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# Plan de Travail (TD) : Suites Numériques ## Exercice 1 Soit la suite $(U_n)$ définie par : $$ \begin{cases} U_0 = 2 \\ U_{n+1} = \frac{1}{3}U_n + 2 \end{cases} $$ 1. Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$. 2. Soit la suite $(V_n)$ définie par $V_n = U_n - 3$. a) Montrer que $(V_n)$ est une suite g...

# Plan de Travail (TD) : Suites Numériques ## Exercice 1 Soit la suite $(U_n)$ définie par : $$ \begin{cases} U_0 = 2 \\ U_{n+1} = \frac{1}{3}U_n + 2 \end{cases} $$ 1. Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$. 2. Soit la suite $(V_n)$ définie par $V_n = U_n - 3$. a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique. b) Déterminer $V_n$ en fonction de $n$. c) En déduire $U_n$ en fonction de $n$. d) Calculer $\lim_{n \to \infty} U_n$. 3. Calculer $S_n = V_0 + V_1 +... + V_n$ en fonction de $n$. 4. Calculer $S'_n = U_0 + U_1 +... + U_n$ en fonction de $n$. ## Exercice 2 Soit la suite $(U_n)$ définie par : $$ \begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = \sqrt{U_n + 2} \end{cases} $$ 1. Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$. 2. Montrer que $1 \leq U_n \leq 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3. Montrer que $(U_n)$ est croissante. 4. Montrer que $(U_n)$ est convergente et calculer sa limite. ## Exercice 3 Soit la suite $(U_n)$ définie par : $$ \begin{cases} U_0 = 0 \\ U_{n+1} = \frac{2U_n + 3}{U_n + 2} \end{cases} $$ 1. Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$. 2. Montrer que $0 \leq U_n \leq \frac{3}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3. Soit la suite $(V_n)$ définie par $V_n = \frac{U_n - 1}{U_n + 3}$. a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique. b) Déterminer $V_n$ en fonction de $n$. c) En déduire $U_n$ en fonction de $n$. d) Calculer $\lim_{n \to \infty} U_n$. ## Exercice 4 Soit la suite $(U_n)$ définie par : $$ \begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = \frac{1}{2}U_n + n + 1 \end{cases} $$ 1. Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$. 2. Soit la suite $(V_n)$ définie par $V_n = U_n - 2n$. a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique. b) Déterminer $V_n$ en fonction de $n$. c) En déduire $U_n$ en fonction de $n$. ## Exercice 5 On considère les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par $U_0 = 5$, $V_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$: $$ \begin{cases} U_{n+1} = \frac{3U_n + V_n}{4} \\ V_{n+1} = \frac{U_n + 3V_n}{4} \end{cases} $$ 1. Calculer $U_1$, $V_1$, $U_2$ et $V_2$. 2. Soit la suite $(W_n)$ définie par $W_n = U_n + V_n$. a) Montrer que la suite $(W_n)$ est constante. b) En déduire la valeur de $W_n$. 3. Soit la suite $(t_n)$ définie par $t_n = U_n - V_n$. a) Montrer que $(t_n)$ est une suite géométrique. b) Déterminer $t_n$ en fonction de $n$. c) Montrer que $U_n = \frac{W_n + t_n}{2}$ et $V_n = \frac{W_n - t_n}{2}$. d) En déduire l'expression de $U_n$ et $V_n$ en fonction de $n$. ## Exercice 6 Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaire d'une entreprise (en milliers d'euros) : | Année | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | | :---- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | Chiffre d'affaire | 50 | 55 | 61 | 67 | 74 | 81 | On note $U_n$ le chiffre d'affaire de l'année $2015 + n$. On a donc $U_0 = 50$. 1. Calculer le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaire entre 2015 et 2016, puis entre 2016 et 2017. Ce pourcentage est-il constant ? 2. On suppose que le chiffre d'affaire augmente de 10% chaque année. a) Montrer que dans ces conditions, on a $U_{n+1} = 1,1 U_n$. b) Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$, $U_4$, $U_5$. c) Comparer les valeurs obtenues avec les valeurs réelles. 3. On suppose que le chiffre d'affaire augmente de 6 milliers d'euros chaque année. a) Montrer que dans ces conditions, on a $U_{n+1} = U_n + 6$. b) Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$, $U_4$, $U_5$. c) Comparer les valeurs obtenues avec les valeurs réelles. 4. On cherche à déterminer une expression de $U_n$ en fonction de $n$. On pose $V_n = U_n + an + b$. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la suite $(V_n)$ soit géométrique de raison 1,1. En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de $n$.