Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ PDF

Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Α.2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 289 m2 να υπολογίσετε την πλευρά του x. Μήπως είναι x=10; Τότε όμως x² = …… Μήπως είναι x = 20; Τότε όμως x²...

Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Α.2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 289 m2 να υπολογίσετε την πλευρά του x. Μήπως είναι x=10; Τότε όμως x² = …… Μήπως είναι x = 20; Τότε όμως x² = Μήπως είναι x = 15; Τότε όμως x² = Μήπως είναι x = 17; Τότε x² = Τον αριθμό που αναζητάμε παραπάνω τον ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα του 289 και τον συμβολίζουμε με √𝟐𝟖𝟗. Βρήκαμε λοιπόν ότι √289 = ⋯ διότι ………………………………………….. Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α, λέγεται ο μη αρνητικός αριθμός x ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α συμβολίζεται με √𝛼. Άρα √𝛼 = 𝑥 αφού 𝑥 2 = 𝛼 με 𝑥 ≥ 0 και 𝛼 ≥ 0 Ο αριθμός α που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο √ της τετραγωνικής ρίζας καλείται υπόρριζη ποσότητα ή πιο απλά υπόρριζο. Στον ορισμό υπάρχουν δύο απαιτήσεις: 1) το υπόρριζο πρέπει να είναι μη αρνητική ποσότητα δηλαδή 𝛼 ≥ 0. 2) το αποτέλεσμα της ρίζας πρέπει να είναι μη αρνητική ποσότητα δηλαδή √𝛼 ≥ 0. ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2 Είναι δηλαδή √0 = 0 αφού 02 = 0 √64 = … αφού ……………. √1 = 1 αφού 12 = 1 √81 = … αφού ……………. √4 = 2 αφού 22 = 4 √100 = … αφού ……………. √9 = … αφού ……………. √121 = … αφού ……………. √16 = … αφού …………….. √144 = … αφού ……………. √25 = … αφού ……………. √169 = … αφού ……………. √36 = … αφού …………….. √196 = … αφού ……………. √49 = … αφού ……………. √225 = … αφού ……………. Παράδειγμα 1 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: √9 ⋅ √16 = √9 ⋅ 16 = Άρα ισχύει √𝛼 ⋅ 𝛽 = √𝛼 ⋅ √𝛽 όπου 𝛼 ≥ 0, 𝛽 ≥ 0 Παράδειγμα 2 Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα να συμπληρώσετε τις ισότητες: √121 ⋅ 9 = √25 ⋅ 81 = √2250000 = √14400 = ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 Παράδειγμα 3 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: √9 = √4 9 √ = 4 𝛼 √𝛼 Άρα ισχύει √𝛽 = √𝛽 όπου 𝛼 ≥ 0, 𝛽 > 0 Παράδειγμα 4 Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα να συμπληρώσετε τις ισότητες: 1 121 √ = √ = 81 225 √0,09 = √0,0169 = Παράδειγμα 5 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: √9 + √16 = √9 + 16 = Άρα ισχύει η τετραγωνική ρίζα √𝛼 + 𝛽 δεν ισούται με √𝛼 + √𝛽 όπου 𝛼 ≥ 0, 𝛽 ≥ 0 Παράδειγμα 6 Να συμπληρώσετε τις ισότητες √7 + √4 = √25 − √81 = ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 √70 − √31 + √25 = √5 − √10 + 2√9 = √17 + 4√3 + √1 = Παράδειγμα 7 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: A. √42 = ………………… √32 = ………………… √52 =………………… √72 =………………… B. √(−4)2 = ………………… √(−3)2 = ………………… √(−5)2 =………………… √(−7)2 =………………… Άρα ισχύει √𝑥 2 = |𝑥| για κάθε πραγματικό αριθμό x Παράδειγμα 8 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 2 2 √9 = √5 = 2 Άρα ισχύει (√𝑥) = 𝑥 για κάθε μη αρνητικό αριθμό x ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Παράδειγμα 9 Να βρεθούν τα παρακάτω αν ορίζονται: √172 = 2 √(− 8) = 5 2 √−3 = −√(−5)2 = √−52 = √121 − √52 + √(−13)2 = Παράδειγμα 10 Να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις: √25 = 5 √(−5)2 = −5 2 (√4) = 4 √16 = −4 √(−3)2 = 3 √−81 = −9 −√(−4)2 = 4 Παράδειγμα 11 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις που