Arabic Statistics Textbook PDF

‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬التوزيع التكراري‬...

‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬التوزيع التكراري‬ ‫مقدمة‬ ‫عند إجراء اي دراسة إحصائية‪ ،‬يجب عمى الباحث جمع البيانات الخاصة بالمتغير ( الطول‪ ,‬الوزن‪ ,‬العمر‪ ,‬درجات الطمبة في مريرر ميا‪ ,‬نسيبة‬ ‫الييموجموبين ف الدم‪ ,‬معدل الذكاء ف األطفال و غيره مين المتغييرات الحياتيية ) التي ىي قييد الد ارسية‪.‬عميى سيبيل المثيال‪ ،‬إذا رغيب الباحيث‬ ‫في د ارسيية عييدد األاييخاذ الييذين تعرديوا لمييدغات العرييارب السييامة في منطريية جغرافييية معينيية ( مييثم مدينيية دري في المنطريية الجنوبييية) عمييى‬ ‫مدار السينوات العدييدة الماديية‪ ،‬ف نيو يجيب عمييو جميع البيانيات مين طبياء‪ ,‬مستايفيات‪ ,‬عييادات او إدارات صيحية مختمفية‪.‬بعيد جميع البيانيات‬ ‫يجييب عمييى الباحييث تننيييم البيانييات بطريريية ذات معنييى‪.‬و الطريريية األكثيير ممءميية لتننيييم البيانييات ى ي إنايياء توزيييع تك يراري‪.‬و بنيياء عمييى‬ ‫التوزيعييات التك اررييية بانمكييان رسييم منحنيييات توديييحية متعييددة‪.‬و سييوت تكييون مفيييدة بعييد تننيييم البيانييات ألولئ ي الييذين سيسييتفيدون ميين ىييذه‬ ‫محيدد‪.‬سينتطر في ىيذا الفصيل الي كيفيية ناياء‬ ‫الدراسة ‪ ،‬ىنا العديد مين نيواا المخططيات والرسيوم البيانيية المختمفية‪ ،‬ولكيل منييا غير‬ ‫التوزيع التكراري و رسم المنحنيات من البيانات التي تيم جمعييا مين اي د ارسية‪.‬كميا ايرنا سيابرا في ن العميل ميع مجموعيات كبييرة مين البيانيات‪،‬‬ ‫غالبا ما يكون من المفييد تننييم ىيذه البيانيات وتمخيصييا مين خيمل إناياء جيدول يسيرد قييم البيانيات المختمفية المحتممية ( سيواء بايكل فيردي و‬ ‫ً‬ ‫حسب المجموعات) إلى جانب التك اررات المرابمة‪ ،‬والت تمثل عدد مرات حدوث ىذه الريم‪.‬التوزيع التكراري‪.‬ىو تننيم البيانات الخام ف ايكل‬ ‫جدول‪ ،‬باستخدام الفئات والتك اررات‪.‬‬ ‫ط يوال ( سييم ) عينيية ميين طييمب التعميييم األساس ي حجميييا ‪ 50‬طالييب‪.‬ميين ىييذه البيانييات كييون جييدول التوزيييع‬ ‫مث ا ( ‪ )1‬البيانييات األتييية ى ي‬ ‫تكراري‪.‬‬ ‫‪112 100 127 120 134 118 105 110 109 112‬‬ ‫‪110 118 117 116 118 122 114 114 105 109‬‬ ‫‪107 112 114 115 118 117 118 122 106 110‬‬ ‫‪116 108 110 121 113 120 119 111 104 111‬‬ ‫‪120 113 120 117 105 110 118 112 114 114‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫الخطوة ‪ :1‬نحدد الريمة األعمى و الريمة األقل‪ ,‬ثم نجد المدى بينيما‪.‬و ىما عمى التوال ‪ 134‬و ‪ 100‬و المدى بينيما ىو ‪. 34‬نحدد عدد‬ ‫الفئات و ىو دائما يرع بين ‪ 5‬و ‪ 20‬ف ىذا المثال نختار العدد ‪7‬‬ ‫الخطوة ‪ :2‬نجد نطا الريئة و ذل برسمة العدد ‪ 34‬عمى غدد الفئات و ىو ‪ 7‬ليكون الناتج ‪ 4.85‬نرربو لعدد صحيح فيصبح ‪5‬‬ ‫الخطوة ‪ :3‬ف تكوين الحد األدنى لمفئات نبد بالريمة األقل و ى ‪ 100‬ثم نديت لييا ‪ 5‬لتكون الحد األدنى لمفيئة الثانية (‪ ,)105‬و نستمر‬ ‫بيذه الطريرة حتى الفيئة السابعة (‪.)130‬‬ ‫الخطوة ‪ :4‬ف تكوين الحد األعمى لمفئات نطرح ‪ 1‬من الحد األدنى لمفيئة الثانية ليكون الحد األعمى لمفيئة االولى (‪ ,)104‬و نطرح ‪ 1‬من‬ ‫الحدا ألدنى لمفيئة الثالثة ليكون الحد األعمى لمفيئة الثانية‪ ,‬نستمر عمى ىذه الطريرة الى الفيئة السابعة (‪.)134‬‬ ‫الخطوة ‪ :5‬بعد تكوين الحد األدنى و األعمى لمفئات‪ ,‬نعد كل الريم ف نطا كل فيئة ليكون ىذا تكرار الريم ف كل فيئة‪.