Aerodinamica - Niero Luca PDF

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www.poliaerospace.altervista.org Niero Luca AERODINAMICA Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale  www.poliaerospace.altervista.org Politecnico di Torino Appunti di Aerodinamica Niero Luca Corso di Laurea in Ing. Aerospaziale A.A. 2022/2023 1  www.poliaerospace.altervista.org CONTENTS 1 Contents 1 Nozioni introduttive 6 1.1 Fluido continuo. Numero di Knudsen.............. 6 1.2 Fluido in quiete. Legge di Pascal................ 7 1.3 Fluido in moto. Viscosità.................... 9 1.4 Conducibilità termica. Numero di Prandtl........... 11 1.5 Comprimibilità.......................... 12 1.6 Parametri adimensionali..................... 13 1.7 Influenza di Reynolds sui campi di moto............ 14 1.8 Strato limite ed alti valori di Re................. 16 1.9 Regimi subsonici, sonici e supersonici. Cono di Mach..... 17 1.10 Ali e profili alari......................... 19 1.10.1 Ali rastremate....................... 19 1.10.2 Ali svergolate....................... 20 1.10.3 Ala a freccia........................ 21 1.10.4 Diedro........................... 22 1.10.5 Profilo alare........................ 22 1.11 Azioni aerodinamiche sui profili alari.............. 24 1.12 Coefficienti adimensionali di forze e momenti.......... 28 1.13 Coefficiente adimensionale di pressione............. 30 2 Equazioni fondamentali 34 2.1 Descrizione del moto fluido.................... 34 2.2 Traiettorie e linee di flusso.................... 37 2.3 Metodi di rappresentazione dell’evolvere del moto....... 39 2.3.1 Metodo Lagrangiano................... 39 2.3.2 Metodo Euleriano..................... 39 2.4 Sforzi nel fluido.......................... 41 2.4.1 Fluido in quiete...................... 41 2.4.2 Fluido in moto...................... 41 2.5 Relazioni tra sforzi e deformazioni................ 43 2.6 Leggi di conservazione generiche................. 44 2.6.1 Legge di conservazione scalare.............. 44 2.6.2 Legge di conservazione vettoriale............ 44 2.7 Equazioni della meccanica dei fluidi............... 46 2.7.1 Equazione di continuità................. 46 2.7.2 Equazione di conservazione della quantità di moto... 47  www.poliaerospace.altervista.org CONTENTS 2 2.7.3 Equazione di conservazione dell’energia totale..... 48 2.7.4 Equazione di conservazione dell’energia cinetica.... 49 2.7.5 Equazione di conservazione dell’energia interna.... 50 2.8 Equazioni di Navier-Stokes.................... 51 2.9 Equazioni di Eulero........................ 52 2.9.1 Equazione dell’entalpia totale.............. 52 2.10 Equazione dell’entropia...................... 54 2.11 Equazione di Crocco....................... 56 2.11.1 Flusso stazionario, incomprimibile ed inviscido..... 57 2.12 Equazione di Bernoulli...................... 58 2.13 Equazione della vorticità..................... 60 3 Fluidi ideali incomprimibili 65 3.1 Circuitazione. Teoremi di Helmholtz e Kelvin......... 65 3.1.1 Teorema di Helmholtz.................. 65 3.1.2 Teorema di Kelvin.................... 66 3.2 Moti bidimensionali. Funzioni potenziali............ 69 3.2.1 Campo bidimensionale.................. 70 3.2.2 Proprietà di Φ....................... 71 3.2.3 Proprietà di ψ....................... 72 3.3 Relazioni tra velocità e funzioni................. 73 3.3.1 Coordinate cartesiane................... 73 3.3.2 Coordinate polari..................... 74 3.4 Campi semplici piani....................... 75 3.4.1 Corrente uniforme.................... 75 3.4.2 Sorgente e pozzo..................... 76 3.4.3 Vortice irrotazionale................... 77 3.4.4 Vortice reale........................ 79 3.5 Campi composti piani...................... 80 3.5.1 Doppietta......................... 80 3.5.2 Doppietta allineata ad x................. 81 3.5.3 Cilindro uniforme..................... 83 3.5.4 Cilindro rotante...................... 85 3.6 Teorema di Kutta-Joukowski................... 