Analiza Stabilităţii şi Preciziei S.R.A. - PDF

B.S.A. – 4 29.10.2020 1. Stabilitate S.R.A. 2. Precizia S.R.A. 1. Stabilitatea S.R.A. V(s) R(s) ℇ(s) U(s)...

B.S.A. – 4 29.10.2020 1. Stabilitate S.R.A. 2. Precizia S.R.A. 1. Stabilitatea S.R.A. V(s) R(s) ℇ(s) U(s) Y(s) 𝐻 (𝑠) + 𝐻 (𝑠) + + - Y(s) = 𝐻 (𝑠) ∙ 𝐻 (𝑠) ∙ ℇ(𝑠) ( ) 𝐻 (𝑠) = 𝐻 (𝑠) ∙ 𝐻 (𝑠) = ℇ( ) ( ) ( ) 𝐻 (𝑠) = ( ) = ( ) ( ) ( ) 𝐻 (𝑠) = = ( )∙ ( ) ( ) ( ) 𝐻 (𝑠) : = → Funcția de transfer asociată regulatorului ℇ( ) a) 𝐻 (𝑠) = 𝐾 → Regulator Proporțional (P) b) 𝐻 (𝑠) = 𝐾 (1 + ) → Regulator Proporțional Integral (PI) c) 𝐻 (𝑠) = 𝐾 (1 + + 𝑇 𝑠) → Regulator Proporțional Integral Derivativ (PID) d) 𝐻 (𝑠) = 𝐾 1+ → PID cu filtrare. 𝐾 , 𝑇 , 𝑇 → parametrii de acord ai regulatorului ( ) ( ) 𝐻 (𝑠) = și 𝐻 (𝑠) = ( ) ( )  ( )∙ ( ) 𝐻 (𝑠) = 𝐻 (𝑠) ∙ 𝐻 (𝑠) = ( )∙ ( ) ( ) ( )∙ ( ) 𝐻 (𝑠) = = ( )∙ ( ) ( )∙ ( ) ∗ ( ) sau 𝑄 (𝑠) 𝐻 (𝑠) = 𝑃 (𝑠) 𝑃 (𝑠) ≡ 𝛼 (𝑠) = 𝐴 (𝑠) ∙ 𝑃 (𝑠) + 𝐵 (𝑠) ∙ 𝑄 (𝑠) Polinomul caracteristic al S.R.A. ( ) S(s) : = ( ) ( ) ( ) ( ) S(s) = ∙ → Funcția de sensibilitate a S.R.A. ( ) ( ) ( ) T(s) ≡ 𝐻 (𝑠) = ( ) S(s) = ( )  Urmărirea referinței S(s) + T(s) = 1 →  Rejecția perturbației T(s) = 𝐻 (𝑠) ∙ S(s) 𝐻 (𝑠) = 𝐻 (𝑠) ∙ S(s) ∗ 𝑌(s) = T(s) ∙ R(s) = 𝐻 (𝑠) ∙ S(s) ∙ R(s) ∗ 𝑌 (s) = 𝐻 (s) ∙ V(s) = 𝐻 (𝑠) ∙ S(s) ∙ V(s) ∗ 𝑌 (s) = 𝑇(s) ∙ R(s) + 𝐻 (s) ∙ V(s)  ( )∙ ( ) ( ) 𝑌(𝑠) = ( )∙ ( ) ∙ 𝑅(𝑠) + ( )∙ ( ) ∙ 𝑉(𝑠) ( ) ℇ(𝑠) = ( ) ∙ 𝑅(𝑠) - ( )∙ ( ) ∙ 𝑉(𝑠) ( ) ( )∙ ( ) U(s) = ( )∙ ( ) ∙ 𝑅(𝑠) - ( )∙ ( ) ∙ 𝑉(𝑠) 𝑦(𝑡) : = [ 𝑦(𝑡), ℇ(𝑡), 𝑢(𝑡) ]T și w(t): = [ 𝑟(𝑡), 𝑣(𝑡) ]T 𝑌 (𝑠) = 𝜁 [𝑦(𝑡)] ; w(s) = 𝜁 [w(t)] 𝑦(𝑡) → mărimi de calitate asociate S.R.A. w(t) → mărimile exogene asociate S.R.A. 𝑌(𝑠) 𝐻 𝐻 𝑆(𝑠) 𝐻 𝑆(𝑠) 𝑌 (𝑠): = ℇ(𝑠) = 𝑆(𝑠) − 𝐻 𝑆(𝑠) ∙ w(s) 𝑈(𝑠) 𝐻 (𝑠) ∙ 𝑆(𝑠) − 𝐻 𝐻 𝑆(𝑠) 𝐻 (𝑠) 𝑌 (𝑠)= 𝐻 (𝑠) ∙ w(s) ( )∙ ( ) ( )∙ ( ) ( )∙ ( ) 1 + 𝐻 (s) = 𝛼 (s) = 1+ ( )∙ ( ) ≡ ( )∙ ( ) 𝛼 (s) = 0 → 𝐴 (𝑠) ∙ 𝑃 (𝑠) + 𝐵 (𝑠) ∙ 𝑄 (𝑠) = 0 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒊 𝑺. 𝑹. 