Algèbre Linéaire: Concepts de Base

Algèbre linéaire

• L'algèbre linéaire est une branche des mathématiques concernant les espaces vectoriels et les transformations linéaires.

Définitions

• Un espace vectoriel $E$ est un ensemble avec une addition $(u, v) \mapsto u + v$ et une multiplication scalaire $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$.
• Ces opérations d'addition et de multiplication scalaire doivent respecter des règles d'associativité, de commutativité, d'existence d'éléments neutres et opposés, et de distributivité.
• Une famille de vecteurs est une liste ordonnée de vecteurs $(v_1,..., v_n)$.
• Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1,..., v_n$ est une expression de la forme $\lambda_1 v_1 +... + \lambda_n v_n$, où $\lambda_1,..., \lambda_n$ sont des scalaires.
• Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est une partie de $E$ qui est elle-même un espace vectoriel.
• Une famille $(v_1,..., v_n)$ est génératrice si tout vecteur de $E$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des $v_i$.
• Une famille $(v_1,..., v_n)$ est libre si la seule combinaison linéaire des $v_i$ qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.
• Une base de $E$ est une famille à la fois génératrice et libre.
• La dimension de $E$ est le nombre de vecteurs dans une base de $E$.

Applications linéaires

• Une application linéaire $f : E \rightarrow F$ est une fonction qui préserve l'addition et la multiplication scalaire.
• $f(u + v) = f(u) + f(v)$ pour tous vecteurs $u$ et $v$.
• $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ pour tout scalaire $\lambda$ et vecteur $u$.
• Le noyau de $f$, Ker$(f)$, est l'ensemble des vecteurs de $E$ qui sont envoyés sur le vecteur nul de $F$.
• L'image de $f$, Im$(f)$, est l'ensemble des vecteurs de $F$ qui sont atteints par $f$.

Matrices

• Une matrice est un tableau de nombres.
• La taille d'une matrice est déterminée par le nombre de lignes et de colonnes.
• Additionner des matrices est possible seulement pour des matrices de même taille.
• Multiplier une matrice par un scalaire est toujours possible.
• Multiplier deux matrices est possible si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.
• Le déterminant d'une matrice carrée indique si la matrice est inversible.
• L'inverse d'une matrice carrée $A$ est une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, où $I$ est la matrice identité.

Valeurs propres et vecteurs propres

• Un vecteur propre $v$ de $A$ est un vecteur non nul tel que $Av = \lambda v$.
• $\lambda$ est un scalaire appelé valeur propre.
• Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme $\det(A - \lambda I)$.
• Les valeurs propres de $A$ sont les racines du polynôme caractéristique.

Diagonalisation

• Une matrice $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$.
• Les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres de $A$.
• Les éléments diagonaux de $D$ sont les valeurs propres de $A$.