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# Tema: Geometría Analítica ## Ecuación de la circunferencia con centro en el origen La ecuación de una circunferencia con centro en el origen $(0,0)$ y radio $r$ es: $x^2 + y^2 = r^2$ ### Ejemplo Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3. **Solución:** Sustitu...

# Tema: Geometría Analítica ## Ecuación de la circunferencia con centro en el origen La ecuación de una circunferencia con centro en el origen $(0,0)$ y radio $r$ es: $x^2 + y^2 = r^2$ ### Ejemplo Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3. **Solución:** Sustituimos $r = 3$ en la ecuación: $x^2 + y^2 = 3^2$ $x^2 + y^2 = 9$ ## Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen La ecuación de una circunferencia con centro en $(h,k)$ y radio $r$ es: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ Donde: * $(h,k)$ son las coordenadas del centro * $r$ es el radio ### Ejemplo Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en $(2,-3)$ y radio 4. **Solución:** Sustituimos $h = 2$, $k = -3$ y $r = 4$ en la ecuación: $(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2$ $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ ## Forma general de la ecuación de la circunferencia La forma general de la ecuación de la circunferencia es: $Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0$ Donde $A$, $D$, $E$ y $F$ son constantes, y $A \neq 0$. ### Ejemplo Determinar si la ecuación $2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 24 = 0$ corresponde a una circunferencia. En caso afirmativo, hallar el centro y el radio. **Solución:** Dividimos toda la ecuación por 2 para simplificar: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ Completamos los cuadrados para $x$ e $y$: $(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$ $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9$ $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ Esta ecuación corresponde a una circunferencia con centro en $(2, -3)$ y radio $r = \sqrt{25} = 5$. ## Nota Para que una ecuación de la forma $Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0$ represente una circunferencia, se deben cumplir las siguientes condiciones: 1. Los coeficientes de $x^2$ e $y^2$ deben ser iguales. 2. No debe haber término $xy$. ## Ejercicios 1. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 5. 2. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en $(-1,4)$ y radio 2. 3. Determinar si la ecuación $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$ corresponde a una circunferencia. En caso afirmativo, hallar el centro y el radio. 4. Determinar si la ecuación $3x^2 + 3y^2 - 12x + 18y - 36 = 0$ corresponde a una circunferencia. En caso afirmativo, hallar el centro y el radio. 5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto $(3,4)$ y tiene su centro en el origen.