𝑹. Pentru ca sistemul să fie stabil, condiția necesară și suficientă este ca toate componentele matricei 𝐻 (𝑠) să aibă polii situați în semiplanul stâng al planului complex (C-). S(s) → rol esențial pentru asigurarea performanțelor S.R.A. T(s) → complementara funcției de sensibilitate 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝑏𝑢(𝑡) ; 𝑥 (𝑡) ∈ ℝ 𝑦(𝑡) = 𝑐 𝑥(𝑡) ∗ A∈ℝ 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) ; 𝑥 (𝑡) ∈ ℝ 𝑦(𝑡) = 𝑐 𝑥(𝑡) Sistem cu mai multe intrări și mai multe ieșiri 𝑦 (𝑡) 𝑢 (𝑡) Σ 𝑦 (𝑡) : : 𝑢 (𝑡) 𝑦 (𝑡) y(t) ∈ ℝ , u(t) ∈ ℝ , 𝑥(𝑡) ∈ ℝ 𝑠𝑥(𝑠) − 𝑥 = 𝐴𝑥(𝑠) + 𝑏𝑢(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝑐 𝑥(𝑠) 𝑥(𝑠) = [𝑠Γ − 𝐴] ∙ 𝑏𝑢(𝑐) + [𝑠Γ − 𝐴] ∙𝑥 𝑌(𝑠) = 𝑐 𝑥(𝑠) H(s) ≡ 𝑐 [𝑠Γ − 𝐴] ∙𝑏 𝑥 ≡ 0 → x(s) = [𝑠Γ − 𝐴] ∙ 𝑏𝑈(𝑠) = Φ(s) , 𝑏𝑈(s) Y(s) = 𝑐 Φ(s) , 𝑏𝑈(s) Φ(s) = [𝑠Γ − 𝐴] → Φ(t) = 𝜁 ∙ [Φ(s)] matricea fundamentală a sistemului Pentru S.R.A. cu referința r(t) și ieșirea y(t) se calculează Φ (s) ținând seama de modelul asociat regulatorului și procesului condus. [ ] Y(s) = 𝑐 [𝑠Γ − 𝐴 ] ∙ 𝑏 ∙ R(s) = 𝑐 ∙ 𝑏 ∙ R(s) [ ] sau Y(s) = 𝑐 [𝑠Γ − 𝐴 ] ∙ 𝑏 ∙ R(s) ≡ 𝑐 Φ (s) ∙ 𝑏 ∙ R(s) 𝐻 (s) = 𝑐 Φ (s) ∙ 𝑏 𝑤(𝑡) 𝑦(𝑡) P 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) Regulator 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴 𝑥(𝑡) → 𝒙(𝒕)= 𝒆𝑨𝒐(𝒕 𝒕𝒐 ) ∙ 𝒙(𝒕𝒐 ) sau 𝒙(𝒕)= 𝚽𝒐 (𝐭) ∙ 𝒙𝒐 , pentru 𝑡 = 0 Spunem că 𝑥 este o stare de echilibru dacă lim ‖𝑥(𝑡)‖ =𝑥 → lim ‖Φ (t)‖ → 0 → → det [𝑠Γ − 𝐴 ] = 𝛼 (s)  Valorile proprii ale matricei 𝐴 trebuie poziționate în 𝑐 pentru ca sistemul să fie intern stabil. ∗ Un sistem (𝐴 , 𝑏 , 𝑐 ) este intern stabil dacă ∃ M > 0, a.î. ‖Φ (t)‖ ≤ M, ∀ t ≥ 0. ∗ Sistemul este asimptotic stabil dacă Φ (t) → 0, când t → ∞ ‖Φ(𝑡, 𝑥 , 0)‖ ≤ M ‖𝑥 ‖ , ∀ t ≥ 0 și 𝑥 ∈ ℝ ∗ Valorile proprii ale matricei 𝐴 situate în ℂ = { s ∈ 𝐶/ 𝑅 (𝑠) < 0 } Stabilitate externă: Intrare mărginită – ieșire mărginită (BIBO) (𝑀𝐼𝑀𝑂) h(t) : = 𝜁 [𝐻 (s)]  Un sistem caracterizat prin 𝐻 (s) este extern stabil (MIMO stabil) dacă ∃ M a.