‬‬  ‫‪2‬‬ ‫الجدول (‪)1‬‬ ‫التكرار التراكم النسب‬ ‫لمتكرار النسب‬ ‫التكرار التراكم‬ ‫التكرار‬ ‫مركز الريئة‬ ‫حدود الفيئة الفعمية‬ ‫حدود الفيئة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪104.5 – 99.5‬‬ ‫‪104 – 100‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪109.5 – 104.5‬‬ ‫‪109 - 105‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪114.5 – 109.5‬‬ ‫‪114 – 110‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪117‬‬ ‫‪119.5 – 114.5‬‬ ‫‪119 -115‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪124.5 – 119.5‬‬ ‫‪124 – 120‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪129.5 – 124.5‬‬ ‫‪129 – 125‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪132‬‬ ‫‪134.5 – 129.5‬‬ ‫‪134 – 130‬‬ ‫الخطوة ‪ :6‬ف تكوين حدود الفيئة الفعمية نطرح ‪ 0.5‬من الحد األدنى لمفيئة األولى و نديت ‪ 0.5‬لمحد األعمى لمفيئة األول ‪ ,‬و نستمر بيذه‬ ‫الطريرة حتى الفيئة السابعة‪.‬كذل يمكننا يجاد مركز كل فيئة و ذل بجمع الحد الدنى و الحد األعمى لكل فيئة فعمية وقسمتيا عمى ‪ ,2‬كما‬ ‫ىو مودح بالجدول (‪.)1‬‬ ‫الخطوة ‪ :7‬نحسب التكرار التراكم ب دافة تكرار الفيئة األولى لتكرار الفيئة الثانية ليكون التكرار التراكم لمفيئة الثانية‪ ,‬و عميو ف ن التكرار‬ ‫التراكم لمفيئة الثالثة ىو ‪ 28 =10 + 8 + 2‬كما ىو مبين بالجدول (‪.)1‬يمكن حساب التكرار التراكم بطريرة ( قل من ) باستخدام الحد‬ ‫األدنى لمفيئة الفعمية كما ىو مبين بالجدول ‪ ,2‬كاالت ‪.‬‬ ‫الجدول (‪)2‬‬ ‫التكرار التراكم‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 99.5‬قل من‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 104.5‬قل من‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 109.5‬قل من‬ ‫‪28‬‬ ‫‪ 114.5‬قل من‬ ‫‪41‬‬ ‫‪ 119.5‬قل من‬ ‫‪48‬‬ ‫‪ 124.5‬قل من‬ ‫‪49‬‬ ‫‪ 129.5‬قل من‬  ‫‪3‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪ 134.5‬قل من‬ ‫ىذه الحالة نرتب البيانات‬ ‫و الفر بين كبر قيمة و صغر قيمة صغير‪ ,‬ف‬ ‫العينة متراربة الى بعديا البع‬ ‫عندما تكون البيانات ف‬ ‫تصاعديا من صغر قيمة الى كبر قيمة‪ ,‬و كل قيمة ف العينة نطرح منيا ‪ 0.5‬و نديت الييا ‪ 0.5‬لتكون الحد األدنى و الحد األعمى لمفيئة‬ ‫الفعمية عمى التوال ‪ ,‬كما ىو مبين ف المثال (‪ ,)2‬الذي يبين ن الفر بين اكبر قيمة ‪ 19‬و صغر قيمة ‪ 12‬ىو ‪.7‬‬ ‫مثال (‪ )2‬البيانات األتية ى درجات ‪ 30‬طالب ف االمتحان الفصم ف مررر الفيزياء (‪.)20‬كون من ىذه البيانات جدول التوزيع التكراري‪.‬‬ ‫‪12 17 12 14 16 18‬‬ ‫‪16 18 12 16 17 15‬‬ ‫‪15 16 12 15 16 16‬‬ ‫‪12 14 15 12 15 15‬‬ ‫‪19 13 16 18 16 14‬‬ ‫جدول (‪)3‬‬ ‫التكرار التراكم النسب‬ ‫التكرار النسب‬ ‫التكرار التراكم‬ ‫التكرار‬ ‫مركز الفيئة‬ ‫حدود الفيئة الفعمية‬ ‫حدود الفيئة‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12.5 – 11.5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪23.33‬‬ ‫‪3.33‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13.5 – 12.5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪33.33‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14.5 – 13.5‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪53.33‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15.5 – 14.5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪26.66‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16.5 – 15.5‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪86.66‬‬ ‫‪6.66‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪17.5 – 16.5‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪96.66‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18.5 – 17.5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪3.33‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19.5 – 18.5‬‬ ‫‪19‬‬ ‫اكل‬ ‫انحصاء ىو نرل البيانات ف‬ ‫من المنحنيات ف‬ ‫اكل منحنيات‪.