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# Capítulo 1: Preliminares ## 1.1 Lógica ### Proposición Una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas. Ejemplo: * 2 + 2 = 4 (Verdadera) * El pasto es azul (Falsa) ### Operadores Lógicos Sean P y Q proposiciones: * Negación: ¬P (No P) * Conjunción...

# Capítulo 1: Preliminares ## 1.1 Lógica ### Proposición Una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas. Ejemplo: * 2 + 2 = 4 (Verdadera) * El pasto es azul (Falsa) ### Operadores Lógicos Sean P y Q proposiciones: * Negación: ¬P (No P) * Conjunción: $P \land Q$ (P y Q) * Disyunción: $P \lor Q$ (P o Q) * Condicional: $P \implies Q$ (Si P, entonces Q) * Bicondicional: $P \iff Q$ (P si y sólo si Q) ### Tablas de Verdad | P | Q | $\neg P$ | $P \land Q$ | $P \lor Q$ | $P \implies Q$ | $P \iff Q$ | | :---- | :---- | :-------- | :------------ | :------------ | :---------------- | :---------------- | | V | V | F | V | V | V | V | | V | F | F | F | V | F | F | | F | V | V | F | V | V | F | | F | F | V | F | F | V | V | ### Tautología y Contradicción * Tautología: Una proposición que siempre es verdadera. * Contradicción: Una proposición que siempre es falsa. ### Equivalencia Lógica $P \equiv Q$ si tienen la misma tabla de verdad. ### Leyes de Equivalencia * Doble Negación: $\neg (\neg P) \equiv P$ * Leyes de De Morgan: * $\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$ * $\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$ * Conmutatividad: * $P \land Q \equiv Q \land P$ * $P \lor Q \equiv Q \lor P$ * Asociatividad: * $(P \land Q) \land R \equiv P \land (Q \land R)$ * $(P \lor Q) \lor R \equiv P \lor (Q \lor R)$ * Distributividad: * $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$ * $P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)$ ## 1.2 Conjuntos ### Definición Un conjunto es una colección no ordenada de objetos distintos. ### Notación * $A = \{a, b, c\}$ * $a \in A$ (a pertenece a A) * $d \notin A$ (d no pertenece a A) ### Conjuntos Especiales * Conjunto Vacío: $\emptyset = \{\}$ * Conjunto Universal: U ### Subconjuntos $A \subseteq B$ si todo elemento de A está en B. ### Igualdad de Conjuntos $A = B$ si $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$. ### Operaciones con Conjuntos * Unión: $A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$ * Intersección: $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$ * Diferencia: $A - B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$ * Complemento: $A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}$ ### Leyes de Conjuntos * Conmutativa: * $A \cup B = B \cup A$ * $A \cap B = B \cap A$ * Asociativa: * $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ * $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ * Distributiva: * $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ * $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ * De Morgan: * $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ * $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ ## 1.3 Funciones ### Definición Una función $f: A \rightarrow B$ es una relación que asigna a cada elemento de A exactamente un elemento de B. * A es el dominio. * B es el codominio. * Imagen de $a \in A$ es $f(a)$. * Rango de f es $\{f(a) \mid a \in A\}$. ### Tipos de Funciones * Inyectiva (uno a uno): Si $f(a) = f(b)$, entonces $a = b$. * Sobreyectiva (sobre): Para todo $b \in B$, existe $a \in A$ tal que $f(a) = b$. * Biyectiva: Inyectiva y sobreyectiva. ### Función Inversa Si f es biyectiva, entonces existe $f^{-1}: B \rightarrow A$ tal que $f^{-1}(f(a)) = a$ y $f(f^{-1}(b)) = b$. ### Composición de Funciones $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ### Función Identidad $i_A: A \rightarrow A$ tal que $i_A(a) = a$ para todo $a \in A$.