemo da R ima karakteristiku nula. Karakteristiku prstena R označavamo s char(R). Očigledno je da prsten cijelih bro- jeva ima karakteristiku char(Z) = 0. Pokažimo da je karakteristika prstena Zn jed- naka n. Neka je k ∈ Zn. Onda je {z∙ ∙ ∙ + k} = nk = nk = 0 nk = |k + k + n puta jer je n = 0. Tvrdimo da je n namanji prirodni broj sa svojstvom nk = 0 za svaki k ∈ Zn. Pretpostavimo da postoji 1 ≤ m < n takav da je mk = 0 za svaki k ∈ Zn. Tada za k = 1 dobivamo m1 = 1| + 1 +{z∙ ∙ ∙ + 1} = m = 0, n puta što implicira m = pn za neki p ≥ 1. Ovo vodi na kontradikciju jer je m < n. Dakle, m = n. Teorem 2.4 Neka je F polje. Tada je char(F ) nula ili prost broj. Dokaz Pretpostavimo da je n 6= 0 karakteristika polja F. Onda je n 1F = 0F gdje su 0F i 1F nula i jedinica u polju F. Ako n nije prosti broj, onda se n može faktorizirati kao n = n1 n2 gdje je 1 < n1 < n i 1 < n2 < n. Sada (n1 n2 )1F = 0F implicira (n1 1F )(n2 1F ) = 0F što daje n1 1F = 0F ili n2 1F = 0F jer je F integralna domena. Ovo dalje implicira n1 a = 0 ili n2 a = 0 za svaki a ∈ F , čime dobivamo kontradik- ciju jer su n1 , n2 < n. Zaključujemo da n nije složen, odnosno da je n je prosti broj. Primjeri (1) Polja Q, R i C imaju karakteristiku nula. (2) Prsten Zp , gdje je p prosti broj, je polje karakteristike p. Zp je komutativni prsten s jedinicom ˉ1 pa je dovoljno pokazati da svaki ˉa ∈ Zp , a ˉ 6= ˉ0, ima mulitplikativni inverz u Zp. Ako je 0 < a < p, onda je najveći zajednički djelitelj brojeva a i p jednak 1. Stoga postoje m, n ∈ Z takvi da je ma + np = 1. (2.5) POGLAVLJE 2. PRSTENI 90 Slika 2.1: William Rowan Hamilton, 1805-1865. Hamilton je otkrio kvaternione 1843 godine, što je primjer prve nekomutativne algebre. Odavde slijedi da je mˉ ˉa+n ˉ a = ˉ1 ˉ pˉ = mˉ (2.6) jer je pˉ = ˉ0. Stoga je m ˉaˉ=a ˉmˉ = ˉ1, odnosno ˉa−1 = m, ˉ gdje m možemo odabrati tako da je 0 < m < p. Prema prethodnom primjeru je char(Zp ) = p, dakle Zp je polje karakteristike p. 2.4 Prsten kvaterniona 1843. godine irski matematičar W.R. Hamilton konstruirao je prvi primjer nekomu- tativnog prstena s dijeljenjem. Elemente tog prstena nazvao je kvaternioni jer su definirani pomoću četiri realna broja. Kvaternioni nalaze široku primjenu u mate- matici, fizici i tehnici. Na primjer, kvaternionima se opisuju prostorne rotacije pa se stoga primjenjuju u 3D računalnoj grafici, teorijskoj mehanici i teoriji kontrole. In- teresantno je spomenuti da se položaj svemirskih satelita u orbiti kontrolira pomoću kvaterniona. Kvaternioni su imali važan utjecaj na razvoj algebre jer su doveli do istraživanja drugih “hiperkompleksnih” brojevnih sustava. POGLAVLJE 2. PRSTENI 91 U ovom odjeljku ćemo konstruirati kvaternione promatrajući kompleksne matrice ! a b A= , a, b ∈ C, (2.7) −b a gdje a označava konjugaciju