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## Algèbre linéaire ### Définitions * Un **espace vectoriel** $E$ est un ensemble muni de deux opérations : * Addition : $E \times E \rightarrow E$, $(u, v) \mapsto u + v$ * Multiplication scalaire : $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ vérifian...

## Algèbre linéaire ### Définitions * Un **espace vectoriel** $E$ est un ensemble muni de deux opérations : * Addition : $E \times E \rightarrow E$, $(u, v) \mapsto u + v$ * Multiplication scalaire : $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ vérifiant certaines propriétés (associativité, commutativité, élément neutre, élément opposé, distributivité). * Une **famille** de vecteurs est une liste de vecteurs $(v_1,..., v_n)$. * Une **combinaison linéaire** de vecteurs $v_1,..., v_n$ est une expression de la forme $\lambda_1 v_1 +... + \lambda_n v_n$, où $\lambda_1,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$. * Un **sous-espace vectoriel** $F$ de $E$ est une partie de $E$ qui est elle-même un espace vectoriel. * Une famille $(v_1,..., v_n)$ est **génératrice** si tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de $v_1,..., v_n$. * Une famille $(v_1,..., v_n)$ est **libre** (ou linéairement indépendante) si la seule combinaison linéaire de $v_1,..., v_n$ qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls. * Une **base** de $E$ est une famille à la fois génératrice et libre. * La **dimension** de $E$ est le nombre de vecteurs dans une base de $E$. ### Applications linéaires * Une **application linéaire** $f : E \rightarrow F$ est une fonction qui préserve les opérations d'addition et de multiplication scalaire : * $f(u + v) = f(u) + f(v)$ * $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ * Le **noyau** de $f$ est l'ensemble des vecteurs de $E$ qui sont envoyés sur le vecteur nul de $F$ : $\text{Ker}(f) = \{u \in E \mid f(u) = 0\}$. * L'**image** de $f$ est l'ensemble des vecteurs de $F$ qui sont atteints par $f$ : $\text{Im}(f) = \{f(u) \mid u \in E\}$. ### Matrices * Une **matrice** est un tableau de nombres. * La **taille** d'une matrice est le nombre de lignes et de colonnes. * On peut additionner des matrices de même taille. * On peut multiplier une matrice par un scalaire. * On peut multiplier deux matrices si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. * Le **déterminant** d'une matrice carrée est un nombre qui indique si la matrice est inversible. * L'**inverse** d'une matrice carrée $A$ est une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, où $I$ est la matrice identité. ### Valeurs propres et vecteurs propres * Un **vecteur propre** de $A$ est un vecteur $v$ non nul tel que $Av = \lambda v$, où $\lambda$ est un scalaire appelé **valeur propre**. * Le **polynôme caractéristique** de $A$ est le polynôme $\det(A - \lambda I)$. * Les valeurs propres de $A$ sont les racines du polynôme caractéristique. ### Diagonalisation * Une matrice $A$ est **diagonalisable** s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$. * Les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres de $A$. * Les éléments diagonaux de $D$ sont les valeurs propres de $A$.