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# Chapitre 2 : Systèmes d'équations linéaires ## 2.1 Introduction - Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires. Par exemple: $$ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases} $$ - La solution d'un système d'équations linéaires est l'ensemble des valeurs...

# Chapitre 2 : Systèmes d'équations linéaires ## 2.1 Introduction - Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires. Par exemple: $$ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases} $$ - La solution d'un système d'équations linéaires est l'ensemble des valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système. Dans l'exemple précédent, la solution est $x = 3$ et $y = 1$. - Un système d'équations linéaires peut avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. - S'il a au moins une solution, on dit qu'il est **compatible**. - S'il a une solution unique, on dit qu'il est **déterminé**. - S'il a une infinité de solutions, on dit qu'il est **indéterminé**. - S'il n'a aucune solution, on dit qu'il est **incompatible**. ## 2.2 Résolution de systèmes d'équations linéaires ### 2.2.1 Méthode de substitution - La méthode de substitution consiste à exprimer une variable en fonction des autres dans une équation, puis à substituer cette expression dans les autres équations. - Exemple: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$ On isole $y$ dans la première équation: $y = 5 - x$. On substitue ensuite cette expression dans la deuxième équation: $$ 2x - (5 - x) = 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 $$ Finalement, on remplace $x$ par 2 dans l'expression de $y$: $y = 5 - 2 = 3$. La solution du système est donc $x = 2$ et $y = 3$. ### 2.2.2 Méthode d'élimination (ou de Gauss) - La méthode d'élimination consiste à multiplier les équations par des constantes de manière à ce que les coefficients d'une variable soient opposés, puis à additionner les équations pour éliminer cette variable. - Exemple: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$ On additionne les deux équations pour éliminer $y$: $$ (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 $$ On remplace ensuite $x$ par 2 dans l'une des équations pour trouver $y$: $2 + y = 5 \Rightarrow y = 3$. La solution du système est donc $x = 2$ et $y = 3$. ### 2.2.3 Méthode de Cramer - La méthode de Cramer est une méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires qui utilise les déterminants. Elle ne peut être utilisée que si le système a autant d'équations que d'inconnues et si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. - Considérons le système d'équations linéaires suivant: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \\... \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +... + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} $$ La solution de ce système est donnée par: $$ x_i = \frac{D_i}{D} $$ où $D$ est le déterminant de la matrice des coefficients: $$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\... &... &... &... \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{vmatrix} $$ et $D_i$ est le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de la matrice des coefficients par le vecteur des constantes: $$ D_i = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & b_1 &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & b_2 &... & a_{2n} \\... &... &... &... &... &... \\ a_{n1} & a_{n2} &... & b_n &... & a_{nn} \end{vmatrix} $$ - Exemple: $$ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases} $$ On a: $$ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = 3 $$ $$ D_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 - (-1) \cdot 4 = 9 $$ $$ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 5 \cdot 1 = 3 $$ Donc: $$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{9}{3} = 3 $$ $$ y = \frac{D_y}{D} = \frac{3}{3} = 1 $$