ακολουθούν: 𝛢 = √(−2)4 + √√(−3)4 − √24 − √34 + √(−1)2012 = ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6 25 𝛣 = (−3)−1 + √6 ⋅ √(−6)2 − √ = 9 Γ =√13 + √7 + √4 − √21 − √22 + √9 = Δ = √√16 + √144 − √√81 = Ε = √24 ⋅ √4 ⋅ √27 ⋅ √9 = ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 25 2 Ζ = √49 + √(−6)2 − 8√ 4 + (√10) = Παράδειγμα 12 Να λυθούν οι εξισώσεις: 𝑥 2 = 16 𝑥2 = 0 𝑥 2 = −16  Αν 𝑥 2 = 𝛼 και 𝛼 > 0 τότε 𝑥 = √𝛼 ή 𝑥 = −√𝛼  Αν 𝑥 2 = 0 τότε 𝑥 = 0  Αν 𝑥 2 = 𝛼 και 𝛼 < 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη Παράδειγμα 13 Να λυθούν οι εξισώσεις: 3𝑥 2 = 48 9𝑥 2 − 81 = 0 2𝑥 2 = −50 Παράδειγμα 14 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς x που ικανοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις: 𝑥2 4 + 𝑥2 = 5 3𝑥 2 − 18 = 𝑥 2 ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 8 A.2.2 Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί Σύνολα αριθμών Το σύνολο των φυσικών αριθμών παριστάνεται με το γράμμα N και είναι το …………………………………………………………………………………………………… Το σύνολο των ακεραίων αριθμών παριστάνεται με το γράμμα Z και είναι το ……………………………………………………………………………………………………. Οι ακέραιοι διακρίνονται σε:  Άρτιους: …………………  Περιττούς: ………………… Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Q και παριστάνεται: ……………………………………………………………………………………………………. 𝛼 Ρητός ονομάζεται ένας αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει την κλασματική μορφή 𝛽 όπου οι αριθμοί α και β είναι ακέραιοι και 𝛽 ≠ 0. Οι ρητοί διακρίνονται σε:  Δεκαδικούς π.χ. ………………………………………………..  Περιοδικούς δεκαδικούς π.χ. ……………………………………….. ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Παράδειγμα 15 Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 2m2 να υπολογίσετε την πλευρά του x. Μήπως είναι x=1; Τότε όμως x² = …… Μήπως είναι x = 2; Τότε όμως x² =…… Μήπως είναι x = 1,4; Τότε όμως x² =…… Μήπως είναι x = 1,41; Τότε όμως x² = 1,9881 Μήπως είναι x = 1,414; Τότε όμως x² = 1,9994 Μήπως είναι x = 1,4142; Τότε όμως x² = 1,99996 Μήπως είναι x = 1,4142135623; Τότε όμως x² = 1,9999999998 Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια τον αριθμό x αλλά μόνο προσεγγιστικά. Επομένως, θα τον συμβολίζουμε με √2. Ο αριθμός αυτός έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς περιοδικότητα. Εδώ βλέπετε τα πρώτα 65 δεκαδικά του ψηφία: √2=1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799… 𝛼 Οι Πυθαγόρειοι απέδειξαν ότι o αριθμός √2 δε μπορεί να πάρει την κλασματική μορφή 𝛽 όπου οι αριθμοί α και β είναι ακέραιοι και β≠0. Δηλαδή δεν είναι ρητός. Γι’ αυτό τον λέμε άρρητο. Άρρητος ονομάζεται ένας αριθμός που δεν είναι ρητός δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί με τη μορφή κλάσματος. Π.χ. ……………………………. Παράδειγμα 16 Να κατασκευάσετε γεωμετρικά τον άρρητο αριθμό √2. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε γεωμετρικά τους άρρητους αριθμούς √3 και √5. ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 10 Το σύνολο όλων των άρρητων και τον ρητών αριθμών μαζί, ορίζουν ένα ευρύτερο σύνολο που ονομάζεται σύνολο πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R. Πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο R που αποτελείται από όλους τους ρητούς και άρρητους αριθμούς. Παριστάνονται πάνω σε μια ευθεία η οποία λέγεται ευθεία ή άξονας πραγματικών αριθμών. Συνοψίζουμε τα σύνολα των αριθμών: Πραγματικοί 2 π.χ., 7, 1,3, 5 Ρητοί Άρρητοι 1 π.χ., 1,333..., , −4 π.