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# Funciones vectoriales de variable escalar ## Motivación ### Ejemplo Una partícula se mueve en el espacio de modo que su posición en cada instante $t$ viene dada por las ecuaciones paramétricas: $x = cos(t)$ $y = sin(t)$ $z = t$ La trayectoria es una hélice alrededor del eje $z$. $\vec{r}(t) =...

# Funciones vectoriales de variable escalar ## Motivación ### Ejemplo Una partícula se mueve en el espacio de modo que su posición en cada instante $t$ viene dada por las ecuaciones paramétricas: $x = cos(t)$ $y = sin(t)$ $z = t$ La trayectoria es una hélice alrededor del eje $z$. $\vec{r}(t) = (cos(t), sin(t), t)$ es la función vectorial que describe la posición de la partícula en cada instante $t$. Una función vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo recorrido es un conjunto de vectores. $\vec{r}: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ $t \rightarrow \vec{r}(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t))$ donde $f_i: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ son funciones reales de variable real. ## Límite y continuidad El límite de una función vectorial $\vec{r}(t)$ cuando $t$ tiende a $t_0$ es el vector $\vec{L}$ si el límite de cada una de las funciones componentes de $\vec{r}(t)$ cuando $t$ tiende a $t_0$ existe y es igual a la componente correspondiente de $\vec{L}$. $\lim_{t \to t_0} \vec{r}(t) = \vec{L} = (lim_{t \to t_0} f_1(t), lim_{t \to t_0} f_2(t),..., lim_{t \to t_0} f_n(t))$ siempre que los límites de las funciones componentes existan. Una función vectorial $\vec{r}(t)$ es continua en $t_0$ si se cumplen las siguientes condiciones: 1. $\vec{r}(t_0)$ existe 2. $\lim_{t \to t_0} \vec{r}(t)$ existe 3. $\lim_{t \to t_0} \vec{r}(t) = \vec{r}(t_0)$ Equivalentemente, $\vec{r}(t)$ es continua en $t_0$ si cada una de las funciones componentes de $\vec{r}(t)$ es continua en $t_0$. ## Derivada La derivada de una función vectorial $\vec{r}(t)$ es la función vectorial $\vec{r}'(t)$ definida por: $\vec{r}'(t) = lim_{h \to 0} \frac{\vec{r}(t+h) - \vec{r}(t)}{h}$ siempre que el límite exista. Si $\vec{r}(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t))$, entonces: $\vec{r}'(t) = (f_1'(t), f_2'(t),..., f_n'(t))$ ### Interpretación geométrica La derivada $\vec{r}'(t)$ es un vector tangente a la curva descrita por $\vec{r}(t)$ en el punto $\vec{r}(t)$. ### Reglas de derivación Sean $\vec{r}(t)$ y $\vec{s}(t)$ funciones vectoriales derivables y $f(t)$ una función escalar derivable. Entonces: 1. $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t) + \vec{s}(t)] = \vec{r}'(t) + \vec{s}'(t)$ 2. $\frac{d}{dt}[c\vec{r}(t)] = c\vec{r}'(t)$ 3. $\frac{d}{dt}[f(t)\vec{r}(t)] = f'(t)\vec{r}(t) + f(t)\vec{r}'(t)$ 4. $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t) \cdot \vec{s}(t)] = \vec{r}'(t) \cdot \vec{s}(t) + \vec{r}(t) \cdot \vec{s}'(t)$ 5. $\frac{d}{dt}[\vec{r}(t) \times \vec{s}(t)] = \vec{r}'(t) \times \vec{s}(t) + \vec{r}(t) \times \vec{s}'(t)$ 6. $\frac{d}{dt}[\vec{r}(f(t))] = f'(t)\vec{r}'(f(t))$ ### Integración La integral de una función vectorial $\vec{r}(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t))$ es el vector cuyas componentes son las integrales de las funciones componentes de $\vec{r}(t)$. $\int_a^b \vec{r}(t) dt = (\int_a^b f_1(t) dt, \int_a^b f_2(t) dt,..., \int_a^b f_n(t) dt)$