‬الغر‬ ‫توزيع تكراري‪ ،‬يمكننا ترديميا ف‬ ‫بعد تننيم البيانات ف‬ ‫رقميا ف الجداول و التوزيعات‬ ‫بيانيا من البيانات المعرودة ً‬ ‫مصور من األسيل لمعنم الميتمين بدراسة ما فيم معنى البيانات المعرودة ً‬ ‫التك اررية‪..‬يمكن استخدام الرسوم البيانية انحصائية لوصت مجموعة البيانات و تحميميا‪.‬فيمايم سوت نروم بتمثيل التك اررات و التك اررات‬ ‫النسبية و و التراكمية عمى اكل منحنيات‪.‬‬ ‫‪ -2‬مق يس النزعة المركزية و التشتت‪.‬‬ ‫مقدمة‪.‬‬ ‫ف الدروس السابرة بينا كيت يمكن الحصول عمى معمومات مفيدة من البيانات األولية عن طري التننيم ليذه البيانات ف توزيع‬ ‫يمكن استخداميا لتمخيذ‬ ‫البيانات باستخدام الرسوم البيانية المختمفة‪.‬ويبين ىذا الفصل الطر انحصائية الت‬ ‫تكراري ومن ثم عر‬ ‫البيانات‪.‬األكثر الم لوت ليذه األساليب ىو إيجاد المتوسطات‪.‬عمى سبيل المثال‪ ،‬قد ترر ن متوسط سرعة السيارة الت تعبر وسط المدينة‬ ‫خمل النيار ىو ‪ 60‬كم ف الساعة و ن متوسط وزان األطفال المواليد ىو ‪ 3.900‬كجم الذين يبمغون من العمر ‪ 24‬ساعة‪ ,‬و ان متوسط‬  ‫‪4‬‬ ‫درجات مادة الرياديات ف الايادة الثانوية ليذه السنة ى ‪.61.5‬ف ىذه األمثمة‪ ،‬تكون كممة المتوسط غامدة‪ ،‬حيث يمكن استخدام عدة‬ ‫ايوعا‪.‬وتسمى مراييس المتوسط‬ ‫ً‬ ‫طر مختمفة لمحصول عمى المتوسط‪.‬وبعبارة خرى‪ ،‬ف ن المتوسط يعن مركز التوزيع و الحالة األكثر‬ ‫يدا مراييس االتجاه المركزي وتامل المتوسط والوسيط والمنوال والمدى و المتوسط الموزون‪.‬إن معرفة متوسط مجموعة من البيانات ال‬ ‫ً‬ ‫تكف لوصت مجموعة البيانات بالكامل‪.‬فمثم صاحب متجر حذية يعرت ن متوسط حجم حذاء الرجل ىو مراس ‪ ،44‬ف نو لن يستمر ف‬ ‫العمل لفترة طويمة إذا طمب حذية مراس ‪ 44‬فرط‪.‬كما يودح ىذا المثال‪ ،‬باندافة إلى معرفة المتوسط‪ ،‬يجب ن تعرت كيت تتاتت قيم‬ ‫تحدد‬ ‫جميع نحاء التوزيع؟ تسمى المراييس الت‬ ‫البيانات‪.‬ي ىل تتجمع قيم البيانات حول المتوسط‪ ،‬م ن تنتار باكل كثر توازناً ف‬ ‫خيرا‪،‬‬ ‫انتاار قيم البيانات مراييس التباين‪ ،‬و مراييس التاتت‪.‬وتامل ىذه المراييس المدى والتباين واالنحرات المعياري و معامل التباين‪.‬و ً‬ ‫ىنا مجموعة خرى من المراييس درورية لوصت البيانات‪.‬تُسمى ىذه المراييس بمراييس المودع‪.‬وى تخبرنا بمكان وقوا قيمة بيانات‬ ‫العاريات‬ ‫ايوعا ى التنسيب النسب و ُ‬ ‫ً‬ ‫معينة دمن مجموعة البيانات و مودعيا النسب بالمرارنة بريم بيانات خرى‪.‬و كثر مراييس المودع‬ ‫حيانا باسم المعايير‪.‬تُعتبر مراييس‬ ‫ً‬ ‫وياار إلييا‬ ‫الربعيات‪.‬وتُستخدم ىذه المراييس عمى نطا واسع ف عمم النفس والتعميم و عموم الحياة‪ُ.‬‬ ‫وُ‬ ‫النزعة المركزية والتباين و تحديد المودع المودحة ف ىذا الفصل ىم مفاىيم انحصاء الوصف و الترميدي‪.‬‬ ‫‪ -1‬المتوسط‬ ‫يدا باسم المتوسط الحساب ‪ ،‬عن طري إدافة قيم البيانات وقسمتيا عمى العدد انجمال لمريم‪.‬عمى سبيل‬ ‫يتحسب المتوسط‪ ،‬المعروت ً‬ ‫المثال‪ ،‬يحسب متوسط ااكتب المعادلة هنا لريم ‪ 3‬و‪ 2‬و‪ 6‬و‪ 5‬و‪ 4‬عن طري إدافة ‪ 4 +5+ 6+ 2+ 3‬ليكون المجموا ىو ‪ 20‬وقسمتيا عمى‬ ‫‪5‬؛ وبالتال ‪ ،‬يكون متوسط البيانات ىو ‪.4‬ذا كان لدينا عينة حجميا ‪ 20‬و ى ‪ x1 x2 x3 x4 …..x20‬ف ن متوسطيا‪.‬‬ ‫̅‬ ‫حيث ̅ ى المتوسط‪.‬‬ ‫∑‬ ‫=̅‬ ‫‪ n‬حجم العينة‪.‬و يمكن صياغة المعادلة كاآلت ‪.‬‬ ‫مث ( ‪)1‬‬ ‫البيانات األتية عدد يام انجازة ف السنة لعينة من األفراد تم اختيارىم باكل عاوائ من تسع مؤساسات‪.