88 3.7 Condizione di Kutta....................... 89 3.8 Problema del profilo alare portante............... 90  www.poliaerospace.altervista.org CONTENTS 3 4 Potenziale complesso e trasformazioni conformi 94 4.1 Richiami sui numeri complessi.................. 94 4.2 Funzione di variabile complessa................. 95 4.3 Potenziale complesso della velocità. Velocità complessa.... 98 4.3.1 Potenziale complesso della velocità........... 99 4.3.2 Velocità complessa.................... 99 4.4 Campi semplici e composti piani................. 101 4.4.1 Corrente uniforme.................... 101 4.4.2 Sorgente e pozzo..................... 101 4.4.3 Vortice irrotazionale................... 102 4.4.4 Doppietta......................... 102 4.4.5 Cilindro rotante...................... 103 4.5 Cenni sulle trasformazioni conformi............... 104 4.6 Trasformazione di Kutta-Joukowski............... 106 4.6.1 Studio della lamina piana................ 111 4.6.2 Studio dell’arco di circonferenza............. 112 4.6.3 Studio del profilo alare.................. 112 5 Teoria dei profili sottili 115 5.1 Scomposizione del problema................... 115 5.2 Generazione del profilo...................... 117 5.2.1 Distribuzione singolarità sorgente/pozzo........ 117 5.2.2 Distribuzione singolarità vortice............. 118 5.3 Equazione di tangenza. Coefficiente di pressione........ 120 5.4 Scelta della distribuzione di singolarità............. 122 5.4.1 Problema dell’incidenza................. 122 5.4.2 Problema dell’inarcamento................ 122 5.4.3 Problema dello spessore................. 123 5.5 Teoria di Glauert......................... 124 5.6 Coefficienti di pressione del profilo alare: spessore....... 125 5.7 Coefficienti di portanza del profilo alare............. 127 5.8 Coefficienti di momento del profilo alare............ 132 5.9 Coefficienti di pressione del profilo alare: incidenza ed inarca- mento............................... 133 5.10 Metodo dei pannelli di Hess-Smith............... 135  www.poliaerospace.altervista.org CONTENTS 4 6 Ali ad allungamento finito 141 6.1 Dinamica della vorticità. Teoremi di Helmholtz........ 141 6.2 Legge di Biot-Savart....................... 144 6.2.1 Anello vorticoso circolare................. 144 6.2.2 Filamento vorticoso rettilineo.............. 145 6.3 Superfici vorticose. Teorema di Kutta-Joukowski locale.... 147 6.4 Teoria vorticosa.......................... 149 6.4.1 Coefficiente di pressione................. 149 6.4.2 Equazione di tangenza.................. 150 6.5 Simulazione dell’ala........................ 151 6.6 Teoria della linea portante di Prandtl.............. 157 6.7 Soluzione con distribuzione di portanza ellittica........ 161 6.7.1 Legge delle corde ellittica, svergolamento nullo..... 163 6.8 Soluzione con distribuzione di portanza generica........ 164 7 Fluidi reali incomprimibili 171 7.1 Condizione di incomprimibilità................. 171 7.2 Equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili...... 174 7.3 Fluido incomprimibile a proprietà costanti........... 175 7.3.1 Approssimazione di Boussinesq............. 175 7.3.2 Notazioni......................... 175 7.4 Proprietà delle equazioni di Navier-Stokes per fluidi a pro- prietà costanti........................... 177 7.5 Soluzioni esatte alle equazioni di Navier-Stokes con flussi par- alleli................................ 178 7.6 Flusso di Couette......................... 179 7.6.1 Flusso di Poiseuille piano................. 180 7.6.2 Flusso di Couette semplice................ 181 7.7 Flusso di Hagen-Poiseuille.................... 182 7.8 Forma adimensionale delle equazioni di Navier-Stokes..... 184 7.9 Soluzioni approssimate...................... 186 7.9.1 Flussi ad alto Re..................... 186 7.9.2 Flussi a basso Re..................... 186 8 Teoria dello strato limite 191 8.1 Derivazione di Prandtl...................... 191 8.2 Proprietà delle equazioni di strato limite............ 