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# Analisi Matematica I ## 10 Febbraio 2023 ### Esercizio 1 Sia $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \begin{cases} \arctan{\frac{1}{x}} & \text{se } x \neq 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \end{cases}$ 1. Stabilire se $f$ è continua in $x = 0$. 2. Calcolare, se esiste, la...

# Analisi Matematica I ## 10 Febbraio 2023 ### Esercizio 1 Sia $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \begin{cases} \arctan{\frac{1}{x}} & \text{se } x \neq 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \end{cases}$ 1. Stabilire se $f$ è continua in $x = 0$. 2. Calcolare, se esiste, la derivata di $f$ in ogni $x \neq 0$. 3. Stabilire se $f$ è derivabile in $x = 0$. 4. Calcolare $\int_{1}^{\sqrt{3}} f(x) \, dx$. ### Esercizio 2 Calcolare il seguente limite: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos{x}}{\sin^{2}{x}}$ ### Esercizio 3 Studiare la funzione $f(x) = \log(4 - x^{2})$ определив: * Dominio, eventuali simmetrie e periodicità. * Segno della funzione e intersezioni con gli assi. * Calcolare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti. * Calcolare la derivata prima, eventuali punti di non derivabilità e studio del segno di $f'(x)$ (crescenza e decrescenza di $f$, massimi e minimi relativi e asoluti). * Calcolare la derivata seconda e studio del segno di $f''(x)$ (concavità e convessità di $f$, punti di flesso). * Disegnare un grafico qualitativo della funzione. ### Esercizio 4 Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy: $\begin{cases} y' = \frac{2x}{1 + x^{2}}y + x^{3} + x \\ y(0) = 1 \end{cases}$