‬اوجد المتوسط‪.‬‬ ‫‪20, 26, 40, 36, 23, 42, 35, 24, 30‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫̅‬ ‫ق عدة التقريب لممتوسط‪ :‬يجب ترريب المتوسط إلى خانة عارية واحدة كثر مما ف البيانات‪.‬عمى سبيل المثال‪ ،‬إذا كانت البيانات الخام‬ ‫ب عداد صحيحة‪ ،‬فيجب ترريب المتوسط إلى قرب جزء من عارة (اي رقم واحد بعد الفاصمة) إذا كانت البيانات ب عداد من عارة‪ ،‬فيجب‬ ‫ترريب المتوسط إلى قرب جزء من مائة‪ ( ،‬اي رقمين بعد الفاصمة ) وىكذا‪.‬‬  ‫‪5‬‬ ‫حس ب المتوسط من بي ن ت الفئ ت‪ :‬يمكن حساب المتوسط من بيانات الفئة كما ىو مبين ف الجدول (‪.)4‬‬ ‫‪F* Xm‬‬ ‫مركز الفئة ‪Xm‬‬ ‫التكرار ‪F‬‬ ‫حدود الفئة الفعمية‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10.5 5.5‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15.5 10.5‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪20.5 15.5‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25.5 20.5‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪30.5 25.5‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪35.5 30.5‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40.5 35.5‬‬ ‫المجموا ‪490‬‬ ‫المجموا ‪20‬‬ ‫= ‪24.5‬‬ ‫المتوسط =‬ ‫‪ -2‬الوسيط ‪ :‬ىو الريمة الوسطية ف العينة‪.‬ذا افتردنا ن وسيط وزان األطفال المواليد ىو كجم ‪. 3.250‬يعن ىذا المرياس‬ ‫لمتجاه المركزي ن نصت األطفال كثر من ‪ 3.250‬كجم ونصفيم اآلخر قل من ‪ 3.250‬كجم ‪.‬الوسيط ىو نرطة المنتصت ف مجموعة‬ ‫البيانات‪.‬قبل ن تتمكن من العثور عمى ىذه النرطة‪ ،‬يجب ترتيب البيانات‪.‬عندما يتم ترتيب مجموعة البيانات‪ ،‬يطم عمييا مصفوفة بيانات‪.‬‬ ‫سيكون الوسيط إما قيمة محددة ف مجموعة البيانات و يرع بين قيمتين‪ ،‬كما ىو مودح ف األمثمة األتية‪.‬‬ ‫مث ( ‪) 2‬‬ ‫البيانات األتية ى درجات طالب جامع ف سبع مواد ف فصل دراس ‪.‬وجد الوسيط‪.‬‬ ‫‪. 75 58 80 70 77 69 65‬‬ ‫كما ىو مبين ف ن الوسيط ىو ‪70‬‬ ‫الح(‪ :‬نرتب البيانات ‪80 77 75 70 69 65 58 :‬‬ ‫الوسيط‬ ‫مث ( ‪.)2‬‬ ‫اوجد الوسيط من البيانات األتية‪60 44 52 55 40 45 35 33 :‬‬ ‫= ‪ 44.5‬نمحن ان الوسيط يرع بين ‪ 44‬و ‪45‬‬ ‫الح(‪ :‬نرتب البيانات‪60 55 52 45 44 40 35 33.‬‬ ‫عميو نحسب الوسط بينيما‪.‬الوسيط‬ ‫‪ -3‬المنوا(‬ ‫المرياس الثالث لمنزعة المركزية يسمى المنوال‪.‬المنوال ىو الريمة األكثر تك ار ار ف مجموعة البيانات‪.‬‬ ‫مث ( ‪ :)4‬من البيانات األتية وجد المنوال‪.‬‬  ‫‪6‬‬ ‫‪12 6 9 10 11 12 11 11‬‬ ‫‪.20 21 23 24 25 22 22 21 22‬‬ ‫المنوال ‪ 11‬و ‪ 12‬األكثر تكرار ( منوالين )‬ ‫الح(‪ :‬المنوال ىو ‪ 22‬األكثر تكرار‪ (.‬منوال واحد )‬ ‫ممحنة‪ :‬يمكن ان يكون ىنا اكتر من منوال ف مجموعة البيانات‪.‬كذل نستطيع اجاد المنوال من بيانات الفئة‬ ‫مثال (‪ :)5‬اوجد المنوال من بيانات الفئة األتية‪.‬‬ ‫مركز الفئة‬ ‫التكرار‬ ‫حدود الفئة الفعمية‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10.5 5.5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15.5 10.5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪20.5 15.5‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25.5 20.5‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪30.5 25.5‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪35.5 30.5‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40.5 35.5‬‬ ‫المنوال‬ ‫الح(‪ :‬قيمة التكرار األكبر ىو التكرار ‪. 5‬‬ ‫‪ -4‬المدى الوسطي‬ ‫المدى الوسط ىو تردير ترريب لممتوسط‪.‬يتم إيجاده عن طري إدافة دنى و عمى الريم ف مجموعة البيانات وقسمتيا عمى ‪.2‬‬ ‫إنو تردير ترريب لمغاية لممتوسط‪.