ریاضی عمومی ۱ ترم اول 92-93

‫ﭘﺎﺳ اﻣﺘﺤﺎن ﭘﺎﯾﺎنﺗﺮم درس رﯾﺎﺿ ﻋﻤﻮﻣ ‪ ،١‬ﺗﺮم اول ‪٩٢-٩٣‬‬ ‫∫‬ ‫‪x٣‬‬ ‫‪et‬‬...

‫ﭘﺎﺳ اﻣﺘﺤﺎن ﭘﺎﯾﺎنﺗﺮم درس رﯾﺎﺿ ﻋﻤﻮﻣ ‪ ،١‬ﺗﺮم اول ‪٩٢-٩٣‬‬ ‫∫‬ ‫‪x٣‬‬ ‫‪et‬‬ ‫= )‪ ،f (x‬ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪی ﺿﺎﺑﻄﻪی )‪.f (x‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪.١‬اﻟﻒ( اﮔﺮ ‪dt‬‬ ‫‪x٢ t‬‬ ‫‪∫ x٣ t‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.lim‬‬ ‫ب( ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪی ‪dt‬‬ ‫‪x→١ ln x x٢ t‬‬ ‫ﺣﻞ‪.‬اﻟﻒ( )‪ ١۵‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫‪et‬‬ ‫= )‪.g(t‬داﻣﻨﻪ ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ‪ g‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ }‪ R − {٠‬اﺳﺖ‪.‬ﺑﻨﺎﺑﺮ اﯾﻦ ‪ f‬ﺑﺮ ﺑﺎزه )∞ ‪ (٠,‬ﻣﺸﺘﻖﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ‬ ‫‪t‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮ ﻗﻀﺎﯾﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‪ ،‬ﻗﺎﻧﻮن زﻧﺠﯿﺮی ﻣﺸﺘﻖ و ﻗﻀﯿﻪ اﺳﺎﺳﯽ ﺣﺴﺎب دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ و اﻧﺘﮕﺮال‪ ،‬دارﯾﻢ‬ ‫‪∫ x٣ t‬‬ ‫‪∫ x٢ t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪dt −‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪t‬‬ ‫و‬ ‫‪x٣‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪x٣‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪٣e − ٢e‬‬ ‫‪f ′ (x) = ٣x٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪− ٢x ٢‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ب( )‪ ١۵‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫∫‬ ‫‪x٣‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫= )‪ f (x‬و ‪ h(x) = ln x‬آﻧﮕﺎه ‪ f‬و ‪h‬‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ﻫﻮﭘﯿﺘﺎل ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬زﯾﺮا اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ ‪dt‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪١‬‬ ‫در ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ ١‬ﻣﺸﺘﻖﭘﺬﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ‪.h′ (x) = ̸= ٠‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫∫‬ ‫‪x٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪et‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪dt = lim‬‬ ‫‪x→١ ln x‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‪x→١ h(x‬‬ ‫)‪f ′ (x‬‬ ‫‪= lim ′‬‬ ‫)‪x→١ h (x‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣ex −٢ex‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪x→١‬‬ ‫‪x‬‬  ‫‪.٢‬ﻧﺎﻣﺴﺎوی زﯾﺮ را ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ x > ٠‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫√‬ ‫‪< sinh−١ (x) < x‬‬ ‫‪١ + x٢‬‬ ‫ﺣﻞ‪.‬‬ ‫راه ﺣﻞ اول‪:‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (x) = sinh−١ x‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ x > ٠‬ﺑﺮ ﺑﺎزه ]‪ [٠, x‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ﺑﺮ ﺑﺎزه )‪ (٠, x‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ‬ ‫ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﻘﻄﻪ )‪ c ∈ (٠, x‬وﺟﻮد دارد ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‬ ‫)‪f (x) − f (٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪sinh−١ x‬‬ ‫= )‪f ′ (c‬‬ ‫√ ⇒=‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x−٠‬‬ ‫‪١ + c٢‬‬ ‫‪x‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ ‪ ٠ < c < x‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽدﻫﺪ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫√‬ ‫√ ٠‬در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪√ x‬‬ ‫‪١+x٢‬‬ ‫راه ﺣﻞ دوم‪ :‬دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (x) = sinh−١ x − x‬و‬ ‫دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫√ = )‪f ′ (x‬‬ ‫‪−١٠‬‬ ‫‪١ + x٢‬‬ ‫‪١ + x٢‬‬ ‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺗﺎﺑﻊ )‪ f (x‬ﻧﺰوﻟﯽ و ﺗﺎﯾﻊ )‪ g(x‬ﺻﻌﻮدی اﺳﺖ‪.‬ﭘﺲ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ x > ٠‬دارﯾﻢ‬ ‫‪f (x) < f (٠),‬‬ ‫‪g(x) > g(٠).‬‬ ‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪sinh−١ x − x < ٠,‬‬ ‫√ ‪sinh−١ x −‬‬ ‫‪>٠‬‬ ‫‪١ + x٢‬‬ ‫ﮐﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽدﻫﺪ‬ ‫‪x‬‬ ‫√‬ ‫‪< sinh−١ x < x.‬‬ ‫‪١+x‬‬‫‪٢‬‬  ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪.٣‬ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮالﻫﺎی زﯾﺮ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪x ln x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫√‬ ‫)اﻟﻒ‬ ‫‪dx‬‬ ‫)ب‬ ‫‪x٢ (١ − x٢ )dx‬‬ ‫‪(١ + x٢ )٢‬‬ ‫‪−١‬‬ ‫ﺣﻞ‪.