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# Matrizen ## Definition Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten: $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ Dabei si...

# Matrizen ## Definition Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten: $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ Dabei sind $a_{ij}$ die Elemente der Matrix, wobei $i$ den Zeilenindex und $j$ den Spaltenindex angibt. Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten wird als $m \times n$ - Matrix bezeichnet. ## Spezielle Matrizen - **Quadratische Matrix:** Eine Matrix mit gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten ($m = n$). - **Nullmatrix:** Eine Matrix, deren Elemente alle Null sind. - **Einheitsmatrix:** Eine quadratische Matrix, deren Diagonalelemente alle Eins sind und alle anderen Elemente Null sind. $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$ - **Diagonalmatrix:** Eine quadratische Matrix, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen alle Null sind. - **Symmetrische Matrix:** Eine quadratische Matrix $A$, für die $A = A^T$ gilt, wobei $A^T$ die Transponierte von $A$ ist (d.h. $a_{ij} = a_{ji}$ für alle $i, j$). ## Matrixoperationen - **Addition:** Zwei Matrizen $A$ und $B$ können addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben (d.h. die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten). Die Addition erfolgt elementweise: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ - **Skalarmultiplikation:** Eine Matrix $A$ kann mit einem Skalar $c$ multipliziert werden, indem jedes Element der Matrix mit $c$ multipliziert wird: $(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$ - **Matrixmultiplikation:** Das Produkt zweier Matrizen $A (m \times n)$ und $B (n \times p)$ ist eine Matrix $C (m \times p)$, wobei jedes Element $c_{ij}$ von $C$ als das Skalarprodukt der $i$-ten Zeile von $A$ und der $j$-ten Spalte von $B$ berechnet wird: $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$ - **Transposition:** Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird erhalten, indem Zeilen und Spalten von $A$ vertauscht werden: $(A^T)_{ij} = a_{ji}$ ## Beispiel Gegeben seien die Matrizen $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ ### Addition $A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$ ### Skalarmultiplikation $2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ ### Matrixmultiplikation $A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ ### Transposition $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$