‬ويمكن ن يت ثر بريمة عالية و منخفدة لمغاية ف مجموعة البيانات‪.‬‬ ‫= ‪5.5‬‬ ‫مث ( ‪ :)6‬وجد المدى الوسط من البيانات األتية‪ 5 7 9 5 4 6 2 5.‬الح(‪:‬‬ ‫‪ -5‬المتوسط الموزون‬ ‫ن طالب تحصل ف‬ ‫األحيان‪ ،‬يجب عمينا إيجاد متوسط مجموعة بيانات ال يتم فييا تمثيل جميع الريم بالتساوي‪.‬لنفتر‬ ‫ف بع‬ ‫اربع مواد دراسية عمى الدرجات األتية‪ 60 75 80 65 ,‬اذا ثم حساب المتوسط بالطريرة العادية ىذا لن يكون صحيح ألننا لم نحسب عدد‬ ‫إدافيا (الوحدات مثم) اسم المتوسط الموزون‪ ،‬ويتم استخدامو‬ ‫ً‬ ‫عامم‬ ‫ً‬ ‫وحدات كل مادة‪ُ.‬يطم عمى نوا المتوسط الذي ي خذ ف االعتبار‬ ‫عندما ال يتم تمثيل الريم بالتساوي ‪.‬من اىم استخدامات ىذا المتوسط ىو ف حساب المعدل التراكم لمطمبة‪.‬يمكن حساب المتوسط الموزون‬ ‫لممتغير ‪ X‬عن طري درب كل قيمة ف وزنيا المرابل وقسمة مجموا حاصل الدرب عمى مجموا األوزان‪.‬و يحسب رياديا كاآلت‬ ‫̅‬ ‫حيث ‪ X‬الريمة ف العينة و ‪ W‬وزن الريمة ف العينة‪.‬‬ ‫مث ( ‪.)6‬حصل طالب عمى درجة ‪ A‬ف المغة اننجميزية ‪ 3‬ساعات ودرجة ‪ C‬ف مردمة عمم النفس (‪ 3‬ساعات)‪ ،‬ودرجة ‪ B‬ف عمم‬ ‫األحياء (‪ 4‬س ع ت) ودرجة ‪ D‬ف التربية البدنية (‪ 2‬ساعة)‪.‬عمما ب ن ‪ 4= A‬و‪ 3 = B‬و ‪ 2 = C‬و ‪ ،1 = D‬وجد المتوسط الموزون‬ ‫لدرجات الطالب‪.‬‬  ‫‪7‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫ف ىذه المعادلة‬ ‫نعو‬ ‫تغن‬ ‫ممحنة‬ ‫‪ -3‬مق يس التشتت‬ ‫األحيان قد‬ ‫بع‬ ‫ن نحسب قيم النزعة المركزية فرط‪ ,‬مثل المتوسط و الوسيط‪ ,‬ألنو ف‬ ‫لوصت مجموعة من البيانات ال يكف‬ ‫يتساو متوسط و وسيط عينتين من البيانات بينما ىما مختمفتين‪.‬المثال التال يبين لنا ىذا المفيوم‪.‬‬ ‫العينة (‪60 50 40 30 20 10 )2‬‬ ‫العينة (‪45 40 35 35 30 25 )1‬‬ ‫متوسط العينة (‪ 35 )1‬و وسيطيا ‪ ,35‬كذل متوسط العينة (‪ )2‬ىو ‪ 35‬و وسيطيا ‪.35‬ىذا المثال يعطينا انطباا مباار عمى ن العينتين‬ ‫متطابرتين‪ ,‬و ىذا غير صحيح‪.‬عمى ساس ىذا المفيوم عمينا استخدام مرايس إحصائية خرى لوصت بيانات العينة‪.‬ىذه المراييس ى‬ ‫المدى التباين‪ ,‬االنحرات المعياري‪ ,‬و معامل التباين‪.‬‬ ‫‪-1‬المدى‪ :‬حد مرايس التاتت‪ ,‬و ىو الفر بين اكبر قيمة و صغر قيمة ف العينة‪ ,‬فف المثال الساب يكون مدى العينة (‪ )1‬ىو ‪ 20‬و‬ ‫مدى العينة (‪ )2‬ىو ‪ 50‬و ىذا يعطينا انطباا عمى ان تاتت العينة ‪ 1‬ىو اقل من العينة ‪ ,2‬كذل يمكننا ان نستنتج ان تجانس العينة ‪ 1‬ىو‬ ‫اكبر من تجانس العبنة ‪.2‬‬ ‫ف العينة‪.‬و ىو حد مرايس التاتت او التباين ف العينة‪ ,‬و يعرت عمى انو متوسط مربع‬ ‫ف العايرة و‬ ‫‪ -2‬التب ين‪ :‬ويرمز لو‬ ‫المسافة بين الريمة و متوسط العينة‪.‬و بالتال فكمما كانت الريم ف العينة قريبة من المتوسط تكون قيمة التباين صغيرة‪ ,‬و كمما كانت الريم‬ ‫ف العينة بعيدة عن المتوسط كان التباين اكبر‪.‬‬ ‫الصيغة الري ضية لحس ب التب ين‪:‬‬ ‫) (∑‬ ‫∑‬ ‫‪ n‬حجم العينة‪.‬‬ ‫) ∑( مجموا الريم تربيع‬ ‫∑ مجموا مربعات الريم ف العينة‬ ‫حيث‬ ‫مث ( ‪: )7‬‬ ‫البيانات األتية ى اطوال عدد ‪ ( 10‬م ) طمبة من عينة عاوائية بكمية اآلداب و العموم‪ /‬زمزم‪.‬‬ ‫‪1.65 1.75 1.80 1.59 1.74 1.70 1.69 1.68 1.75 1.65‬‬ ‫الح(‪ :‬نرتب البيانات كما ىو مبين ف الجدول‬ ‫∑‬ ‫‪1.65‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.80‬‬ ‫‪1.59‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.70‬‬ ‫‪1.69‬‬ ‫‪1.68‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.65‬‬ ‫‪X‬‬ ‫∑‬ ‫‪2.723 3.063 3.240‬‬ ‫‪2.528‬‬ ‫‪3.063‬‬ ‫‪2.089‬‬ ‫‪2.856‬‬ ‫‪2.822‬‬ ‫‪3.063‬‬ ‫‪2.723‬‬ ‫‪X2‬‬  ‫‪8‬‬ ‫الح(‬ ‫) (∑‬ ‫∑‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫مث ( ‪:)7‬‬ ‫من البيانات األتية وجد التباين‪12 18 20 45 60 20 25.