broja a. Neka je H skup svih matrica oblika (2.7). Pokažimo da je H podprsten prstena M (2, C). Ako su A1 , A2 ∈ H, onda je ! ! ! a1 b1 a2 b 2 a1 − a 2 b1 − b2 A1 − A 2 = − = ∈ H. −b1 a1 −b2 a2 −(b1 − b2 ) a1 − a2 Takoder, ! ! ! a1 b 1 a 2 b2 u v A1 A2 = = −b1 a1 −b2 a2 −v u gdje je u = a1 a2 − b1 b2 i v = a1 b2 + b1 a2 , pa je H zatvoren na množenje. Prema propoziciji 2.3, H je podprsten od M (2, C). Pokažimo sada da je H prsten s dijeljenjem. Neka je A ∈ H, A 6= 0. Tada je a 6= 0 ili b 6= 0, što povlači da je det(A) = |a|2 + |b|2 > 0. Dakle, matrica A je invertibilna i vrijedi ! 1 a −b A−1 = 2 2. |a| + |b| b a Primijetimo da je A−1 takoder matrica oblika (2.7) jer je a = a i b = −(−b), pa zaključujemo da je A−1 ∈ H. Time je dokazano da je H prsten s dijeljenjem. Ako kompleksne brojeve a i b rastavimo na realni i imaginarni dio, a = α1 + iα2 i b = β1 + iβ2 , onda matricu A možemo napisati kao zbroj ! ! ! ! 1 0 i 0 0 1 0 i A = α1 + α2 + β1 + β2. 0 1 0 −i −1 0 i 0 Definirajmo matrice ! ! ! ! 1 0 i 0 0 1 0 i e= , i= , j= , k=. 0 1 0 −i −1 0 i 0 Ove matrice zadovoljavaju tablicu množenja 2.1. Stoga se umnožak u prstenu H može računati korištenjem tablice 2.1 i distribucije matričnog množenja. Ovo motivira sljedeću definiciju. POGLAVLJE 2. PRSTENI 92 ∙ e i j k e e i j k i i −e k −j j j −k −e i k k j −i −e Tablica 2.1: Tablica množenja kvaterniona Definicija 2.11 Brojevi oblika x = a e + b i + c j + d k, a, b, c, d ∈ R, (2.8) gdje simboli e, i, j i k zadovoljavaju tablicu množenja 2.1 nazivaju se realni kvater- nioni. Zbroj dvaju kvaterioniona x1 i x2 dan je s x1 + x2 = (a1 + a2 ) e + (b1 + b2 ) i + (c1 + c2 ) j + (d1 + d2 ) k. Umnožak x1 x2 = (a1 e + b1 i + c1 j + d1 k)(a2 e + b2 i + c2 j + d2 k) se računa primjenom tablice 2.1 i distributivnosti množenja. Na primjer, ako su x1 = 2e + i − k i x2 = −2j + k, onda je x1 x2 = (2e + i − k)(−2j + k) = −4ej − 2ij + 2kj + 2ek + ik − k2 = −4j − 2k − 2i + 2k − j + e = e − 2i − 5j. Nula u prstenu je 0 = 0e + 0i + 0j + 0k, (2.9) a jedinica je 1 = 1e + 0i + 0j + 0k. (2.10) Inverz kvaterniona jednak je ae − bi − cj − dk (a e + b i + c j + d k)−1 = a2 + b2 + c 2 + d 2 POGLAVLJE 2. PRSTENI 93 uz uvjet da je barem jedan od brojeva a, b, c ili d različit od nule. Primijetimo da prsten kvaterniona H sadrži podprstene R i C jer realne i kompleksne brojeve možemo identificirati s kvaternionima kao a ≡ a e, a + ib ≡ a e + b i. Dakle, H predstavlja proširenje polja kompleksnih brojeva C, ali množenje u proširenom prstenu H nije komutativno. 2.5 Prsten matrica Pojam matrice nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva se može proširiti na pro- izvoljan prsten. Neka je A matrica reda n s elementima u nekom prstenu R,   a11 a12... a1n    a21 a22... a2n  ..  A=..  , aij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n. ..  