193 8.3 Grandezze integrali dello strato limite. Deficit dei fluidi viscosi 195  www.poliaerospace.altervista.org CONTENTS 5 8.4 Strato limite su lamina piana senza gradienti di pressione... 196 8.4.1 Valutazione dell’attrito.................. 198 8.4.2 Spessori dello strato limite................ 199 8.4.3 Presenza di gradienti di pressione............ 199 8.5 Equazione integrale dello strato limite.............. 200 8.5.1 Soluzione approssimata della lamina piana....... 201 8.6 Metodi di Von Karman-Pohlhausen e Thwaites......... 202 9 Correnti turbolente 208 9.1 Decomposizione di Reynolds................... 208 9.2 RANS: Mediazione alla Reynolds................ 209 9.3 Flusso turbolento in un canale piano.............. 210 9.3.1 Regione interna. Legge di parete per la velocità.... 211 9.3.2 Regione esterna...................... 211 9.3.3 Coefficiente di attrito................... 212 9.4 Flusso turbolento in un canale a sezione circolare....... 213 9.5 Strato limite turbolento..................... 214 9.5.1 Regione interna...................... 214 9.5.2 Regione esterna...................... 215 9.5.3 Coefficiente di attrito e grandezze integrali....... 215 9.5.4 Metodo di Head...................... 216  www.poliaerospace.altervista.org CONTENTS 6  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 7 1 Nozioni introduttive La fluidodinamica è la branca della meccanica classica che si occupa dello studio dei moti di fluidi continui. L’aerodinamica si occupa invece di stu- diare i moti fluidi aeriformi attorno ad un corpo, in modo da poter valutare forze e coppie in gioco. 1.1 Fluido continuo. Numero di Knudsen In natura la materia si presenta in tre stati: solido, liquido e gassoso. Rispet- tivamente i tre stati hanno legami intermolecolari che permettono di man- tenere volume e forma, solo volume o nessuno dei due. Si definisce fluido un materiale che può fluire/deformarsi illimitatamente sotto l’azione di forze esterne. Generalmente si tratta di liquidi o gas e si assume che esso sia con- tinuo. Si definisce particella fluida un volume elementare (o quasi-puntiforme) di fluido, sufficientemente grande da avere valori fisici medi rappresentativi di tale sostanza ma sufficientemente piccolo da poter descrivere al meglio il moto fluido. Figure 1: Particella fluida Per valutare la giusta scala della particella fluida si utilizza un parametro adimensionale detto numero di Knudsen ` Kn = L con ` libero cammino medio tra le molecole del fluido e L scala caratteristica del fenomeno. Condizione necessaria per cui valga l’ipotesi del continuo è che Kn c. Il disturbo è ridotto ad una zona detta cono di Mach individuata da un angolo di semiapertura µ chiamato angolo di Mach. É possibile notare dalla figura che vale la relazione geometrica c∆t 1 sin µ = = V δt M da cui si trova facilmente 1 µ = arcsin M Al crescere del numero di Mach si ha dunque una diminuzione dell’angolo di semiapertura del cono di disturbo. Nel caso di regime sonico è facile verificare che µ = 90.  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 20 1.10 Ali e profili alari Al fine di valutare le forze su un’ala è necessaria conoscerne le parti e saperle distinguere. Un’ala è un corpo definito generalmente da una apertura alare b, una superficie in pianta S e da un allungamento alare (o wing aspect ratio) λ = b2 /S. L’ala è composta da sezioni trasversali dette profili alari. I profili agli estremi sono detti estremità alari ed il profilo centrale è detto radice. Il profilo è descritto dalla corda c. Figure 12: Schema d’ala Figure 13: Profilo alare 1.10.1 Ali rastremate Un’ala si dice rastremata quando i suoi profili alari dalla radice all’estremità subiscono una riduzione in scala (mantenendo comunque il profilo normato).  