‬‬ ‫الح(‪ :‬نرتب البيانات ف جدول‪.‬‬ ‫∑‬ ‫‪12‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪X‬‬ ‫∑‬ ‫‪144‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪2025‬‬ ‫‪3600‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ق عدة التقريب‪.‬يررب الناتج الى اقرب رقم عاري واحد بعد الفاصمة ألن البيانات عداد صحيحة‪.‬عميو يكون الناتج ‪300.6‬‬ ‫حس ب التب ين من بي ن ت الفئة‪.‬يمكن حساب التباين من بيانات الفئة كاالت ‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪f.xm‬‬ ‫مركز الفئة ‪xm‬‬ ‫التكرار ‪f‬‬ ‫الفئة‬ ‫‪64‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10.5-5.5‬‬ ‫‪338‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15.5-10.5‬‬ ‫‪972‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪20.5-15.5‬‬ ‫‪2645‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25.5-20.5‬‬ ‫‪3136‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪30.5-25.5‬‬ ‫‪3267‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪35.5-30.5‬‬ ‫‪2888‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40.5-35.5‬‬ ‫(∑‬ ‫)‬ ‫∑‬ ‫∑(‬ ‫)‬ ‫(∑‬ ‫)‬ ‫(∑ مجموا مربعات الريم‬ ‫)‬ ‫∑( مجموا الريم مربعة‪,‬‬ ‫حيث )‬ ‫(‬ ‫)‬  ‫‪9‬‬ ‫‪ -3‬االنحراف المعي ري‪ :‬حد مرايس التاتت وىو الجذر التربيع لتباين‪ ,‬و يرمز لو ‪ σ‬ف العايرة و ‪ S‬ف العينة‪.‬و يحسب رياديا كاالت‬ ‫‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪ 300.6‬حسب االنحرات المعياري‬ ‫مث ( ‪ :)8‬ذا عممت ن‬ ‫√‬ ‫√‪S‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ -3‬الخطأ المعي ري‪ :‬ىو االنحرات المعياري مرسوم عمى جذر حجم الغينة‪ ,‬و يرمز لو بالرمز ‪.SE‬ويحسب رياديا كاالت ‪,‬‬ ‫√‬ ‫مث ( ‪ :)9‬حسب الخط المعياري ذا عممت ان ‪. S= 17.1‬و حجم العينة يساوي ‪.7‬‬ ‫=‪SE‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪C.V‬‬ ‫̅‬ ‫‪ -5‬مع م( التب ين‪ :‬ىو االنحرات المعياري مرسوم عمى المتوسط‪ ,‬و و يرمز لو ‪ C.V‬يعبر عنو كنسبة مئوية‪100 ,‬‬ ‫مث ( ‪ :)11‬اوجد معامل التباين ذا عممت ان ‪ S=17.3‬و المتوسط يساوي ‪.28.6‬‬ ‫=‪C.V‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫‪ -4‬مبرهنة تشيبيشيف و تحديد موضع البي ن ت في العينة‪.‬‬ ‫كما ذكرنا سابرًا‪ ،‬يمكن استخدام التباين واالنحرات المعياري لمتغير ما ( الطول‪ ,‬الوزن‪ ,‬الييموجموبين‪ ,‬الذكاء و درجات الح اررة )‬ ‫لتحديد انتاار و تاتت متغير‪.‬ي نو كمما زاد التباين و االنحرات المعياري‪ ،‬كمما كانت قيم البيانات كثر تاتتًا و تباين‪.‬عمى سبيل المثال‪،‬‬ ‫إذا كان لدينا متغيرين مريسين بنفس الوحدات و ليما نفس المتوسط‪ ،‬و ليكون ‪ ،70‬وكان لممتغير األول انحرات معياري قدره ‪ 1.5‬بينما كان‬ ‫انتاار من بيانات المتغير األول‪.‬تحدد مبرىنة تايبيايت‪،‬‬ ‫ًا‬ ‫لممتغير الثان انحرات معياري قدره ‪ ،10‬ف ن بيانات المتغير الثان ستكون كثر‬ ‫الت طورىا عالم الرياديات الروس تايبيايت (‪ ،)1894-1821‬نسب انتاار البيانات ف العينة من حيث االنحرات المعياري‪.‬‬ ‫و يجب ان تكون ‪ K‬كبر من ‪.1‬و تنذ‬ ‫و تنذ ىذه الننرية عمى ان نسبة قيم البيانات المحصورة بين ‪ K‬انحرات معياري ى‬ ‫ىذه الننرية عمى ن ثمثة رباا عمى األقل‪ ،‬و ‪ ،%75‬من قيم البيانات ف العينة سوت ترع دمن انحرافين معياريين عن متوسط مجموعة‬ ‫‪.‬‬ ‫‪= 1-‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.75‬‬ ‫‪ 2‬ف ‪.K‬كاالت ‪:‬‬ ‫البيانات‪.