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# Préparation à l'agrégation de Mathématiques ## Analyse ### Chapitre 1 Espaces de Banach et applications **Résumé du cours** #### 1. Normes et espaces de Banach * **Définition 1:** Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une application $N : E \...

# Préparation à l'agrégation de Mathématiques ## Analyse ### Chapitre 1 Espaces de Banach et applications **Résumé du cours** #### 1. Normes et espaces de Banach * **Définition 1:** Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une application $N : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ est une norme si : * $\forall x \in E, N(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0_E$ * $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, N(\lambda x) = |\lambda|N(x)$ * $\forall (x, y) \in E^2, N(x+y) \leq N(x) + N(y)$ * On note souvent $||x||$ au lieu de $N(x)$. * $(E, ||.||)$ est alors un espace vectoriel normé (e.v.n.). **Exemples classiques :** * $\mathbb{K}^n$ avec $||x||_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$, $||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$, $||x||_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ * $C^0([a,b], \mathbb{K})$ avec $||f||_{\infty} = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|$ et $||f||_1 = \int_{a}^{b} |f(t)| dt$ * $C^k([a,b], \mathbb{K})$ avec $||f||_{\infty, k} = \sum_{i=0}^{k} ||f^{(i)}||_{\infty}$ * **Définition 2 :** Une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $(E, ||.||)$ converge vers $x \in E$ si $||x_n - x|| \rightarrow 0$ quand $n \rightarrow +\infty$. * **Définition 3 :** Une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $(E, ||.||)$ est de Cauchy si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall p, q \geq N, ||x_p - x_q|| \leq \epsilon$. * **Définition 4 :** $(E, ||.||)$ est un espace de Banach si c'est un e.v.n. complet, i.e. toute suite de Cauchy converge. **Exemples :** $\mathbb{K}^n$ avec les normes classiques, $C^0([a,b], \mathbb{K})$ avec la norme $||.||_{\infty}$, $C^k([a,b], \mathbb{K})$ avec la norme $||.||_{\infty, k}$. **Contre-exemple :** $C^0([a,b], \mathbb{K})$ avec la norme $||.||_1$ n'est pas complet. #### 2. Théorème de Baire et applications * **Définition 5 :** Une partie $A$ d'un espace topologique $X$ est rare si son adhérence $\overline{A}$ est d'intérieur vide. * **Définition 6 :** Une partie $A$ d'un espace topologique $X$ est maigre si c'est une union dénombrable de parties rares. * **Théorème 1 (Baire) :** Un espace métrique complet est de Baire, i.e. toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. **Corollaire 1 :** Un espace métrique complet n'est pas maigre. **Applications classiques du théorème de Baire :** * **Théorème 2 (Banach-Steinhaus) :** Soit $E$ un espace de Banach et $F$ un e.v.n.. Soit $(T_i)_{i \in I}$ une famille d'applications linéaires continues de $E$ dans $F$. Si $\forall x \in E, \sup_{i \in I} ||T_i(x)||_F < +\infty$, alors $\sup_{i \in I} |||T_i||| < +\infty$ où $|||.|||$ est la norme d'opérateur. * **Théorème 3 (Graphe fermé) :** Soient $E, F$ deux espaces de Banach et $T : E \rightarrow F$ une application linéaire. Si le graphe de $T$ est fermé dans $E \times F$, alors $T$ est continue. * **Théorème 4 (Application ouverte) :** Soient $E, F$ deux espaces de Banach et $T : E \rightarrow F$ une application linéaire continue surjective. Alors $T$ est ouverte, i.e. l'image de tout ouvert de $E$ est un ouvert de $F$. **Corollaire 2 (Isomorphisme de Banach) :** Soient $E, F$ deux espaces de Banach et $T : E \rightarrow F$ une application linéaire continue bijective. Alors $T^{-1}$ est continue. #### 3. Séries de Fourier * **Définition 7 :** Soit $f \in L^1([-\pi, \pi])$. Les coefficients de Fourier de $f$ sont définis par : $\forall n \in \mathbb{Z}, c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int} dt$ * **Théorème 5 (Convergence de la série de Fourier) :** Soit $f \in C^1([-\pi, \pi])$ telle que $f(-\pi) = f(\pi)$. Alors la série de Fourier de $f$ converge normalement vers $f$. * **Théorème 6 (Densité des polynômes trigonométriques) :** L'ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans $C^0([-\pi, \pi])$. * **Théorème 7 (Parseval) :** Soit $f \in L^2([-\pi, \pi])$. Alors $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 dt$ ### Questions fréquentes * Montrer qu'une application est une norme. * Montrer qu'un espace est complet. * Appliquer le théorème de Baire pour montrer l'existence d'objets ayant des propriétés spécifiques (e.g. fonction continue nulle part dérivable). * Etudier la convergence d'une série de Fourier. ### Erreurs fréquentes * Confondre convergence simple et convergence uniforme. * Oublier les hypothèses des théorèmes (e.g. Banach-Steinhaus). * Penser que la convergence simple implique la convergence $L^1$. * Ne pas justifier l'application du théorème de Parseval.