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 21 In pianta la sezione sarà quindi visibile come due trapezi di basi minori e maggiori rispettivamente la corda del profilo estremo e la corda della radice. L’ala non rastremata appare dunque come un rettangolo in pianta. Figure 14: Ala rastremata Figure 15: Ala non rastremata 1.10.2 Ali svergolate Lo svergolamento è una modifica dell’ala che permette di ottenere vantaggi aerodinamici importanti. Lo svergolamento può essere geometrico, ovvero  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 22 con il mantenimento del profilo lungo y ma con la sua rotazione e la con- seguente variazione della corda, o aerodinamico, con il mantenimento della corda ma la variazione dei profili alari lungo y. La soluzione più comune è il mix di entrambe. 1.10.3 Ala a freccia Un’ala a freccia è una particolare architettura di ala identificata da un angolo di freccia Λ. Se la sezione non varia l’angolo allora è possibile misurarlo in qualsiasi posizione, altrimenti viene utilizzato come riferimento la linea passante per i fuochi di tutti i profili alari successivi. Figure 16: Ala a freccia costante Figure 17: Ala a freccia non costante Il fuoco del profilo alare è individuabile sulla linea media del profilo nella coordinata x0 tale che dM0 /dα = 0, dove α è l’angolo di incidenza del  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 23 vento V∞ rispetto ad x e M0 è il momento aerodinamico a cui è soggetto il profilo. In regime subsonico è dimostrabile che tale distanza vale x0 = 0.25c. Figure 18: Fuoco del profilo alare 1.10.4 Diedro La vista posteriore dell’ala permette di identificare un altro angolo detto angolo di diedro δ. Figure 19: Angolo di diedro, vista posteriore 1.10.5 Profilo alare Il profilo alare è descritto da due punti estremi detti rispettivamente bordo d’attacco e bordo di fuga. Le curve congiungenti questi punti sono il dorso y + (x) ed il ventre y − (x). La linea media (o linea di Camber) ym (x) del profilo è descritta dalla media aritmetica di dorso e ventre y + (x) + y − (x) ym (x) = 2  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 24 e dista da tali curve una quantità ys (x) definita come y + (x) − y − (x) ys (x) = 2 La distanza massima della linea media dalla linea retta congiungente attacco e fuga è detta inarcamento f e se nulla definisce un profilo alare sim- metrico tale che y − (x) = −y + (x). La distanza massima tra dorso e ventre definisce lo spessore massimo, il quale definisce a sua volta uno spessore relativo t/c. Figure 20: Profilo alare ingrandito con dettagli  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 25 1.11 Azioni aerodinamiche sui profili alari Si vogliono ora studiare le forze ed i momenti agenti su un profilo alare ben avviato aerodinamicamente di apertura unitaria e di corda c soggetto a vento V∞ con angolo di incidenza α. Il profilo ha una superficie totale σ. Figure 21: Profilo in esame Si lavora con ipotesi di fluido inviscido, dunque τ = 0. Si definisce la pres- sione assoluta come p, ma per utilità pratica si preferisce utilizzare la pres- sione relativa p − p∞ (con p∞ pressione della corrente a monte). Prendendo una parte infinitesima del profilo è possibile valutare le forze dovute alla pressione (sempre normale al profilo) diversificandole in base a dorso e ventre. Figure 22: Forze infinitesime agenti su un profilo  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 26 Le pressioni relative agenti su dorso e ventre sono rispettivamente p+ − p∞ e p− − p∞. Tali pressioni generano sulle superfici ds+ e ds− delle forze infinitesime dF + e dF − (preso n versore uscente dal profilo) pari a dF+ = −(p+ − p∞ ) ds+ n dF− = −(p− − p∞ ) ds− n Sulla parete dorsale è possibile identificare un angolo β con cui riscrivere in coordinate cartesiane la forza agente. Figure 23: Forze sulla parete dorsale Essendo dx = ds+ cos β è possibile scrivere le componenti come dF+ + + x = (p − p∞ ) sin β ds i dF+ + y = −(p − p∞ ) dx j Sulla parete ventrale è possibile identificare l’angolo β 0 per cui dx = ds− cos β 0. Figure 24: Forze sulla parete ventrale Si ha quindi dF− − 0 − x = −(p − p∞ ) sin β ds i  www.poliaerospace.altervista.org 1 NOZIONI INTRODUTTIVE 27 dF− − y = (p − p∞ ) dx j Per un profilo ben avviato aerodinamicamente gli