χ., 7, − 2, Π 2 Ακέραιοι Δεκαδικοί 8 π.χ., , -6, 7 π.χ., 2,3, 2,5353... 2 Αρνητικοί Φυσικοί 16 Ακέραιοι π.χ., 15, 4 π.χ., -3, -145 Άρτιοι Περιττοί π.χ., 2, 8, 16 π.χ., 5, 17 ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 11 Παράδειγμα 17 A. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα βάζοντας Χ αν ο αριθμός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο. B. Στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε τοποθετήσει τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ. Να αντιστοιχίσετε στα σημεία αυτά τους αριθμούς: Παράδειγμα 18 Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα βάζοντας Χ αν ο αριθμός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο. ΑΡΙΘΜΟΣ ΡΗΤΟΣ ΑΡΡΗΤΟΣ √3 9 √ 4 2 (√3) 16 √ 5 2, 3535353535…….. ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 12 Παράδειγμα 19 Να γράψετε απλούστερα τις ρίζες: √50 = √8 = √63 = √125 = √48 = √1000 = Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε ένα ισοδύναμο του με ρητό παρανομαστή πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη ρίζα που είναι στον παρανομαστή. Παράδειγμα 20 Να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή: 1 6 = = √7 √3 1 13 = − = 2√2 √13 Παράδειγμα 21 Να γίνουν οι πράξεις: 2√3 + 6√3 − 4√3 − 3√3 = 2√5 − 3√7 + 2√7 − 6√5 = 5(√5 + √2) − 3(√2 − √5) = (√7 + √3). (√7 − √3) = ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 13 √45 − √20 + 3 − 2√5 = Παράδειγμα 22 Να λυθούν οι εξισώσεις: 3𝑥 4 𝑥2 𝑥2 4𝑥 2 = 20 𝑥 2 = −5 = =2 𝑥2 − =3 2 √3 3 5 Παράδειγμα 23 Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: 𝛢 = √12 + 2√27 + √48 − 5√3 =... 𝛣 = 2√18 − 3√72 − √50 =... 𝛤 = 2√20 − 3√45 =... ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 14 𝛥 = 7√175 − 2√28 − 7√63 =... Παράδειγμα 24 √1000−√360 Δίνονται οι αριθμοί 𝛢 = και 𝐵 = 17√5 + 2 ⋅ (√18 − √80) − 3 ⋅ (√45 − √2). √40 α) Να δείξετε ότι Α = 2 β) Να δείξετε ότι 𝐵 = 9√2 ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 15 Παράδειγμα 25 Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: 𝛢 = (√3 − 2) ⋅ (√3 + 2) + √3 ⋅ (√5 − √3) + 4 = 𝛣 = √7 ⋅ (√7 − √3) + 2√3(√7 − √3) − 1 = 𝛤 = √3 ⋅ (2√3 − √12) + √2 ⋅ (√32 − √8) = 𝛥 = −6(√8 + 2√2) + 7(√32 − √2) − 9(5√2 − √50) = ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 16 A.2.3 Προβλήματα Παράδειγμα 26 Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι 𝛿 = 20 𝑐𝑚. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του. Παράδειγμα 27 Στο διπλανό τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 το ύψος 𝛢𝛥 = 𝑥 , 𝛣𝛥 = 𝑥 , 𝛥𝛤 = 2𝑥 και το εμβαδόν του είναι 6𝑐𝑚2. α) Να αποδείξετε ότι 𝛢𝛤 = 2√5𝑐𝑚. β) Να αποδείξετε ότι 𝛢𝛣 = 2√2𝑐𝑚. γ) Να εξετάσετε αν το 𝛢𝛣𝛤 είναι ορθογώνιο. ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 17 Παράδειγμα 28 Στο διπλανό σχήμα τα τετράπλευρα 𝛢𝛣𝛦𝛧 και 𝛣𝛤𝛥𝛦 είναι ορθογώνια. Να υπολογίσετε α) το 𝛧𝛦. β) το εμβαδόν του 𝛢𝛤𝛥𝛧. γ) το εμβαδόν του 𝛧𝛣𝛤𝛦. δ) το εμβαδόν του 𝛢𝛤𝛦𝛧. ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025  Pierce – Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Α.2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 18 Παράδειγμα 29 Στο διπλανό σχήμα το 𝛢𝛣𝛤𝛥 είναι ορθογώνιο α) Να βρείτε το μήκος της πλευράς 𝛢𝛥. β) Να βρείτε το εμβαδόν του 𝛢𝛣𝛤𝛥. γ) Να ελέγξετε αν το τρίγωνο 𝛥𝛦𝛧 είναι ορθογώνιο ___________________________________________________________________________________________________ Φύλλο εργασίας Σχολικό έτος 2024 - 2025