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# Algèbre Linéaire ## 1. Vecteurs ### 1.1 Définitions * Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par: * une direction (celle de la droite (AB)) * un sens (de A vers B) * une longueur (la distance AB) ### 1.2 Opérations sur les vecteurs Soient $\overrightarrow{u}$ et $\ove...

# Algèbre Linéaire ## 1. Vecteurs ### 1.1 Définitions * Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par: * une direction (celle de la droite (AB)) * un sens (de A vers B) * une longueur (la distance AB) ### 1.2 Opérations sur les vecteurs Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs et $\lambda$ un scalaire (nombre réel). * **Somme de deux vecteurs:** $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ (Règle du parallélogramme ou relation de Chasles) * **Multiplication par un scalaire:** $\lambda \overrightarrow{u}$ (multiplie la longueur du vecteur par $|\lambda|$, change le sens si $\lambda < 0$) ### 1.3 Coordonnées d'un vecteur Dans un repère $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, tout vecteur $\overrightarrow{u}$ peut s'écrire de manière unique sous la forme: $\qquad \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$ Les nombres $x$ et $y$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$. On note: $\qquad \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ### 1.4 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un nombre réel défini par: $\qquad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}|| \cdot \cos(\theta)$ où $||\overrightarrow{u}||$ et $||\overrightarrow{v}||$ sont les longueurs des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, et $\theta$ est l'angle entre eux. Si $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$, alors: $\qquad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2$ ### 1.5 Propriétés du produit scalaire * $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ (commutativité) * $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$ (distributivité) * $(\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \lambda (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$ ### 1.6 Orthogonalité Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$. ## 2. Matrices ### 2.1 Définitions Une matrice est un tableau de nombres. Une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes est appelée matrice $m \times n$. $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ ### 2.2 Opérations sur les matrices * **Addition:** Si $A$ et $B$ sont des matrices $m \times n$, alors $A + B$ est la matrice $m \times n$ dont les éléments sont la somme des éléments correspondants de $A$ et $B$. * **Multiplication par un scalaire:** Si $A$ est une matrice $m \times n$ et $\lambda$ est un scalaire, alors $\lambda A$ est la matrice $m \times n$ dont les éléments sont les éléments de $A$ multipliés par $\lambda$. * **Multiplication de matrices:** Si $A$ est une matrice $m \times n$ et $B$ est une matrice $n \times p$, alors $AB$ est la matrice $m \times p$ dont les éléments sont définis par: $\qquad (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ ### 2.3 Transposition La transposée d'une matrice $A$, notée $A^T$, est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. Si $A$ est une matrice $m \times n$, alors $A^T$ est une matrice $n \times m$. ### 2.4 Matrice inverse Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB = BA = I$, où $I$ est la matrice identité. La matrice $B$ est appelée l'inverse de $A$ et est notée $A^{-1}$. ### 2.5 Déterminant Le déterminant d'une matrice carrée $A$, noté $\det(A)$ ou $|A|$, est un scalaire qui peut être calculé de différentes manières. Pour une matrice $2 \times 2$: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\qquad \det(A) = ad - bc$ ### 2.6 Propriétés des déterminants * $\det(A^T) = \det(A)$ * $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ * Si $A$ est inversible, alors $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ * Si $A$ a une ligne ou une colonne de zéros, alors $\det(A) = 0$ * Si $A$ a deux lignes ou deux colonnes identiques, alors $\det(A) = 0$ ## 3. Systèmes d'équations linéaires ### 3.1 Définitions Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires. Par exemple: $\qquad \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$ ### 3.2 Résolution Pour résoudre un système d'équations linéaires, on peut utiliser différentes méthodes: * Substitution * Élimination (pivot de Gauss) * Méthode matricielle (inversion de matrice ou règle de Cramer) ### 3.3 Solutions Un système d'équations linéaires peut avoir: * Une solution unique * Une infinité de solutions * Aucune solution ## 4. Espaces vectoriels ### 4.1 Définitions Un espace vectoriel est un ensemble $E$ muni de deux opérations: * Addition: $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in E \rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \in E$ * Multiplication par un scalaire: $\lambda \in \mathbb{R}, \overrightarrow{u} \in E \rightarrow \lambda\overrightarrow{u} \in E$ qui vérifient certaines propriétés (associativité, commutativité, élément neutre, élément opposé, distributivité). ### 4.2 Sous-espaces vectoriels Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel si: * $F$ est non vide * $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in F \rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \in F$ * $\lambda \in \mathbb{R}, \overrightarrow{u} \in F \rightarrow \lambda\overrightarrow{u} \in F$ ### 4.3 Base et dimension Une base d'un espace vectoriel $E$ est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent $E$. La dimension de $E$ est le nombre de vecteurs dans une base de $E$.