î. |ℎ(𝑡)| ≤ M, ∀ t ≥ 0.  Sistemul este strict stabil dacă: ∫ |ℎ(𝑡)| 𝑑 < ∞, t ∈ R 𝑦 (𝑡) = ∫ ℎ(𝜏) r (t- 𝜏) d 𝜏 𝑦 (𝑡) = ∫ ℎ(𝜏) r (t − 𝜏) d 𝜏 ≤ ∫ |ℎ(𝜏)| |r (t − 𝜏)| d 𝜏 ≤ ∫ |ℎ(𝜏)| d 𝜏 ≤ ∫ |ℎ(𝜏)| d 𝜏 = M ( y(t) = ∫ 𝑢(𝜏) ℎ (t- 𝜏) d 𝜏 := 𝑢(𝑡) ∗ ℎ(𝜏) → convoluție Ieșirea unui sistem liniar invariant în timp este egală cu convoluția funcției pondere cu intrarea 𝒖(𝒕). Exemplu 𝛿(𝑡) 𝑦̇ (𝑡) + y(t) = 𝑢(𝑡) → y(t) = 𝐶𝑒 𝑢(𝑡) = 𝛿 (𝑡) 𝑡  𝑦̇ 𝑑𝑡 + 𝑘 𝑦̇ 𝑑𝑡 = 𝛿(𝑡) 𝑑𝑡 y(0 ) = 0 → y(0 ) - y(0 ) = 1 𝐶𝑝𝑒 + 𝐾𝐶𝑒 =0 → p+k= 0 → p= -k h(t) = 𝑒 , t > 0, c𝑒 - 0 = 1 → c=1 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑒 ∙ 𝑢(𝑡 − 𝜏) d𝜏 Răspunsul la o funcție exponențială ( ) y(t) = ∫ ℎ(𝜏) 𝑢(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏 = ∫ ℎ(𝜏) 𝑒 𝑑𝜏 = ∫ ℎ(𝜏) 𝑒 𝑒 𝑑𝜏 = 𝒔𝝉 =𝑒 ∫ 𝒉(𝝉) 𝒆 𝒅𝝉 = 𝒆𝒔𝒕 H(s) 2. Precizia S.R.A. E(s) = ( ) ∙ R(s) = S(s) ∙ R(s) ( ) R(s) = → referință sub formă polinomială ∙ ( ) … 𝐻 (𝑠) = ≡ ∙ ∙ ( ) … 𝑃 (0) = 𝑃 (0) = 1 → polinoame monice E(s) = ( ) ∙ ∙ ( ) sau  ( ) E(s) = ( ) ( ) ∙ 𝑆(𝑠) 𝑅(𝑠) Sistemul este stabil → se aplică teorema valorii finale ( lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑠𝐹(𝑠) ) → → ∙ ( ) lim ℇ(𝑡) = lim 𝑠𝐸(𝑠) = lim ( ) ∙ → → → ( ) E(s) = S(s) ∙ R(s) 𝛼= 0, 1, 2 → definește tipul sistemului m – definește tipul intrării (treaptă, rampă, parabolă) 𝛼 𝑚 1 2 3 0 𝑘 ∞ ∞ 1+𝑘 1 0 𝑘 ∞ 𝑘 2 0 0 𝑘 𝑘  Pentru intrare de tip treaptă unitară 𝑘 =1, eroarea staționară este diferită de zero ( ℇ 𝑡 ) dacă sistemul este de tip zero (𝛼 = 0) Se obține eroare staționară egală cu zero dacă în sistem, pe calea directă există cel puțin un integrator (𝛼 = 1)  Pentru rampă unitară, eroarea în regim permanent este egală cu zero numai dacă 𝛼 ≥ 2.   Pentru perturbațiile de tip treaptă se obține rejecție în regim staționar numai dacă integratorul este poziționat înaintea punctului de aplicare a perturbației. ( ) ‖𝑦 = lim 𝑠𝑌(𝑠) = lim 𝑠 ∙ ( ) ∙ = lim → → ( ) → ( ) ( )