angoli β, β 0 sono molto piccoli, ciò permette di scrivere che dFx± 1 si ha che β1 , β2 → 0, quindi δΓ δwb0 = − π` da cui integrando si ottiene la perturbazione dei vortici aderenti Γ(y) wb0 = − π`(y) Con ipotesi e ragionamenti analoghi si può trovare che la velocità indotta vale γx (y 0 )dy 0 dwi0 = − 4π(y 0 − y) da cui integrando b/2 γx (y 0 )dy 0 Z 1 wi0 (y) =− 4π −b/2 y0 − y  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 160 Ricordando la relazione γx (y) = −dΓ(y)/dy si trova quindi la velocità in- dotta dai vortici di scia (o downwash) dΓ(y 0 ) Z b/2 1 dy 0 wi0 (y) = 0 dy 0 4π −b/2 y −y Utilizzando le due perturbazioni, si ricava l’equazione integro-differenziale di Prandtl per una superficie planare dΓ(y 0 ) Z b/2 Γ(y) 1 dy 0 − + 0 dy 0 = −αV∞ π`(y) 4π −b/2 y −y Il downwash modifica il comportamento dinamico dell’ala. Presa in esame una linea media di un profilo investita da corrente V∞ , è possibile sommare a tale corrente la componente di downwash wi0 ottenendo la velocità effettiva Vef f che investe il profilo con incidenza effettiva α − αi (detto αi l’angolo tra Vef f e V∞ ). Figure 94: Incidenza effettiva Tenere in considerazione gli effetti di scia permette di notare la formazione di una resistenza indotta dDi. L’incidenza indotta αi è valutabile come wi0 w0 αi = arctan − ≈− i V∞ V∞ Per il teorema di Kutta-Joukowski e per le relazioni geometriche in figura dF = ρVef f Γ(y)dy  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 161 dL = ρV∞ Γ(y)dy = dF cos αi ≈ dF dDi = dF sin αi ≈ dLαi Dunque integrando si ricavano portanza e resistenza indotta di un profilo soggetto a downwash Z b/2 L = ρV∞ Γ(y) dy −b/2 Z b/2 Di = ρV∞ Γ(y)αi (y) dy −b/2 Le seguenti trattazioni sono atte a ricavare un’opportuna distribuzione di portanza Γ(y) ed il valore di αi. Si è scritto che  dL = ρV∞ Γ(y)dy Kutta-Joukowski dL = 1 ρV∞2 Cl `dy Definizione coefficiente portanza 2 Si è inoltre visto che Cl = 2π(α − αi − α0 ), dove 2π = Cl0. Nella realtà non si ha questo valore ma un numero inferiore. Pertanto introducendo il coefficiente correttivo k ≤ 1 si ha Cl = 2πk(α − αi − α0 ) Definendo inoltre l’incidenza aerodinamica αa come αa = α − α0 ed eguagliando le relazioni della portanza si arriva a scrivere Γ(y) = k(y)πV∞ `(y)[αa (y) − αi (y)] Dai risultati precedenti su wi0 e αi si ottiene l’equazione integro-differenziale di Prandtl per ali di allungamento finito dΓ(y 0 )   Z b/2  1 dy 0 0  αa (y) − 4πV∞ Γ(y) = k(y)πV∞ `(y)  y − y0 dy  −b/2  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 162 6.7 Soluzione con distribuzione di portanza ellittica L’equazione integro-differenziale di Prandtl è risolvibile con alcune accortezze. Innanzitutto occorre precisare che il termine αa (y) = α(y) − α0 (y) può dipendere da y in due modi. Se è presente svergolamento geometrico (profilo uguale con corde ruotate) allora αa (y) = α(y) − α0 Se è presente svergolamento aerodinamico (uguale incidenza ma profili di- versi) αa (y) = α − α0 (y) Ora è possibile proseguire. Esiste una soluzione all’equazione integro-differenziale di Prandtl che permette di semplificare parecchio la situazione. Utilizzando una distribuzione ellittica di portanza del tipo Γ2 (y) y2 + =1 Γ20 (b/2)2 si ottiene s y2 Γ(y) = Γ0 1− (b/2)2 Figure 95: Distribuzione ellittica Effettuando un cambio di coordinate in θ, y = b/2 cos θ, allora Γ(θ) = Γ0 sin θ  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 163 dΓ = Γ0 cos θdθ L’incidenza indotta vale Z b/2 dΓ(y 0 ) Γ0 2 0 cos θ0 Z 1 αi = − = − dθ0 = 4πV∞ −b/2 y 0 − y 4πV∞ b π cos θ0 − cos θ π cos θ0 Z Γ0 Γ0 = 0 dθ0 = 2πV∞ b cos θ − cos θ 2V∞ b |0 {z } G1 =π dunque risulta costante lungo l’apertura. Riprendendo l’espressione della distribuzione Γ(y) = k(y)πV∞ `(y)[αa (y) − αi ] e sapendo che il suo integrale in y equivale all’area sottesa dall’ellisse pari a π/4Γ0 b, allora la portanza per un’ala con distribuzione ellittica di portanza vale Z b/2 π L = ρV∞ Γ(y) dy = ρV∞ Γ0 b −b/2 4 Il coefficiente di portanza dell’ala invece si valuta