AFC et AFCM - Méthodes Statistiques PDF

AFC **1. Définition :** L'AFC est une méthode exploratoire utilisée pour analyser des relations entre deux variables qualitatives. Elle repose sur un tableau de contingence et permet de rechercher des **correspondances** entre les modalités des variables (lignes et colonnes). **2. Particularités...

AFC **1. Définition :** L'AFC est une méthode exploratoire utilisée pour analyser des relations entre deux variables qualitatives. Elle repose sur un tableau de contingence et permet de rechercher des **correspondances** entre les modalités des variables (lignes et colonnes). **2. Particularités :** - L'AFC peut être appliquée même lorsque le **test du khi-deux** n\'indique pas de relation significative entre les variables (p-valeur \> 0,05). - Les modalités bien représentées sont celles qui s'éloignent du **point de gravité** dans la représentation graphique. **3. Étapes de l\'AFC :** 1. **Analyse du tableau de contingence :** - Le tableau de contingence contient les fréquences croisées des modalités des deux variables qualitatives (par exemple, effectifs entre régions et produits préférés). 2. **Test du khi-deux :** - Ce test est utilisé pour vérifier si une relation existe entre les variables. - Si le test est significatif (p \< 0,05), il y a une association probable. Sinon, l'AFC peut encore révéler des tendances faibles. 3. **Calcul des valeurs propres et pourcentage d'inertie :** - Les **valeurs propres** mesurent l'inertie expliquée par chaque axe factoriel. - Le pourcentage d'inertie indique combien de variation est capturée par chaque axe. 4. **Recherche des correspondances :** - Identifier les associations entre : - **Modalités lignes** : catégories d'une variable. - **Modalités colonnes** : catégories de l'autre variable. 5. **Représentation graphique des profils lignes et colonnes :** - Les **profils lignes** (proportions dans chaque ligne) et les **profils colonnes** (proportions dans chaque colonne) sont projetés dans un espace factoriel. 6. **Représentation simultanée et interprétation :** - Les modalités lignes et colonnes sont représentées dans un même plan. - L'interprétation se fait en fonction : - **Des coordonnées** : Plus les coordonnées d\'une modalité sont élevées, plus elle est importante. - **De l'angle** : Les modalités proches en angle ou distance sont associées. 7. **Lecture des résultats du logiciel :** - Les graphiques et les tableaux produits par le logiciel (comme SPSS ou R) permettent une interprétation visuelle et quantitative. **4. Règles et limites :** 1. **Effet de Godman :** - L'AFC ne peut pas être appliquée si une des variables a **moins de 3 modalités**. 2. **Nombre de solutions :** - Le nombre d'axes factoriels est égal au minimum entre : - Nombre de lignes−1\\text{Nombre de lignes} - 1Nombre de lignes−1 - Nombre de colonnes−1\\text{Nombre de colonnes} - 1Nombre de colonnes−1 **5. Interprétation des résultats :** - Les modalités proches sur le graphique sont fortement associées. - Les modalités éloignées du **point de gravité** (centre du graphique) sont bien représentées dans le plan factoriel. - Les modalités avec des **coordonnées élevées** sur les axes principaux expliquent une partie importante de l'inertie et sont donc significatives. AFCM **AFCM : Analyse Factorielle des Correspondances Multiples** **Définition :\ **L'AFCM est une méthode statistique qui permet d'étudier les relations entre **plusieurs variables qualitatives**. Elle aide à segmenter les individus d'une population et à leur attribuer des modalités, tout en expliquant chaque groupe avec les modalités associées. **1. Conditions d\'application** - Applicable lorsque l\'on travaille avec **plusieurs variables qualitatives**. - Les réponses aux questions doivent être **qualitatives**, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent pas être des numéros (par exemple, un code postal ou une note). Si elles sont numériques, on leur attribue des modalités (ex. : âge → jeunes, adultes, seniors). **2. Notations et Concepts** - **P** représente le **nombre total de modalités**. - **S** représente le **nombre de variables qualitatives**. - Le **nombre de solutions** (axes factoriels) est égal à : Nombre de solutions=P−S\\text{Nombre de solutions} = P - SNombre de solutions=P−S **3. But de l'AFCM** - **Segmenter la population étudiée** en groupes distincts selon leurs caractéristiques. - **Attribuer des modalités** aux individus pour caractériser chaque groupe. - Représenter graphiquement les relations entre individus et modalités dans un espace factoriel. **4. Démarche de l'AFCM** 1. **Tableau de données brut :** - Contient les données initiales des réponses aux questions (ex. : réponses à un questionnaire). 2. **Tableau de codage condensé :** - Simplification des données pour regrouper les réponses similaires sous des modalités communes. 3. **Tableau disjonctif complet :** - Chaque modalité devient une colonne. Les individus sont en ligne. - Les réponses sont codées en **1** (présent) ou **0** (absent). - -------------- ----------------- ----------------- ---------------- ----------------- ----------------- **Individu** **Sexe\_Homme** **Sexe\_Femme** **Âge\_Jeune** **Âge\_Adulte** **Âge\_Senior** 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 -------------- ----------------- ----------------- ---------------- ----------------- ----------------- **5. Types de questions possibles** - **Oui/Non :** Codées comme des modalités binaires (ex. : Fumeur : Oui/Non). - **Échelle de Likert :** Convertie en modalités qualitatives (ex. : Satisfaction : Très satisfait/Satisfait/Neutre). **Remarque importante :** - Si une question a **deux possibilités de réponse**, elle est directement une variable (ex. : Sexe : Homme/Femme). - Si une question a **plusieurs possibilités de réponse**, les réponses deviennent des variables (ex. : Couleur préférée → Couleur\_Bleu, Couleur\_Rouge, Couleur\_Vert). **6. Représentation graphique** - **Individus au centre des modalités :\ **Les individus sont projetés dans l'espace factoriel proche des modalités qui les caractérisent. - **Modalités au centre des individus :\ **Les modalités sont situées au milieu des individus qui partagent ces caractéristiques. **Interprétation des résultats :** - Les points proches sur le graphique (individus ou modalités) sont liés ou similaires. - Les individus situés à proximité d'une modalité sont caractérisés par celle-ci. **7. Points clés sur le tableau disjonctif complet** - Les **sommes des colonnes** (effectifs des modalités) sont significatives. - Les **codes utilisés** dans le tableau ne le sont pas directement, ils servent juste à construire les profils lignes et colonnes. **8. Exemple pratique** **Étude : Profil de clients dans un supermarché** - **Variables qualitatives** : - Sexe (Homme/Femme) - Âge (Jeune/Adulte/Senior) - Fréquence d'achat (Rarement/Souvent/Très souvent) - Produit préféré (Alimentaire/Électronique/Vêtements) - **Résultats possibles** : - Les jeunes achètent souvent des vêtements. - Les seniors préfèrent les produits alimentaires. - Les femmes achètent fréquemment des articles alimentaires. **9. Avantages de l'AFCM** 1. Permet d\'analyser **plusieurs variables qualitatives simultanément**. 2. Facilite l\'identification des **groupes-types** dans la population. 3. Donne une représentation visuelle des relations complexes dans les données qualitatives.