‬ويمكن التوصل إلى ىذه النتيجة عن طري تعوي‬ ‫ذا كان متوسط العينة ‪ 70‬و انحرافيا المعياري‬ ‫وجد نسبة البيانات المحصورة بين ‪ 2‬انحرات معياري عن المتوسط‪.‬كذل‬ ‫مث ( ‪:)1‬‬ ‫‪ 1.5‬وجد الحد األعمى و الحد األدنى لمريم‪.‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫و ‪0.75‬‬ ‫‪%75‬‬ ‫الحد األعمى ‪70 + 2 (1.5 ) = 70 + 3 = 73‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫الحد األدنى ‪70 - 2 (1.5 ) = 70 - 3 = 67‬‬ ‫مث ( ‪ :)2‬وجد نسبة البيانات المحصورة بين ‪ 3‬انحرات معياري‪ ,‬كذل الحد األعمى و األدنى ليذه البيانات‪ ,‬عمما ب ن متوسطيا ‪ 70‬و‬ ‫االنحرات المعياري ‪1.5‬‬  ‫‪11‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫و ‪0.889‬‬ ‫‪%88.9‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫‪70 + 3 (1.5) = 74.5‬‬ ‫الحد األعمى‬ ‫‪70 - 3 )1.5( = 65.5‬‬ ‫الحد األدنى‬ ‫‪ -5‬مق ييس الموضع‬ ‫باندافة إلى مراييس النزعة المركزي ومراييس التباين‪ ،‬ىنا مراييس المودع و الموقع‪.‬تتدمن ىذه المراييس الدرجات المعيارية‬ ‫والنسب المئوية والربيعيات‪.‬تُستخدم لتحديد المودع النسب لريمة بيانات ف مجموعة البيانات‪.‬عمى سبيل المثال‪ ،‬إذا كانت الريمة ترع عند‬ ‫النسبة المئوية الثمانين‪ ،‬فيذا يعن ن ‪ %80‬من الريم ترع دنى منيا ف التوزيع و‪ %20‬من الريم ترع عمى منيا‪.‬و ليذا المتوسط ىو الريمة‬ ‫الت تتواف مع النسبة المئوية الخمسين‪ ،‬حيث ن نصت الريم ترع سفميا ونصت الريم ترع عمى منيا‪.‬‬ ‫‪ -1‬الدرج ت المعي رية‬ ‫طالبا حصل عمى ‪90‬‬‫ال يمكن مرارنة قيمتين تختمفان ف وحدات الرياس‪.‬ولكن باستخدام انحصاء يمكن الريام بذل ‪.‬لنفتر ن ً‬ ‫درجة ف اختبار ف مررر الكيمياء و‪ 45‬درجة ف اختبار المغة اننجميزية‪.‬المرارنة المباارة لمدرجات مستحيمة‪ ،‬ألن االختبارات قد ال تكون‬ ‫متكافئة من حيث عدد األسئمة وقيمة كل سؤال‪ ،‬ومع ذل ‪ ،‬يمكن إجراء المرارنة بمعيار نسب مماثل لكمييما تستخدم ف ىذه المرارنة المتوسط‬ ‫واالنحرات المعياري وتسمى ىذه الطريرة بالدرجة المعيارية و درجة ‪.z‬و ى عدد االنحرافات المعيارية الت تكون قيمة البيانات عمى و قل‬ ‫صفرا‪ ،‬ف ن الريمة تساوي المتوسط تماما‪ ,‬و ذا كانت قيمة ‪ Z‬المعيارية‬ ‫من المتوسط لتوزيع معين من الريم‪.‬ف ذا كانت الدرجة المعيارية ( ‪ً ) Z‬‬ ‫موجبة ف ن الريمة ى كبر من المتوسط و ذا كانت قيمة ‪ Z‬المعيارية سالبة في قل من المتوسط‪.‬و دائما سوت نعبر عن الريمة المعيارية‬ ‫ب نيا ‪.Z‬و بيذا يتم الحصول عمى الدرجة المعيارية ( ‪ ) Z‬و الدرجة المعيارية لريمة ما عن طري طرح المتوسط من الريمة وقسمة النتيجة‬ ‫عمى االنحرات المعياري‪.‬‬ ‫̅‬ ‫‪Z‬‬ ‫و الصيغة الريادية لحساب الدرجة المعيارية ى كاالت ‪:‬‬ ‫‪ S‬االنحرات المعياري لمعينة‬ ‫‪ X‬الريمة المراد معايرتيا‪.‬‬ ‫حيث ̅ متوسط العينة‪.‬‬ ‫مث ( ‪ :)1‬حصمت طالبة عمى ‪ 65‬درجة ف اختبار حساب التفادل والتكامل بمتوسط ‪ 50‬وانحرات معياري ‪10‬؛ وحصمت عمى ‪ 30‬درجة‬ ‫ف اختبار التاريخ بمتوسط ‪ 25‬وانحرات معياري ‪.5‬قارن بين الدرجتين باستخدام قيم ‪ Z‬المعيارية ف االختبارين‪.‬‬ ‫‪ X‬و ىذا يعن ان الطالبة تحصمت عمى درجة اكبر من المتوسط بمردار ‪ 1.5‬درجة من وحدات االنحرات‬ ‫‪1.5‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫‪ Z‬و ىذا يعن ان الطالبة تحصمت عمى درجة اكبر من المتوسط بمردار ‪1.0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المعياري‪.‬و ف الحالة الثانية‪:‬‬ ‫درجة من وحدات االنحرات المعياري‪.‬و بيذا نستطيع ان نرارن بين درجات الطالبة ف المرررين‪ ,‬و يكون درجتيا ف ما\ة التفادل و التكامل‬ ‫فدل من درجتيا ف مادة التاريخ‪.‬‬ ‫مث ( ‪ :)2‬قارن بين درجات المادتين‪.