come L CL = = παi λ 1 2 ρV∞ S 2 da cui CL αi = πλ Il coefficiente CL è noto in base al carico di manovra, dunque si ha αi da cui deriva Γ0. Si può quindi calcolare la portanza. Inoltre la resistenza indotta per un’ala con distribuzione ellittica di portanza vale Z b/2 Di = ρV∞ Γ(y)αi dy = Lαi −b/2 Il coefficiente di resistenza indotta analogamente a prima Di CL2 CDi = = αi CL = 1 2 πλ ρV S 2 ∞  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 164 La distribuzione ellittica di portanza permette di ottenere i migliori CDi rispetto a qualsiasi altra distribuzione. Nonostante ciò, l’aumento del CL comporta una crescita quadratica del CDi. Ci si chiede ora come ottenere fisicamente questa distribuzione ellittica di portanza. Esistono due metodi principali: il primo consiste nel fissare una legge delle corde `(y) di tipo ellittico senza svergolamento, il secondo invece permette di utilizzare una legge delle corde generica `(y) ma con svergola- mento. Nel primo metodo si può constatare che la dipendenza da y di αa non c’è, pertanto la distribuzione ellittica è presente per ogni incidenza. Nel sec- ondo caso invece si ha ancora dipendenza da y, dunque si accetta nella realtà di avere un aumento di resistenza per poter usare la legge ` per ogni incidenza (altrimenti la distribuzione sarebbe ellittica per una sola incidenza). 6.7.1 Legge delle corde ellittica, svergolamento nullo Nel caso si scegliesse una legge delle corde `(y) di tipo ellittico senza svergo- lamento allora si può scrivere Γ(y) = kπV∞ `(y)(αa − αi ) Integrando per la portanza Z b/2 Z b/2 L = ρV∞ Γ(y) dy = ρV∞ kπV∞ (α − αi ) `(y) dy = −b/2 −b/2   CL = ρkπV∞2 S αa − πλ Per definizione di coefficiente di portanza   L CL CL = = 2πk αa − 1 2 πλ ρV S 2 ∞ da cui ne deriva la trattazione del coefficiente di portanza per un’ala senza svergolamento ed a distribuzione ellittica di portanza 2πkαa 0 Cl0 CL = = CL (α − α0 ) = (α − α0 ) λ → ∞ ⇒ CL0 → Cl0 2k C0 1+ 1+ l λ πλ  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 165 6.8 Soluzione con distribuzione di portanza generica Si vuole ora considerare una distribuzione di portanza generica. Tale si scrive come ∞ X Γ(θ) = 2bV∞ An sin(nθ) n=1 A conferma di quanto fatto, prendendo n = 1 si ha la distribuzione ellittica con A1 = α1. Se la distribuzione di portanza è simmetrica, allora tutti gli n pari si annul- lano e si hanno risultati solo per n = 1, 3, 5,.... Riprendendo la relazione b/2 dΓ(y 0 ) Z 1 αi (y) = − 4πV∞ −b/2 y0 − y e sapendo che ∞ X dΓ = 2bV∞ nAn cos(nθ)dθ n=1 dunque cambiando coordinate ∞ X 2bV∞ nAn cos(nθ0 ) ∞ 0 Z π cos(nθ0 ) Z 1 2 n=1 1X 0 αi (θ) = − dθ = nAn dθ0 4πV∞ b π cos θ0 − cos θ π n=1 cosθ 0 − cos θ |0 {z } Gn da cui ∞ X sin(nθ) αi (θ) = nAn n=1 sin θ La portanza si calcola integrando la distribuzione Z π ∞ X b L = ρV∞ 2bV∞ An sin(nθ) sin θ dθ 0 n=1 2 da cui risolvendo con Glauert specializzato a n = 1 π L = ρV∞2 b2 A1 2  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 166 Volendo inoltre calcolare la resistenza indotta dall’ala si ha Z b/2 Di = ρV∞ Γ(y)αi (y) dy −b/2 si ottiene ∞ π 2 2X 2 Di = ρV∞ b nAn 2 n=1 Il coefficiente di portanza vale L CL = = πλA1 1 2 ρV∞ S 2 Si nota quindi che solo la componente ellittica contribuisce alla portanza (es- sendo A1 il coefficiente per distribuzione ellittica). Il coefficiente di resistenza invece ∞ Di X CDi = = πλ nA2n 1 2 ρV S n=1 2 ∞ Il coefficiente di resistenza indotta dipende da tutti i coefficienti della som- matoria. Si trova, moltiplicando e dividendo per πλA21 , che ∞ C 2 X A2n CDi = L n πλ n=1 A21 Sviluppando e raccogliendo si trova  2 CL CDi = (1 + δ1 ) = (CDi )ellitt (1 + δ1 ) πλ dove δ1 risulta un valore sempre positivo. Si dimostra quindi che l’ala con distribuzione di portanza ellittica è tale da avere sempre il minor coefficiente di resistenza. Si definisce la polare dell’ala con distribuzione generica di portanza come ∞ ! CL2 X A2n CDi = 1+ n 2 πλ n=2 A1  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 167 La polare di un’ala con distribuzione generica di portanza non è parabolica come quella di un’ala con distribuzione di portanza ellittica. Si usa talvolta questo tipo di approssimazione CL2 CDi = eπλ dove e è detto fattore di efficienza o fattore di Ostwald. Nel caso e = 1 si ha il caso di distribuzione ellittica di portanza, con minimo coefficiente di resistenza indotta.  