an1 an2... ann Matricu kraće označavamo s A = (aij ) gdje je aij element matrice A u i-tom retku i j-tom stupcu. Prsten matrica M (n, R) je skup matrica reda n na kojem zbrajanje i množenje definiramo na standardni način: A + B = (aij + bij ), (2.11) X n AB = aik bkj. (2.12) k=1 Lako se pokazuje da zbrajanje i množenje definirano s (2.11) i (2.12) zadovoljava aksiome prstena. Nula u prstenu M (n, R) je nul matrica čiji su svi elementi 0 ∈ R. Ako R ima jedinicu 1 ∈ R, onda je jedinica u prstenu M (n, R) jedinična matrica   1 0... 0   0 1... 0  In = ....  . .. 0 0... 1 POGLAVLJE 2. PRSTENI 94 U tom slučaju svaku matricu A možemo napisati kao linearnu kombinaciju s koefici- jentima u R, Xn A= aij Eij , i,j=1 gdje matrica Eij ima u i-tom retku i j-tom stupcu jedinicu a na ostalim mjestima nulu. Za umnožak matrica Eij vrijedi pravilo Eij Ekl = δjk Eil (2.13) gdje je δjk Kroneckerov delta simbol  1, j = k, δjk = 0, j 6= k. Matrice Eii su idempotentne jer je Eii2 = Eii za svaki i = 1, 2,... , n. Ako je n > 1, onda prema pravilu (2.13) imamo E11 E12 = δ11 E12 = E12 , E12 E11 = δ21 E11 = 0. Stoga je M (n, R) nekomutativni prsten za n > 1. Pretpostavimo da je R komutativni prsten s jedinicom. U tom slučaju standardni rezultati iz linearne algebre analogno vrijede i u prstenu M (n, R). Posebice, možemo definirati determinantu matrice kao X det(A) = sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2)... anσ(n) σ∈Sn gdje se suma uzima po svim permutacijama skupa {1, 2,... , n}, a sgn(σ) je predznak permutacije σ. Za determinantu vrijedi Binet-Cauchyeva formula det(AB) = det(A)det(B) za svaki A, B ∈ M (n, R). (2.14) Prisjetimo se da je kofaktor elementa aij definiran s Aij = (−1)i+j Δij , POGLAVLJE 2. PRSTENI 95 gdje je Δij subdeterminanta matrice A koje se dobije tako da se iz A izbriše i-ti redak i j-ti stupac. Adjunkta matrice A je matrica Ã = (αij ) gdje je αij = Aji. Za svaku matricu A ∈ M (n, R) vrijedi ÃA = AÃ = det(A)I (2.15) gdje je I ∈ M (n, R) jedinična matrica. Teorem 2.5 Neka je R komutativni prsten s jedinicom. Tada je A ∈ M (n, R) inver- tibilna matrica ako i samo ako je det(A) invertibilna u R. Dokaz Neka je A invertibilna matrica. Tada postoji A−1 ∈ M (n, R) takva da je AA−1 = A−1 A = I. Iz jednadžbe (2.14) dobivamo det(A)det(A−1 ) = det(A−1 )det(A) = det(I) = 1, što pokazuje da je det(A) invertibilna u R. Pretpostavimo sada da je Δ = det(A) invertibilna u R, odnosno da postoji Δ −1 ∈ R takav da je ΔΔ−1 = Δ−1 Δ = 1. Kako je R komutativni prsten, za svaki a ∈ R i B ∈ M (n, R) vrijedi aB = Ba. Množenjem jednadžbe (2.15) s Δ−1 i koristeći svojstvo komutativnosti u prstenu R dobivamo (Δ−1 Ã)A = A(Δ−1 Ã) = I. Odavde slijedi da je A invertibilna matrica i da je A−1 = Δ−1 Ã. Kako svi elementi nekog polja