IMG_5269.jpeg

# Tóm tắt các công thức Toán cao cấp ## 1. Đại số tuyến tính ### 1.1. Định thức Cho $A = (a_{ij}) \in M(n, \mathbb{R})$. * **Định nghĩa:** * $n = 1$, $\det A = a_{11}$. * $n \ge 2$, $\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}$ (khai triển theo dòng $i$). * **Tính chất:**...

# Tóm tắt các công thức Toán cao cấp ## 1. Đại số tuyến tính ### 1.1. Định thức Cho $A = (a_{ij}) \in M(n, \mathbb{R})$. * **Định nghĩa:** * $n = 1$, $\det A = a_{11}$. * $n \ge 2$, $\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}$ (khai triển theo dòng $i$). * **Tính chất:** * $\det A = \det A^T$. * $\det(AB) = \det A \det B$. * $A$ khả nghịch $\Leftrightarrow \det A \ne 0$. * $\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$. * $\det(cA) = c^n \det A$. * Nếu $A$ là ma trận tam giác (trên hoặc dưới) thì $\det A$ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. ### 1.2. Hạng của ma trận * **Định nghĩa:** Hạng của ma trận $A$, kí hiệu $r(A)$, là cấp cao nhất của một minor khác 0 của $A$. * **Tính chất:** * $r(A) \le \min\{m, n\}$ với $A \in M(m \times n, \mathbb{R})$. * $r(A) = r(A^T)$. * $r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}$. * $r(A) = n \Leftrightarrow A$ khả nghịch (với $A \in M(n, \mathbb{R})$). ### 1.3. Hệ phương trình tuyến tính Xét hệ $AX = B$, với $A \in M(m \times n, \mathbb{R})$, $X \in \mathbb{R}^n$, $B \in \mathbb{R}^m$. * **Định lý Kronecker-Capelli:** Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A})$, trong đó $\overline{A}$ là ma trận bổ sung của $A$. * **Nghiệm tổng quát:** * Nếu hệ thuần nhất ($B = 0$): $X = \sum_{i=1}^{n-r} c_i X_i$, với $X_i$ là các nghiệm cơ bản. * Nếu hệ không thuần nhất: $X = X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i X_i$, với $X_0$ là một nghiệm riêng của hệ không thuần nhất. ### 1.4. Không gian vector * **Độc lập tuyến tính:** Các vector $v_1, v_2,..., v_n$ độc lập tuyến tính nếu $\sum_{i=1}^n c_i v_i = 0 \Rightarrow c_i = 0, \forall i$. * **Cơ sở:** Tập hợp các vector độc lập tuyến tính sinh ra không gian vector. * **Số chiều:** Số lượng vector trong cơ sở. ## 2. Giải tích ### 2.1. Giới hạn * **Định nghĩa:** $\lim_{x \to a} f(x) = L$ nếu $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ sao cho $|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$. * **Quy tắc L'Hôpital:** Nếu $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ có dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ thì $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. ### 2.2. Đạo hàm * **Định nghĩa:** $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$. * **Quy tắc tính đạo hàm:** * $(u + v)' = u' + v'$. * $(uv)' = u'v + uv'$. * $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. * $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$. ### 2.3. Tích phân * **Tích phân bất định:** $\int f(x) dx = F(x) + C$, với $F'(x) = f(x)$. * **Tích phân xác định:** $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. * **Tích phân từng phần:** $\int u dv = uv - \int v du$. * **Đổi biến:** $\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$, với $u = g(x)$. ### 2.4. Chuỗi * **Chuỗi số:** $\sum_{n=1}^\infty a_n$ hội tụ nếu dãy các tổng riêng $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ hội tụ. * **Chuỗi lũy thừa:** $\sum_{n=0}^\infty c_n (x - a)^n$. Bán kính hội tụ $R = \lim_{n \to \infty} |\frac{c_n}{c_{n+1}}|$ (nếu tồn tại). * **Chuỗi Taylor:** $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$. * **Chuỗi Maclaurin:** $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$. ## 3. Phương trình vi phân ### 3.1. Phương trình vi phân cấp 1 * **Dạng tổng quát:** $y' = f(x, y)$. * **Phương trình tách biến:** $y' = f(x)g(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx$. * **Phương trình tuyến tính:** $y' + p(x)y = q(x)$. Nghiệm: $y = e^{-\int p(x) dx} (\int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C)$. * **Phương trình Bernoulli:** $y' + p(x)y = q(x)y^n$. Đặt $z = y^{1-n}$. ### 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 * **Dạng tổng quát:** $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$. * **Phương trình tuyến tính thuần nhất:** $y'' + py' + qy = 0$ (p, q là hằng số). * Nghiệm: $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ (nếu $r_1 \ne r_2$ là nghiệm của phương trình đặc trưng $r^2 + pr + q = 0$). * $y = (c_1 + c_2 x) e^{rx}$ (nếu $r_1 = r_2 = r$). * $y = e^{\alpha x} (c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)$ (nếu $r = \alpha \pm i\beta$). ### 3.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 * **Dạng tổng quát:** $\begin{cases} x'(t) = a x(t) + b y(t) \\ y'(t) = c x(t) + d y(t) \end{cases}$ * Giải bằng phương pháp khử hoặc tìm vector riêng. **Lưu ý:** Đây chỉ là tóm tắt, cần xem lại chi tiết từng phần để hiểu rõ và áp dụng chính xác.