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 168 Sommario Al fine di studiare le ali di allungamento finito, è necessario conoscere la dinamica della vorticità. Essendo Γ circuitazione la misura del flusso di vor- ticità attraverso una superficie, per ogni linea vorticosa (o tubo vorticoso) si ha che Γ descrive tale linea (o tubo). Per il primo teorema di Helmholtz, la particella non può variare di Γ lungo una linea di corrente. Scelta una linea vorticosa vale il medesimo risultato, dunque le linee vorticose devono necessariamente richiudersi su se stesse, estendersi all’infinito o terminare in singolarità. Il secondo teorema di Helmholtz enuncia invece che, essendo per il primo la variazione Lagrangiana del flusso di vorticità nulla, una su- perficie vorticosa che si deforma spostandosi nel tempo allora rimane una superficie vorticosa. Estendendo ciò al tubo vorticoso, si ottiene il terzo teorema di Helmholtz: un tubo vorticoso che si deforma spostandosi nel tempo rimane vorticoso. Un filo vorticoso induce nello spazio una velocità dV definita dalla legge di Biot-Savart, di cui si conoscono modulo, direzione e verso. Preso un fila- mento vorticoso rettilineo ed infinito, la velocità indotta da tale è calcolabile a seconda di voler considerare solo un tratto di esso (commettendo un errore minimo) o l’infinita estensione. Nel primo caso vi è una dipendenza dagli angoli minimi dei raggi vettori nei punti considerati, mentre nel secondo si ottiene un’espressione ben nota. Legge di Biot-Savart Γ d` ∧ R dV = 4π R3 Γ Γ Filamento infinito VP (AB) = (cos α + cos β) VP (∞) = 4πr 2πr Presa una superficie vorticosa con versore N uscente e versori h, n rispet- tivamente paralleli e perpendicolari alle distribuzioni γ(`) della superficie, è possibile dimostrare il teorema di Kutta-Joukowski locale, il quale esprime la relazione tra le pressioni relative portanti e le distribuzioni di vortici. Teorema di Kutta-Joukowski locale (p− − p+ )N = ρVm ∧ γ(`)h  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 169 Volendo cominciare a costruire la teoria vorticosa dell’ala, si prenda un’ala con pianta nel piano x-y e profili nel piano x-z. Per tale ala si dimostra, me- diante le ipotesi di piccole perturbazioni, l’equazione di tangenza dell’ala ed il teorema di Bernoulli lineare per l’ala. Teoria vorticosa dell’ala dz ± w0 ± =α+ dx V∞ u0± c± p = −2 V∞ La simulazione dell’ala mediante superfici vorticose avviene considerando la dinamica della vorticità ed i risultati ottenuti finora. É possibile simulare l’ala ad allungamento finito mediante delle superfici aderenti e libere parallele alla pianta dell’ala. Cosı̀ facendo si genera una circuitazione sull’ala, calco- labile dalle distribuzioni scelte, che genera portanza. Le superfici libere al di fuori dell’ala rappresentano la scia ed il vortice d’avvio in allontanamento. La portanza totale è calcolabile come integrale delle portanze generate dalle circuitazioni per ogni profilo sulla lunghezza alare secondo il teorema di Kutta-Joukowski per l’ala finita. La circuitazione per ogni profilo si cal- cola come integrale delle distribuzioni vorticose dal bordo di attacco al bordo di fuga. Simulazione dell’ala R b/2 R x2 (y) L = ρV∞ −b/2 Γ(y) dy Γ(y) = x1 (y) γy (x, y) dx Uno dei metodi per determinare la vorticità da inserire nella simulazione è la teoria della linea portante di Prandtl. La teoria è valida solo per certe ali che soddisfano due ipotesi fondamentali. In particolare si considera, come superficie aderente, una linea a vorticità concentrata Γ passante nel fuoco di ogni profilo. Presa una superficie planare (dz/dx = 0) la cui velocità w0 perturbativa