koji su različiti od nule imaju multiplikativni inverz, poseban slučaj ovog teorema je Korolar 2.1 Neka je F polje. Tada je A ∈ M (n, F ) invertibilna ako i samo ako je det(A) 6= 0. POGLAVLJE 2. PRSTENI 96 2.6 Prsten grupe Neka je R prsten s jedinicom 1 ∈ R, i neka je G = {g1 , g2 ,... , gn } konačna grupa. Označimo s RG skup svih formalnih suma a1 g 1 + a2 g 2 + ∙ ∙ ∙ + a n g n , ai ∈ R, gi ∈ G. Neka je g1 = e neutralni element u G. Tada kraće pišemo ag1 = a, i slično 1gi = gi. Zbrajanje u RG se definira po komponentama, tj. n X n X n X ai gi + bi g i = (ai + bi )gi. i=1 i=1 i=1 Množenje se definira tako da prvo definiramo (agi )(bgj ) = (ab)gk (2.16) gdje je gk = gi gj , a zatim (2.16) proširujemo na formalne sume koristeći zakon distri- butivnosti. Ako je X n X n Xn ai g i bj g j = ck gk , i=1 j=1 k=1 onda je koeficijent elementa gk jednak X ck = ai b j. gi gj =gk Ovako definirano zbrajanje i množenje u RG zadovolja svojstva prstena. Asocijativ- nost množenja u RG se naslijeduje od asocijativnosti množenja u R i G. Nadalje, element 1e = 1 je jedinica u RG. Time skup RG dobiva strukturu prstena s jedinicom kojeg nazivamo prsten grupe. Za primjer promotrimo diedralnu grupu D4 = hR, D | R4 = D2 = 1, Rk D = DR−k i i prsten Z. Neka su x = 2R2 − 3D i y = R + 2DR3. Tada je xy = (2R2 − 3D)(R + 2DR3 ) = 2R3 − 3DR + 4R2 DR3 − 6D2 R3 = 2R3 − 3DR + 4DR−2 R3 − 6R3 = −4R3 + DR. POGLAVLJE 2. PRSTENI 97 Ako je R komutativni prsten i G Abelova grupa, onda je prsten RG komutativan. Preslikavanjem a 7→ ae s R u RG dobivamo ulganje prstena R u prsten RG. Slično, preslikavanje g 7→ 1g s G u RG predstavlja ulaganje grupe G u prsten RG. Stoga RG sadrži kopije prstena R i grupe G. Interesantno je primijetiti da ako je |G| > 1, onda RG ima djelitelje nule. Odaberimo g ∈ G, g 6= e. Tada postoji m > 1 takav da je g m = e jer je G konačna grupa. Po definiciji prstena grupe, formalne sume e − g i e + g + g 2 + ∙ ∙ ∙ + g m−1 nisu nula. Medutim (e − g)(e + g + g 2 + ∙ ∙ ∙ + g m−1 ) = e − g m = 0, što pokazuje da je e − g je djelitelj nule u RG za svaki g 6= e. 2.7 Ideali i kvocijenti prsten Koncept ideala u prstenu je analogan normalnoj podgrupi. Kvocijentni prsteni se tvore na sličan način kao kvocijentne grupe, a veza izmedu ideala i homomorfizama prstena je analogna vezi izmedu normalnih podgrupa i homomorfizama grupa. Definicija 2.12 Neprazan podskup I prstena R naziva se ideal ako vrijedi (i) a − b ∈ I za svaki a, b ∈ I, (ii) ra ∈ I i ar ∈ I za svaki a ∈ I, r ∈ R. Ako umjesto svojstva (ii) vrijedi ra ∈ I za svaki a ∈ I, r ∈ R, onda I nazivamo lijevi ideal prstena R. Slično definiramo desni ideal u R. Ideal je lijevi i desni ideal, pa se ponekad naziva dvostrani ideal. Ako je R komutativni prsten, onda je svaki ideal u R dvostran. Svaki ideal je podprsten