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# Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ## Chapitre 1 : Systèmes d'Équations Linéaires ### 1.1 Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d'équations linéaires, une notion fondamentale en algèbre linéaire. Nous apprendrons à résoudre ces systèmes en utilisant différentes...

# Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ## Chapitre 1 : Systèmes d'Équations Linéaires ### 1.1 Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d'équations linéaires, une notion fondamentale en algèbre linéaire. Nous apprendrons à résoudre ces systèmes en utilisant différentes méthodes, telles que la méthode de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan. Nous verrons également comment déterminer si un système admet une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution. ### 1.2 Définitions et Notations #### Définition 1.1 : Équation Linéaire Une équation linéaire en $n$ variables $x_1, x_2,..., x_n$ est une équation de la forme: $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$ où $a_1, a_2,..., a_n$ et $b$ sont des constantes réelles ou complexes, appelées coefficients. #### Définition 1.2 : Système d'Équations Linéaires Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues est un ensemble de $m$ équations linéaires de la forme: $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$... $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m$ où $a_{ij}$ et $b_i$ sont des constantes. #### Définition 1.3 : Solution d'un Système Linéaire Une solution d'un système linéaire est un n-uplet $(s_1, s_2,..., s_n)$ de nombres réels ou complexes qui satisfait simultanément toutes les équations du système lorsqu'on substitue $x_1 = s_1, x_2 = s_2,..., x_n = s_n$. #### Définition 1.4 : Ensemble des Solutions L'ensemble des solutions d'un système linéaire est l'ensemble de toutes les solutions possibles du système. #### Définition 1.5 : Systèmes Équivalents Deux systèmes linéaires sont dits équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions. #### Notation Matricielle Un système d'équations linéaires peut être écrit sous forme matricielle comme suit: $Ax = b$ où: * $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\... &... &... &... \\ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix}$ est la matrice des coefficients. * $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\... \\ x_n \end{bmatrix}$ est le vecteur des inconnues. * $b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\... \\ b_m \end{bmatrix}$ est le vecteur des termes constants. La matrice augmentée du système est la matrice obtenue en ajoutant le vecteur $b$ à la matrice $A$: $[A | b] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} & | & b_2 \\... &... &... &... & | &... \\ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix}$ ### 1.3 Opérations Élémentaires Pour résoudre un système d'équations linéaires, on utilise des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée. Ces opérations ne modifient pas l'ensemble des solutions du système. #### Définition 1.6 : Opérations Élémentaires Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont: 1. Échange de deux lignes: $L_i \leftrightarrow L_j$ 2. Multiplication d'une ligne par une constante non nulle: $L_i \rightarrow kL_i$, $k \neq 0$ 3. Addition d'un multiple d'une ligne à une autre ligne: $L_i \rightarrow L_i + kL_j$ ### 1.4 Méthode de Gauss et Gauss-Jordan #### Définition 1.7 : Forme Échelonnée Une matrice est sous forme échelonnée si: 1. Toutes les lignes nulles (si elles existent) sont en bas de la matrice. 2. Le premier élément non nul (en partant de la gauche) de chaque ligne non nulle, appelé pivot, est situé à droite du pivot de la ligne précédente. #### Définition 1.8 : Forme Échelonnée Réduite Une matrice est sous forme échelonnée réduite si: 1. Elle est sous forme échelonnée. 2. Tous les pivots sont égaux à 1. 3. Tous les éléments au-dessus et en dessous des pivots sont égaux à 0. #### Méthode de Gauss La méthode de Gauss consiste à transformer la matrice augmentée d'un système linéaire en une matrice sous forme échelonnée en utilisant des opérations élémentaires. Une fois la matrice sous forme échelonnée, on peut résoudre le système en utilisant la substitution arrière. #### Méthode de Gauss-Jordan La méthode de Gauss-Jordan consiste à transformer la matrice augmentée d'un système linéaire en une matrice sous forme échelonnée réduite en utilisant des opérations élémentaires. La solution du système peut alors être directement lue à partir de la matrice échelonnée réduite. ### 1.5 Existence et Unicité des Solutions #### Théorème 1.1 : Existence et Unicité Un système d'équations linéaires peut avoir: 1. Une solution unique. 2. Une infinité de solutions. 3. Aucune solution. #### Définition 1.9 : Système Compatible et Incompatible * Un système est dit compatible s'il admet au moins une solution. * Un système est dit incompatible s'il n'admet aucune solution. #### Théorème 1.2 : Règle de Cramer Si un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues a une matrice de coefficients $A$ avec un déterminant non nul (det$(A) \neq 0$), alors le système admet une solution unique donnée par la règle de Cramer: $x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)}$ où $A_i$ est la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de $A$ par le vecteur des termes constants $b$. ### 1.6 Exemples et Exercices #### Exemple 1.1 Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode de Gauss: $x + y + z = 3$ $2x + 3y + z = 8$ $x - y - z = -3$ #### Solution: La matrice augmentée du système est: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 3 & 1 & | & 8 \\ 1 & -1 & -1 & | & -3 \end{bmatrix}$ En appliquant les opérations élémentaires suivantes: $L_2 \rightarrow L_2 - 2L_1$ $L_3 \rightarrow L_3 - L_1$ On obtient: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & -2 & -2 & | & -6 \end{bmatrix}$ En appliquant l'opération élémentaire suivante: $L_3 \rightarrow L_3 + 2L_2$ On obtient: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -4 & | & -2 \end{bmatrix}$ La matrice est maintenant sous forme échelonnée. On peut résoudre le système en utilisant la substitution arrière: $-4z = -2 \Rightarrow z = 1$ $y - z = 2 \Rightarrow y = 3$ $x + y + z = 3 \Rightarrow x = -1$ La solution du système est donc $(x, y, z) = (-1, 3, 1)$. #### Exercices 1. Résoudre les systèmes d'équations linéaires suivants en utilisant la méthode de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan: a) $2x + y = 5$ $x - y = 1$ b) $x + 2y - z = 1$ $2x + y + z = 4$ $x - y + 2z = 2$ 2. Déterminer si les systèmes d'équations linéaires suivants ont une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution: a) $x + y = 2$ $2x + 2y = 4$ b) $x - y = 1$ $2x - 2y = 3$ 3. Utiliser la règle de Cramer pour résoudre les systèmes d'équations linéaires suivants: a) $x + y = 3$ $x - y = 1$ b) $2x + y = 4$ $x - y = 1$ ### 1.7 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons étudié les systèmes d'équations linéaires et les différentes méthodes pour les résoudre. Nous avons vu comment déterminer si un système admet une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution. Ces notions sont fondamentales pour la suite du cours d'algèbre linéaire et géométrie analytique.