‬‬ ‫‪5=S‬‬ ‫الدرجة = ‪38‬‬ ‫المتوسط = ‪40‬‬ ‫المادة ‪A‬‬ ‫‪10 = S‬‬ ‫الدرجة = ‪94‬‬ ‫المتوسط = ‪100‬‬ ‫المادة‪B :‬‬  ‫‪11‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫الح( ‪ :‬المادة ‪-0.4.A‬‬ ‫‪ Z‬بيذا يكون نتيجة الطالب ف المادة ‪ A‬فدل من نتيجتو ف المادة ‪B‬‬ ‫المادة ‪- 0.6. B‬‬ ‫‪ -2‬الميئي ت ‪:‬‬ ‫الميئي ت ى حد مراييس لمودع تُستخدم ف المجاالت التعميمية والصحية لإلاارة إلى ودع الفرد ف مجموعة البيانات‪.‬و ى ترسيم‬ ‫مجموعة البيانات إلى ‪ 100‬مجموعة متساوية‪.‬الصيغة الريادية لمميئيات ى كاالت ‪.‬‬ ‫قل من‬ ‫ى‬ ‫عدد الريم الت‬ ‫‪P‬‬ ‫عدد كل الريم ف العينة‬ ‫مث ( ‪ :)4‬الريم األتية ى درجات عار طمبة‪ ,‬الدرجة من ‪.20‬وجد مودع الدرجة ‪ 12‬باستخدام الميئيات‪.‬‬ ‫نرتب البيانات كاالت ‪20 18 15 12 10 8 6 5 3 2‬‬ ‫‪.10 20 5 3 2 8 6 12 15 18‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪.100‬‬ ‫‪65 th‬‬ ‫قل من ‪ ) X ( 12‬ى ‪.)10 8 6 5 3 2( 6‬‬ ‫الح(‪ :‬الريم الت ى‬ ‫و يعن ان ىذه الدرجة ‪ 12‬ترتيبيا الخامسة و الستون ف عينة البيانات‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬الريم الث ى اصغر من ‪ 18‬ى ‪) 2 3 5 6 8 10 12 15 ( 8‬‬ ‫مث ( ‪ :)5‬وجد موقع الريمة ‪18‬‬ ‫‪ P‬و ىذا يعن ان الدرجة ‪ 18‬ى الخامسة و الثمانون ف الترتيب البيانات‬ ‫‪. 100 = 85 th‬‬ ‫‪ -3‬الربيع ت‪.‬‬ ‫ف الربيعات ترسم مجموعة البيانات الى اربع اقسام بواسطة الوسيط األول و الثان و الثالث‪.‬الوسيط الثان (‪ )Q2‬ىو وسيط العينة‬ ‫صغر من قيمة الوسيط الثان ‪ ,‬اما الوسيط الثالث (‪ )Q3‬فيو وسيط البيانات الت ى‬ ‫و الوسيط األول (‪ )Q1‬ىو وسيط البيانات الت ى‬ ‫اصغر قيمة‬ ‫‪Q1‬‬ ‫‪Q2‬‬ ‫‪Q3‬‬ ‫اكبر قيمة‬ ‫اكبر من قيمة الوسيط الثان ‪.‬‬ ‫‪%25‬‬ ‫‪%25‬‬ ‫‪%25‬‬ ‫‪%25‬‬ ‫مث ( ‪ :)6‬قسم البيانات األتية الى ربيعات ‪15, 13, 6, 5, 12, 50, 22, 18.‬‬ ‫صغر‬ ‫‪ 14‬الوسيط األول ىو وسيط الريم الت‬ ‫الوسيط الثان (‪)Q2‬‬ ‫الح(‪ :‬نرتب البيانات ‪5, 6, 12, 13, 15, 18, 22, 50‬‬ ‫كبر من ‪50 22 18 15.14‬‬ ‫الوسيط الثالث (‪ )Q3‬الريم الت‬ ‫‪9‬‬ ‫من ‪ 14‬كاالت ‪Q1 13 12 6 5 :‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Q3‬‬ ‫‪Q1 = 9‬‬ ‫‪Q2 =14‬‬ ‫‪Q3 = 20‬‬ ‫‪ 5‬و بناء عمى ىذا يكون‬ ‫‪%25‬‬ ‫‪%25‬‬ ‫‪%25‬‬ ‫‪%25‬‬ ‫‪50‬‬ ‫موقع البيانات كاالت ‪.‬‬ ‫‪ 15‬و ‪ 18‬بيانات الربع الرابع ى ‪50 22‬‬ ‫بيانات الربع األول ى ‪ 5‬و ‪ 6‬بيانات الربع الثان ى ‪ 12‬و ‪ 13‬بيانات الربع الثالث ى‬  ‫‪12‬‬ ‫‪ -4‬البي ن ت الخ رجة عن نط ق العينة‪:‬‬ ‫األحيان قد توجد قيم ف العينة كبيرة و احيانا صغيرة قد تؤثر ف نتائج العمميات انحصائية‪ ,‬مثل التباين‪ ,‬المتوسط او كثير من‬ ‫ف بع‬ ‫العمميات انحصائية االخرى‪.‬و عمى الباحث الت كد من ان بيانات دراستو ليست بيا قيم خارجة عن نطا العينة‪.‬‬ ‫‪5, 6, 12, 13, 15, 18, 22, 50‬‬ ‫مث ( ‪ :)1‬اوجد اذا كانت ىنا بيانات خارجة عن نطا العينة من البيانات األتية‪.‬‬ ‫الح(‪:‬‬ ‫صغر‬ ‫= ‪ Q2‬الوسيط األول ىو وسيط الريم الت‬ ‫نجد وسيط العينة ثم نحسب الوسيط االول و الوسيط الثالث‪.‬وسيط العينة ‪= 14‬‬ ‫= ‪ Q3‬نجد المدى بين ‪ Q3‬و‬ ‫‪=20‬‬ ‫ثم نجد الوسيط الثالث لمريم الت ى اكبر من ‪.14‬‬ ‫= ‪Q1‬‬ ‫من ‪14‬‬ ‫ندرب الناتج ف ‪ 1.5‬اي ان ‪.16.5 = )11( 1.5‬‬ ‫‪11 = 9 - 20‬‬ ‫‪.Q3 – Q1‬‬ ‫‪ Q1‬كاالت‬ ‫نطرح الريمة ‪ 16.5‬من الوسيط األول ‪ 7.5- =16.5 - 9‬ثم نديت ‪ 16.5‬الى الوسيط الثالث ‪ 36.5 =16.5 + 20‬ثم نحدد ىل ىنا‬ ‫بيانات اصغر من ‪ 7.5-‬او اكبر من ‪. 36.5‬من البيانات يتدح ان ‪ 50‬ى خارجة عن نطا العينة ألنيا كبر من ‪.36.5‬‬ 13 14 2 15 16.