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# Capítulo 2 Derivadas ## 2.7 Derivadas y razones de cambio en otras ciencias ### Movimiento rectilíneo Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con una **ecuación de posición** $s = f(t)$, donde $s$ es el desplazamiento del objeto desde el origen en el tiempo $t$....

# Capítulo 2 Derivadas ## 2.7 Derivadas y razones de cambio en otras ciencias ### Movimiento rectilíneo Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con una **ecuación de posición** $s = f(t)$, donde $s$ es el desplazamiento del objeto desde el origen en el tiempo $t$. La función $f$ que describe el movimiento se llama **función de posición** del objeto. En el intervalo de tiempo de $t = a$ a $t = a + h$, el cambio en la posición es $f(a + h) - f(a)$. Entonces la **velocidad promedio** en este intervalo de tiempo es $\qquad \text{velocidad promedio} = \frac{\text{desplazamiento}}{\text{tiempo}} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ que es la misma que la pendiente de la recta secante a través de los puntos $(a, f(a))$ y $(a + h, f(a + h))$ en la gráfica de $f$. Ahora suponga que calculamos la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez más cortos $[a, a + h]$. En otras palabras, hacemos que $h$ se aproxime a 0. Entonces definimos la **velocidad instantánea** (o simplemente la velocidad) $v(a)$ en el tiempo $t = a$ como el límite de estas velocidades promedio: $\qquad v(a) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)$ Por lo tanto, la velocidad instantánea es la derivada de la función de posición con respecto al tiempo. De manera similar, la **aceleración** instantánea es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, la derivada de la velocidad. Por lo tanto, si $v(t)$ es la velocidad en el tiempo $t$, entonces la aceleración $a(t)$ en el tiempo $t$ es $\qquad a(t) = v'(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{v(t + h) - v(t)}{h}$ Como $v(t) = s'(t)$, la aceleración también se puede escribir como $\qquad a(t) = v'(t) = s''(t)$ Esto significa que la aceleración es la segunda derivada de la función de posición. En general: Si $s = f(t)$ es la función de posición de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces - $v(t) = f'(t)$ es la función de velocidad - $a(t) = v'(t) = f''(t)$ es la función de aceleración La **rapidez** del objeto es el valor absoluto de su velocidad, es decir, $|v(t)|$. Es la distancia que se recorre en la unidad de tiempo. ### De la física La **carga** que pasa por un punto en un alambre hasta el tiempo $t$ (medida en culombios) se denota por $Q(t)$. Entonces la **corriente** es la razón a la que la carga fluye por el punto, es decir, $I = \frac{dQ}{dt}$ (medida en amperios). La **ley de movimiento** establece que la segunda ley de Newton se puede escribir como $\qquad F = ma = m\frac{d^2s}{dt^2}$ donde $F$ es la fuerza que actúa sobre el objeto, $m$ es la masa del objeto y $a$ es la aceleración.