IMG_9149.jpeg

## Algèbre linéaire ### 1. Les systèmes d'équations linéaires #### 1.1 Définitions * Une équation linéaire à $n$ inconnues $x_1, x_2,..., x_n$ est une équation de la forme: $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$ où $a_1, a_2,..., a_n$ et $b$ sont des constantes données. * Un système de...

## Algèbre linéaire ### 1. Les systèmes d'équations linéaires #### 1.1 Définitions * Une équation linéaire à $n$ inconnues $x_1, x_2,..., x_n$ est une équation de la forme: $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$ où $a_1, a_2,..., a_n$ et $b$ sont des constantes données. * Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues est un ensemble de $m$ équations linéaires ayant les mêmes $n$ inconnues. $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \\... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$ * Une solution d'un système d'équations linéaires est un n-uplet $(s_1, s_2,..., s_n)$ de nombres qui, lorsqu'ils sont substitués aux inconnues $x_1, x_2,..., x_n$, satisfont toutes les équations du système. * L'ensemble de toutes les solutions d'un système d'équations linéaires est appelé l'ensemble solution du système. * Deux systèmes d'équations linéaires sont équivalents s'ils ont le même ensemble solution. * Un système d'équations linéaires est dit compatible s'il possède au moins une solution. Sinon, il est dit incompatible. * Un système d'équations linéaires compatible est dit: * déterminé s'il possède une solution unique. * indéterminé s'il possède une infinité de solutions. #### 1.2 Résolution des systèmes d'équations linéaires * Les opérations élémentaires sur les équations d'un système d'équations linéaires sont: * Multiplier une équation par une constante non nulle. * Ajouter à une équation un multiple d'une autre équation. * Échanger deux équations. * Ces opérations élémentaires ne modifient pas l'ensemble solution du système. * **Méthode de Gauss:** consiste à transformer un système d'équations linéaires en un système équivalent échelonné, puis à résoudre ce système échelonné en remontant les équations. * **Système échelonné:** Un système d'équations linéaires est dit échelonné si: * Le nombre de coefficients nuls au début d'une équation augmente d'une équation à l'autre. * Toutes les équations nulles (si elles existent) sont regroupées à la fin du système. ### 2. Les matrices #### 2.1 Définitions * Une matrice est un tableau de nombres. Les nombres sont appelés les éléments de la matrice. * Une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes est appelée une matrice $m \times n$. * L'élément situé à la $i$-ème ligne et à la $j$-ème colonne d'une matrice $A$ est noté $a_{ij}$. * Une matrice colonne est une matrice à une seule colonne. * Une matrice ligne est une matrice à une seule ligne. * Une matrice carrée est une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes. * La diagonale principale d'une matrice carrée est la diagonale qui va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. * Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale. * Une matrice identité est une matrice diagonale dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1. * Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls. * La transposée d'une matrice $A$, notée $A^T$, est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. #### 2.2 Opérations sur les matrices * **Addition:** La somme de deux matrices $A$ et $B$ de même dimension $m \times n$ est la matrice $C = A + B$ définie par $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ pour tous $i$ et $j$. * **Multiplication par un scalaire:** Le produit d'une matrice $A$ par un scalaire $k$ est la matrice $kA$ définie par $(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$ pour tous $i$ et $j$. * **Multiplication de matrices:** Le produit de deux matrices $A$ (de dimension $m \times n$) et $B$ (de dimension $n \times p$) est la matrice $C = AB$ de dimension $m \times p$ définie par $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ pour tous $i$ et $j$. * **Propriétés des opérations sur les matrices:** * $A + B = B + A$ (commutativité de l'addition) * $(A + B) + C = A + (B + C)$ (associativité de l'addition) * $A + 0 = A$ (élément neutre pour l'addition) * $A + (-A) = 0$ (inverse pour l'addition) * $k(A + B) = kA + kB$ (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition matricielle) * $(k + l)A = kA + lA$ (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire) * $(AB)C = A(BC)$ (associativité de la multiplication matricielle) * $A(B + C) = AB + AC$ (distributivité de la multiplication matricielle par rapport à l'addition matricielle) * $(A + B)C = AC + BC$ (distributivité de la multiplication matricielle par rapport à l'addition matricielle) * $I_nA = A = AI_n$ (élément neutre pour la multiplication matricielle) * $(AB)^T = B^T A^T$ (transposée d'un produit) #### 2.3 Matrices et systèmes d'équations linéaires * Un système d'équations linéaires peut être écrit sous forme matricielle: $Ax = b$, où $A$ est la matrice des coefficients, $x$ est le vecteur des inconnues et $b$ est le vecteur des termes constants. * La matrice augmentée d'un système d'équations linéaires est la matrice obtenue en ajoutant le vecteur des termes constants à la matrice des coefficients. * Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont: * Multiplier une ligne par une constante non nulle. * Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne. * Échanger