‬اﻟﻒ( )‪ ١۵‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫‪١ ١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.v = −‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫= ‪ dv‬ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ ‪ du = dx‬و‬ ‫ﺑﺎ ﻓﺮض ‪ u = ln x‬و ‪dx‬‬ ‫‪∫٢ ١ + x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫) ‪∫ (١ + x‬‬ ‫‪x ln x‬‬ ‫‪١ ln x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫( ‪dx = −‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪(١ + x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ١+x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪x(١ + x٢‬‬ ‫ﺑﺮای اﻧﺘﮕﺮال اﺧﯿﺮ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﺠﺰﯾﻪ ﮐﺴﺮﻫﺎ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪A Bx + C‬‬ ‫‪= +‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪x(١ + x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪١ + x٢‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪ ﻓﻮق‪ B = −١ ،A = ١ ،‬و ‪.C = ٠‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫|‪|x‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪( +‬‬ ‫√ (‪)dx = ln |x| − ln(١ + x٢ ) + C = ln‬‬ ‫‪)+C‬‬ ‫) ‪x(١ + x٢‬‬ ‫‪x ١+x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١ + x٢‬‬ ‫∫‬ ‫و از آﻧﺠﺎ‬ ‫‪x ln x‬‬ ‫‪١ ln x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪x‬‬ ‫( ‪dx = −‬‬ ‫√ (‪) + ln‬‬ ‫‪)+C‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫) ‪(١ + x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ١+x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١ + x٢‬‬ ‫ب( )‪ ١۵‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ‪ x = sin t‬ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪sin٢ t‬‬ ‫√‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪cos t dt = sin٢ t dt‬‬ ‫‪١ − x٢‬‬ ‫∫‬ ‫‪cos t‬‬ ‫‪١ − cos ٢t‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫=‬ ‫‪dt = (t − sin ٢t) + C‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫‪(sin−١ x − x ١ − x٢ ) + C‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬ ‫∫‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫√‬ ‫) ‪dt = (sin−١ x − x ١ − x٢‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫‪− ١٢‬‬ ‫‪١ − x٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪− ١٢‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪۴‬‬  ‫∫‬ ‫∞‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪.۴‬ﻫﻤﮕﺮاﯾﯽ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺎﺳﺮه ‪dx‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫∫‬ ‫∞‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮع اﻧﺘﮕﺮالﻫﺎی ﻧﺎﺳﺮه ﻧﻮع اول و دوم ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ ﺑﯿﺎن‬ ‫√‬ ‫ﺣﻞ‪.‬اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺎﺳﺮه ‪dx‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ‪ ۴).‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫∫‬ ‫∞‬ ‫‪٢‬‬ ‫∫‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∫‬ ‫∞‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫√‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫√‬ ‫‪dx +‬‬ ‫√‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫√ ‪ ،lim‬ﭘﺲ اﻧﺘﮕﺮال اول ﻧﺎﺳﺮه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ دارﯾﻢ ﭼﻮن ∞ =‬ ‫‪x→٠‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫√ و √ در ﺑﺎزه ]‪ (٠, ١‬ﻣﺜﺒﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ و‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪√e‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪x٢ +x‬‬ ‫√ ‪= lim‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪=١‬‬ ‫‪x→٠ √١‬‬ ‫‪x→٠‬‬ ‫‪x+١‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∫‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪∫ ١‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻫﻤﮕﺮا اﺳﺖ‪١٣).‬‬ ‫√‬ ‫ﻫﻤﮕﺮا اﺳﺖ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽﺷﻮد ‪dx‬‬ ‫ﭘﺲ ﺑﻨﺎﺑﺮ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺣﺪی‪ ،‬از اﯾﻨﮑﻪ ‪√ dx‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻧﻤﺮه(‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫√ و ‪ ٢‬در ﺑﺎزه )∞ ‪ [١,‬ﻣﺜﺒﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ و‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪√e‬‬ ‫‪x٢ +x‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫√‬ ‫‪=٠‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪x→∞ e‬‬‫‪x‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪x +x‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫∫‬ ‫∞‬ ‫‪٢‬‬ ‫∫‬ ‫∞‬ ‫‪e−x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬ ‫√‬ ‫ﻫﻤﮕﺮاﯾﯽ ‪dx‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺣﺪی‪ ،‬از ﻫﻤﮕﺮاﯾﯽ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺎﺳﺮه ‪dx‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪x٢ + x‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ‪ ،‬اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﻧﯿﺰ ﻫﻤﮕﺮا اﺳﺖ‪ ١٣).‬ﻧﻤﺮه(‬