è composta da perturbazioni wb0 dovute ai vortici aderenti e perturbazioni dovute ai vortici di scia wi0 (downwash), si può riformulare l’equazione di tangenza. Si ricava da Biot-Savart la perturbazione dei vortici aderenti in funzione della sola Γ (incognita finale del problema). In modo  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 170 analogo si trovano le perturbazioni dei vortici di scia sempre in funzione di Γ. Ponendo le due perturbazioni nell’equazione di tangenza, si ricava l’equazione integro-differenziale di Prandtl per superfici planari. Tenendo conto degli effetti del downwash di resistenza indotta, si ottiene l’equazione integro-differenziale di Prandtl per ali di allungamento finito, la quale descrive la Γ da scegliere in funzione di diversi fattori (come αi incidenza indotta, αa incidenza aerodinamica e k coefficiente cor- rettivo del C` ). Teoria della linea portante di Prandtl λ > 10 Λ < 5◦ dz w0 =0=α+ ⇒ wb0 + wi0 = −αV∞ dx V∞ Γ(y) 1 R b/2 dΓ(y 0 )/dy 0 0 wb0 (y) = − wi0 (y) = dy π`(y) 4π −b/2 y 0 − y Γ(y) 1 R b/2 dΓ(y 0 )/dy 0 0 − + dy = −αV∞ π`(y) 4π −b/2 y 0 − y wi0 αi ≈ − V∞ Γ(y) = k(y)πV∞ `(y)[αa (y) − αi (y)] = 1 R b/2 dΓ(y 0 )/dy 0 0   = k(y)πV∞ `(y) αa (y) − dy 4πV∞ −b/2 y − y 0 L’equazione di Prandtl è difficilmente risolvibile. Si può utilizzare però una distribuzione ellittica di vorticità al fine di trovare soluzioni, dis- tribuzione che permette di ricavare facilmente la portanza e la resistenza in- dotta. Ne conseguono poi facilmente i coefficienti aerodinamici, i quali sono i migliori ottenibili avendo scelto la distribuzione ellittica. La distribuzione generica di vorticità ha soluzione mediante Glauert ma presenta coeffici-  www.poliaerospace.altervista.org 6 ALI AD ALLUNGAMENTO FINITO 171 enti peggiori della configurazione ellittica. Distribuzioni ellittiche e generiche di portanza Γ2 (y) y2 Distribuzione ellittica + =1 Γ20 (b/2)2 Γ0 CL π αi = = L= ρV∞ Γ0 b CL = παi λ 2V∞ b πλ 4 CL2 Di = Lαi CDi = πλ P∞ Distribuzione generica Γ(θ) = 2bV∞ n=1 An sin(nθ) P∞ sin(nθ) π αi (θ) = n=1 nAn L = ρV∞2 b2 A1 CL = πλA1 sin θ 2 π 2 2 P∞ 2 P∞ 2 CL2 Di = ρV b n=1 nAn CDi = λπ n=1 nAn ≈ 2 ∞ eπλ  www.poliaerospace.altervista.org 7 FLUIDI REALI INCOMPRIMIBILI 172 7 Fluidi reali incomprimibili Finora si sono studiati fluidi inviscidi ed incomprimibili. Si fa decadere l’ipotesi di fluido non viscoso iniziando lo studio dei fluidi viscosi incom- primibili. 7.1 Condizione di incomprimibilità Le condizioni per definire un fluido incompressibile si possono applicare in vari modi. La prima vale per ammettere che una particella fluida non abbia dilatazione volumetrica, quindi ∇·V =0 Dall’equazione di continuità ne deriva che Dρ Dρ = −ρ(∇ · V) ⇒ =0 Dt Dt La particella quindi, comunque si sposti, non varia la sua densità nel tempo. Esistono fluidi che possono variare la loro densità nello spazio (∇ρ 6= 0), per esempio per via di una diversa composizione chimica, ma in questo corso si vedranno sempre fluidi omogenei (∇ρ = 0). Pertanto varrà sempre, dall’equazione di continuità, che dρ/dt = 0. La densità, essendo una variabile termodinamica, può essere espressa in fun- zione di due variabili termodinamiche. Scegliendo ρ = ρ(p, s), si vuole ora studiare l’entità della variazione di densità e dunque le condizioni per cui si può definire immutevole (dunque fluido incompressibile).     dρ dρ ∆ρ = ∆p + ∆s dp s=cost ds p=cost Avendo definito la velocità del suono c come   2 dp c = dρ s=cost si può valutare il primo termine delle variazioni di ρ. Prendendo inoltre p s = cv log + cost ργ s=c (ln - ln ) + cost  www.poliaerospace.altervista.org 7 FLUIDI REALI INCOMPRIMIBILI 173 allora si può valutare il secondo termine   ds cv γ cp =− =− quindi si ottiene dρ p=cost ρ ρ Per le variazioni di pressione finite si fa ricorso invece all’analisi dimensionale dell’equazione della quantità di moto. Dunque si trova   2 V ∆p ≈ max ρV , µ L Prendendo la definizione di entropia si trova infine ∆T ∆s = cp T Si distinguono quindi due casi: Re