jer je I Abelova podgrupa od R prema svojstvu (i), a iz svojstva (ii) slijedi da je I zatvoren na množenje u R. Medutim, podprsten nije nužno ideal jer ne mora vrijediti svojstvo (ii). Svaki prsten R ima trivijalne ideale {0} i R. POGLAVLJE 2. PRSTENI 98 Primjeri ideala (1) Svaki podprsten u prstenu cijelih brojeva Z je ideal. Neka je S ⊆ Z podprsten. Ako je r ∈ Z i a ∈ S, onda je       {z∙ ∙ ∙ + a}, |a + a + r > 0,   r ra = 0, r = 0,    −a − a − ∙ ∙ ∙ − a, r < 0.   | {z } |r| U svakom slučaju je ra ∈ S jer je S aditivna podgrupa od Z. Stoga je S ideal u Z. (2) Neka je R prsten gornje-trokutastih kvadratnih matrica reda 2 nad poljem R. Tada je podskup ( ! ) 0 a I= |a∈R 0 0 ideal u R. Doista, I je očito aditivna podrupa od R. Za svaku matricu ( x0 yz ) ∈ R imamo ! ! ! x y 0 a 0 xa = ∈ I, 0 z 0 0 0 0 ! ! ! 0 a x y 0 az = ∈ I, 0 0 0 z 0 0 pa zaključujemo da je I ideal u R. Ako I promatramo kao podskup prstena R0 kvadratnih matrica reda 2 nad R, onda I nije ni lijevi ni desni ideal u R0. Dakle, svojstvo ideala ne ovisi samo o skupu I već i o prstenu u kojem ga promatramo. (3) Neka je R prsten, i neka je a ∈ R. Tada je aR = {ar | r ∈ R} desni ideal u R, a Ra = {ra | r ∈ R} lijevi ideal u R. Ako R nema jedinicu, a ne mora biti element skupa aR ili Ra. Pokažimo da je aR desni ideal. Odaberimo ar1 , ar2 ∈ aR. Tada je ar1 − ar2 = a(r1 − r2 ) ∈ aR POGLAVLJE 2. PRSTENI 99 jer je r1 − r2 ∈ R. Dakle, aR je Abelova podgrupa od R. Nadalje, za svaki r ∈ R imamo (ar1 )r = a(r1 r) ∈ aR jer je r1 r ∈ R, pa zaključujemo da je aR desni ideal u R. Slično se pokazuje da je Ra lijevi ideal u R. (4) Neka je R prsten, i neka je a ∈ R. Definirajmo nX o RaR = ri asi | ri , si ∈ R (2.17) i P gdje i označava konačnu sumu. Razlika dviju ovakvih suma je opet suma oblika (2.17), dakle RaR je Abelova podgrupa od R. Takoder, za r, s ∈ R imamo X X r ri asi = (rri )asi ∈ RaR, Xi i X ri asi s = ri a(si s) ∈ RaR, i i što pokazuje da je RaR (dvostrani) ideal u R. Teorem 2.6 Neka su A i B ideali u prstenu R. Tada je skup A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} ideal u prstenu R. Dokaz Odaberimo x, y ∈ A + B. Tada je x = a + b i y = a0 + b0 za neke a, a0 ∈ A i b, b0 ∈ B, pa vrijedi x − y = (a − a0 ) + (b − b0 ) ∈ A + B jer je a − a0 ∈ A i b − b0 ∈ B. Za svaki r ∈ R imamo rx = ra + rb ∈ A + B jer je ra ∈ A i rb ∈ B. Time je dokazano da je A + B ideal od R. T Propozicija 2.4 Neka je {Ik }k∈J familija ideala prstena R. Tada je k∈J Ik takoder ideal prstena R. T Dokaz Odaberimo a, b ∈ k∈J Ik i r ∈ R. Tada je a − b ∈ Ik i ra ∈ Ik za svaki k ∈ J T T jer je Ik ideal od R. Slijedi da je a − b ∈ k∈J Ik i ra ∈ k∈J Ik , pa zaključujemo da T je i∈J Ik ideal od R.

Poglavlje 2: Prsteni - Algebarske strukture PDF

Document Details

Tags

Related

Summary

Full Transcript