高等数学公式：线性代数总结

• 这是一份高等数学公式的总结。

线性代数

• 涵盖了行列式、矩阵的秩、线性方程组和向量空间等主题。

行列式

• $A = (a_{ij}) \in M(n, \mathbb{R})$ 时，行列式的定义如下：
  • 当 $n = 1$ 时，$\det A = a_{11}$。
  • 当 $n \ge 2$ 时，$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}$（沿第 (i) 行展开）。
• 行列式具有以下属性：
  • $\det A = \det A^T$
  • $\det(AB) = \det A \det B$
  • 如果矩阵A可逆，等价于 $\det A \ne 0$
  • $\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$
  • $\det(cA) = c^n \det A$。
  • 如果$A$是三角矩阵（上或下），则$\det A$等于主对角线上的元素的乘积。

矩阵的秩

• 矩阵 $A$ 的秩（记为 $r(A)$）是 $A$ 的非零子式的最高阶数。
• 矩阵的秩具有以下性质：
  • 对于 $A \in M(m \times n, \mathbb{R})$，有 $r(A) \le \min{m, n}$。
  • $r(A) = r(A^T)$。
  • $r(AB) \le \min{r(A), r(B)}$。
  • 如果 $A \in M(n, \mathbb{R})$，则 $r(A) = n$ 等价于 $A$ 可逆。

线性方程组

• 考虑方程组 $AX = B$，其中 $A \in M(m \times n, \mathbb{R})$，$X \in \mathbb{R}^n$，$B \in \mathbb{R}^m$。
• Kronecker-Capelli 定理指出，该系统有解当且仅当 $r(A) = r(\overline{A})$，其中 $\overline{A}$ 是 $A$ 的增广矩阵。
• 通解表示为：
  • 对于齐次方程组 ($B = 0$)：$X = \sum_{i=1}^{n-r} c_i X_i$，其中 $X_i$ 是基本解。
  • 对于非齐次方程组：$X = X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i X_i$，其中 $X_0$ 是非齐次方程组的特解。

向量空间

• 如果 $\sum_{i=1}^n c_i v_i = 0 \Rightarrow c_i = 0, \forall i$，则向量 $v_1, v_2,..., v_n$ 线性无关。
• 基是一组生成向量空间的线性无关向量。
• 维数是基中向量的数量。

分析

极限

• 如果 $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ 使得 $|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。
• L'Hôpital 规则指出，如果 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 的形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，则 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。

导数

• $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$。
• 导数运算规则包括：
  • $(u + v)' = u' + v'$
  • $(uv)' = u'v + uv'$
  • $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  • $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$。

积分

• 不定积分表示为 $\int f(x) dx = F(x) + C$，其中 $F'(x) = f(x)$。
• 定积分表示为 $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。
• 分部积分：$\int u dv = uv - \int v du$。
• 通过替换进行积分：$\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$，其中 $u = g(x)$。

系列

• 如果部分和 $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ 的序列收敛，则级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛。
• 能力系列: $\sum_{n=0}^\infty c_n (x - a)^n$. 收敛半径 $R = \lim_{n \to \infty} |\frac{c_n}{c_{n+1}}|$ (如果存在)。
• 泰勒级数表示为 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$。
• 麦克劳林级数表示为 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。

微分方程

• 对一阶和二阶以及一阶线性微分方程组进行了讨论。

一阶微分方程

• 一般形式：$y' = f(x, y)$。
• 可分离方程：$y' = f(x)g(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx$。
• 线性方程：$y' + p(x)y = q(x)$。 解是：$y = e^{-\int p(x) dx} (\int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C)$。
• 伯努利方程：$y' + p(x)y = q(x)y^n$。 令 $z = y^{1-n}$。

二阶微分方程

• 一般形式：$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$.
• 线性齐次方程：$y'' + py' + qy = 0$（p，q 为常数）。
  • $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$（如果 $r_1 \ne r_2$ 是特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根）。
  • $y = (c_1 + c_2 x) e^{rx}$（如果 $r_1 = r_2 = r$）。
  • 当 $r = \alpha \pm i\beta$ 时，$y = e^{\alpha x} (c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)$。

一阶线性方程组

• 一般形式： $\begin{cases} x'(t) = a x(t) + b y(t) \ y'(t) = c x(t) + d y(t) \end{cases}$.
• 可以通过消除法或找到特征向量来解决。
• 注意事项*
• 这是一个总结，需要详细复习每个部分，以明确理解和准确应用。