deux lignes. * Ces opérations élémentaires correspondent aux opérations élémentaires sur les équations d'un système d'équations linéaires. * La méthode de Gauss peut être appliquée à la matrice augmentée d'un système d'équations linéaires pour résoudre le système. ### 3. Les déterminants #### 3.1 Définitions * Le déterminant d'une matrice carrée $A$, noté det(A) ou |A|, est un nombre qui peut être calculé à partir des éléments de la matrice. * Pour une matrice $2 \times 2$: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, det(A) = ad - bc * Pour une matrice $3 \times 3$: $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$, det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh * Le déterminant peut être calculé en utilisant le développement de Laplace. #### 3.2 Propriétés des déterminants * det(A) = det(A^T) * Si une ligne (ou une colonne) de A est multipliée par un scalaire k, alors le déterminant est multiplié par k. * Si deux lignes (ou deux colonnes) de A sont échangées, alors le déterminant change de signe. * Si deux lignes (ou deux colonnes) de A sont identiques, alors le déterminant est nul. * Si une ligne (ou une colonne) de A est une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes), alors le déterminant est nul. * det(AB) = det(A)det(B) #### 3.3 Applications des déterminants * Les déterminants peuvent être utilisés pour déterminer si un système d'équations linéaires a une solution unique. * Si det(A) ≠ 0, alors le système Ax = b a une solution unique. * Si det(A) = 0, alors le système Ax = b a soit aucune solution, soit une infinité de solutions. * Les déterminants peuvent être utilisés pour calculer l'inverse d'une matrice. * Les déterminants peuvent être utilisés pour calculer l'aire d'un parallélogramme ou le volume d'un parallélépipède. ### 4. Les espaces vectoriels #### 4.1 Définitions * Un espace vectoriel est un ensemble non vide E muni de deux opérations: * une addition qui à deux éléments u et v de E associe un élément u + v de E. * une multiplication par un scalaire qui à un scalaire k et un élément u de E associe un élément ku de E. Ces opérations doivent satisfaire les axiomes suivants: 1. u + v = v + u pour tous u, v ∈ E (commutativité de l'addition) 2. (u + v) + w = u + (v + w) pour tous u, v, w ∈ E (associativité de l'addition) 3. Il existe un élément 0 ∈ E tel que u + 0 = u pour tout u ∈ E (élément neutre pour l'addition) 4. Pour tout u ∈ E, il existe un élément -u ∈ E tel que u + (-u) = 0 (inverse pour l'addition) 5. k(u + v) = ku + kv pour tous k ∈ ℝ et u, v ∈ E (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle) 6. (k + l)u = ku + lu pour tous k, l ∈ ℝ et u ∈ E (distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire) 7. (kl)u = k(lu) pour tous k, l ∈ ℝ et u ∈ E (associativité de la multiplication scalaire) 8. 1u = u pour tout u ∈ E (élément neutre pour la multiplication scalaire) * Les éléments d'un espace vectoriel sont appelés vecteurs. * Un sous-espace vectoriel de E est un sous-ensemble F de E qui est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations que E. * Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ est un vecteur de la forme $k_1v_1 + k_2v_2 +... + k_nv_n$, où $k_1, k_2,..., k_n$ sont des scalaires. * L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ est appelé l'espace engendré par ces vecteurs, noté span($v_1, v_2,..., v_n$). * Un ensemble de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ est dit linéairement indépendant si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui est égale au vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls. Sinon, l'ensemble est dit linéairement dépendant. * Une base d'un espace vectoriel E est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent E. * La dimension d'un espace vectoriel E est le nombre de vecteurs dans une base de E. #### 4.2 Applications linéaires * Une application linéaire est une fonction $f: E \rightarrow F$ entre deux espaces vectoriels E et F qui satisfait les propriétés suivantes: * $f(u + v) = f(u) + f(v)$ pour tous u, v ∈ E * $f(ku) = kf(u)$ pour tout k ∈ ℝ et u ∈ E * Le noyau d'une application linéaire f est l'ensemble des vecteurs u ∈ E tels que f(u) = 0. * L'image d'une application linéaire f est l'ensemble des vecteurs v ∈ F tels qu'il existe un vecteur u ∈ E tel que f(u) = v. ### 5. Les valeurs propres et les vecteurs propres #### 5.1 Définitions * Un vecteur propre d'une matrice carrée A est un vecteur non nul v tel que Av = λv pour un certain scalaire λ. * Le scalaire λ est appelé la valeur propre associée au vecteur propre v. * Pour trouver les valeurs propres d'une matrice A, on doit résoudre l'équation caractéristique det(A - λI) = 0, où I est la matrice identité. * Les vecteurs propres associés à une valeur propre λ sont les solutions non nulles de l'équation (A - λI)v = 0. * Une matrice A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que P^(-1)AP soit une matrice diagonale. #### 5.2 Applications des valeurs propres et des vecteurs propres * Les valeurs propres et les vecteurs propres peuvent être utilisés pour résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires. * Les valeurs propres et les vecteurs propres peuvent être utilisés pour analyser la stabilité des systèmes dynamiques. * Les valeurs propres et les vecteurs propres peuvent être utilisés dans de nombreuses autres applications en mathématiques, en physique et en ingénierie.