حلقة التكاملية (Integral Domain) - PDF

## حلقة التكاملية (Integral domain) الحلقة التامة ، هي حلقة إبدالية بمحايد ، ولا تحوي قواسم للصفر ## مميز حلقة (Charactaristic of ring) لتكن (R) حلقة ما ، إذا وجد عدد صحيح موجب وليكن n بحيث 0 = n.a لكل aER ، فإن أصغر عدد صحيح موجب يحقق هذه الخاصية يسمى مميز الحلقة . وإذا لم يوجد هذا العدد ، أي أ...

## حلقة التكاملية (Integral domain) الحلقة التامة ، هي حلقة إبدالية بمحايد ، ولا تحوي قواسم للصفر ## مميز حلقة (Charactaristic of ring) لتكن (R) حلقة ما ، إذا وجد عدد صحيح موجب وليكن n بحيث 0 = n.a لكل aER ، فإن أصغر عدد صحيح موجب يحقق هذه الخاصية يسمى مميز الحلقة . وإذا لم يوجد هذا العدد ، أي أن 0 = n هو العدد الصحيح الوحيد الذي يحقق 0 = n.a لكل aER ، فإننا نقول إن الحلقة .,, مميزها الصفر. نرمز عادة لمميز الحلقة (.,,R) بالرمز (Char (R) ## تعريف العنصر معدوم (المتلاشي القوى في حلقة (Nilpotent element) نقول إن العنصر aER ، حيث .,,R) حلقة ما معدوم القوى (nilpotent) إذا وجد عدد صحيح موجب وليكن n بحيث a = o . ## تعريف العنصر متساوي القوى في حلقة (Idenmpotent element) نقول إن العنصر o aER ، حيث .,,R) حلقة ما ، عنصر متساوي القوى a2 = a إذا كان ، idempotent ## الحلقة الجزئية subring لتكن .,,R) حلقة ما ، ولتكن S مجموعة جزئية غير خالية من R . إذا كانت حلقة بالنسبة للعمليتين (+) و (.) على S ، فإننا نقول إن .,,S) حلقة جزئية من الحلقة (R) ، وترمز لذلك بالشكل : SSR. إذا كانت S ⊆ R و S ⊆ R ، فإننا نقول أن (.,,S) حلقة جزئية فعلية . S < R ونرمز لذلك بـ )R( من الحلقة Proper subring( نعلم من نظرية الزمر ، أن الشرط اللازم والكافي لكي تكون مجموعة جزئية غير خالية ولتكن زمرة جزئية (Subgroup) من الزمرة )G) هو أن يكون x . yeH لكل yx من H . سنستخدم هذا المفهوم في الحلقات الجزئية من خلال المبرهنة التالية : ### مبرهنة (1) : لتكن .,,R) حلقة ما ، وإذا كانت R ، فإن الشرط اللازم والكافي لكي تكون (,,S) حلقة جزئية من الحلقة (.,,R) هو أن يكون : 1. x.y∈S, x-y ES وذلك من أجل أي y,x من S . ## تعريف مركز حلقة Center of ring C(R) = { a∈R : a.x = xa xeR { لتكن ) حلقة ما ، ولتكن ان (CR) حلقة ، تسمى بمركز الحلقة (.,,R) . المبرهنة التالية تبين لنا أن ((CR) هي حلقة جزئية من الحلقة (R) . ### مبرهنة (2) : إذا كانت (,,R) حلقة ، فإن ((CR) حلقة جزئية من الحلقة (.) ## بعض العمليات على الحلقات الجزئية المبرهنتان التاليتان توضحان أن تقاطع حلقتين جزئيتان من حلقة ما هو حلقة جزئية ، بينما اتحاد حلقتين جزئيتين ليس من الضروري أن يكون حلقة جزئية ### مبرهنة (3) : لتكن .,, حلقة ما، إذا كانت ع .,, (( أسرة غير خالية من الحلقات الجزئية من الحلقة (.,,R) ، عندئذ .,,, حلقة جزئية من الحلقة ..,,). ### ملاحظة (1) : إن اتحاد حلقتين جزئيتين من حلقة ليس بالضرورة أن يكون حلقة جزئية من الحلقة المدروسة، والمثال التالي يوضح هذه الملاحظة ### مبرهنة (4) : إذا كانت (,,R) حلقة ما ، وكانت (S) و (T) حلقتين جزئيتين منها ، إن (,,SUT) حلقة جزئية من الحلقة (.,,R) إذا وفقط إذا كانت S T أو + + + .TS ## المثاليات Ideals تعد المثاليات من أهم الحلقات الجزئية من حلقة ما ، وتلعب في الحلقات الدور الذي تلعبه الزمر الجزئية الناظمية في نظرية الزمر ### تعريف المثالية : لتكن .,,R) حلقة ما ، وإذا كانت I مجموعة جزئية غير خالية من R : 1- نقول عن المجموعة 1 إنها تشكل مثالية يسارية (Left ideal) في الحلقة . إذا تحقق ما يلي : (1) (+I زمرة جزئية من الزمرة (R) (2) لكل rER فإن rl I . 2- نقول عن المجموعة I إنها تشكل مثالية يمينية (Right ideal) في الحلقة (0) إذا حققت ما يلي : (1) (+I زمرة جزئية من الزمرة (R) . (2) لكل rER فإن LrI . 3- نقول عن المجموعة I إنها تشكل مثالية (Ideal) (ثنائية الجانب في الحلقة + . إذا كانت مثالية يسارية ويمينية في آن واحد ### نتيجة (1) : ليكن (F) حقلاً ما ، عندئذ F لا يحوي سوى مثاليتين فقط وهما {Fo . ### مبرهنة (7) : إذا كانت (R) حلقة إبدالية بمحايد مثالياتها ، فقط المثاليان التافهان فإن in - ## .,,R) حقل ## (82) العمليات على المثاليات ### جمع المثاليات : لتكن JI مثاليتين في حلقة ما (Re) . نسمي المجموعة : {x∈R:x=a+b;a∈I,b∈J} مجموع المثاليتين JI ونرمز لها بالرمز I J . المبرهنة التالية تبين أن J + 1 هي مثالية ### مبرهنة (8) : لتكن JI مثاليتين في حلقة ما (R) . إن 3 + 1 مثالية في الحلقة (R) ### تقاطع مثاليات : لتكن .,,R) حلقة ما ، إذا كانت ] و [ مثاليتين في الحلقة المذكورة . نسمي المجموعة : {xER : EI, EJ بتقاطع المثاليتين 1 ول ، ونرمز لها بالرمز INJ . ### مبرهنة (9) : إذا كانت JI مثاليتين في حلقة ما (R)، عندئذ INJ مثالية في الحلقة ... ### ضرب (جداء) المثاليات : إذا كانت 1 ول مثاليتين في حلقة ما .,,R) ، نسمي المجموعة : : )11( مبرهنة ^. (R,+,+) : )10( مبرهنة ضرب 1 بـ ل ونرمز لها بالرمز J. . ידידי إذا كانت JI مثاليتين في حلقة إبدالية ما (,,R) ، عندئذ 1:1 مثالية في الحلقة .,,R) تحوي 1 . ### قسمة المثاليات : بفرض أن (R) حلقة إبدالية ما ، وإذا كانت JI مثاليتين في الحلقة (R) فإن المجموعة { . : xER تسمى حاصل قسمة ] على J ، ونرمز لذلك بـ I J أو بـ (I/J) . لتكن (R) حلقة ما ، وإذا كانت JI مثاليتين فيها ، فإن J. مثالية في الحلقة x∈R: x = x,y; x €1,y ∈J,n∈Z ### جذر المثاليات : لتكن (R) حلقة إبدالية ما ، المجموعة التالية : { {x XER: 3n∈ Z ;x" ∈I تسمى جذر المثالية 1 ، ونرمز لها بـ VI ### مبرهنة (12) : إذا كانت (R) حلقة إبدالية ما ، فإن VI هي مثالية في الحلقة (R) تحوي 1 . ### نتائج : + (1) إذا كانت .,,R) حلقة ما ، ولتكن I مثالية يسارية في الحلقة (R) ، وإذا كانت لـ مثالية يمينية في الحلقة ...,,R)، فإن J. مثالية في الحلقة (R) (2) إذا كانت I مثالية يسارية في حلقة ما ، ولتكن .,,R) ، وإذا كانت J + مجموعة جزئية غير خالية من R ، فإن J. مثالية يسارية في الحلقة (R) (3) إذا كانت ] مثالية يمينية في حلقة ما ، ولتكن (.,,R) وإذا كانت J مجموعة جزئية غير خالية من R ، فإن J. مثالية يمينية في الحلقة (R) (4) إذا كانت 1 مثالية في حلقة إبدالية ما (R) ، وإذا كانت J مجموعة جزئية غير خالية من R ، فإن J. مثالية في الحلقة (R) ## حلقة القسمة( Quotient group 2-9) لتكن (R) حلقة ما ، وإذا كانت I مثالية فيها . نعلم أن (I) زمرة جزئية من الزمرة الإبدالية (R) . وبما أن كل زمرة جزئية من زمرة إبدالية هي زمرة جزئية ناظمية منها ، فإن الزمرة الجزئية (I) ، هي إذا زمرة جزئية ناظمية من الزمرة (R) ، وبالتالي فإن (R/I) زمرة إبدالية حيث أن : R/I = {x+I: x∈R}. إن (+) عملية جبرية ثنائية معرفة على R/I بالشكل : (x + 1) + (y + 1) = (x + y) + 1; ∀ x,y∈I ### مبرهنة (13) لتكن 1 مثالية في حلقة ما (..) ، وإذا عرفنا على عناصر المجموعة {R/I = { x + 1 ; xEI العمليتين الجبريتين (+) و (.) بالشكل التالي : + (x + 1) + (y + 1) = (x + y) + I (x + 1). (y + 1) = (x.y)+I; Vx,y∈I مجموعة العناصر من R/I ، تسمى عادة بالمجموعات المشاركة Costes لـ 11 في . R تبين المبرهنة التالية أن (R/I0) حلقة ، وهذه الحلقة تسمى بحلقة القسمة . ### مبرهنة (14) لتكن (R) حلقة ما ، ولتكن 1 مثالية فيها . إن المثاليات اليسارية (اليمينية) في حلقة القسمة .,,R RI هي من الشكل = K . حيث أن K مثالية يسارية (يمينية) في الحلقة (,, وأن ICK. .Factor ring or Quotient ring عندها تكون .,,R/I) حلقة . وإذا كانت الحلقة (R) إبدالية فإن (R/I) حلقة إبدالية . وإذا كانت الحلقة (R) بمحايد ذات عنصر الوحدة ، فإن الحلقة .,,R/I) ستكون بمحايد أيضاً . ### تعريف : نسمي الحلقة الواردة في المبرهنة السابقة (R/I) بحلقة القسمة ### نتيجة (2) : إذا كانت (.,,R) حلقة تحتوي على قواسم للصفر ، وكانت I مثالية من الحلقة (R) ، فليس من الضروري أن تحتوي حلقة القسمة .R/I) ، على قواسم للصفر ## تعريف التشكل( Homomorphism 3-1) لتكن .,,R) و ( ST) حلقتين ما ، وليكن ( تطبيقاً من R إلى S ، نسمي التطبيق ( تشاكلاً من الحلقة R إلى الحلقة S إذا تحقق الشرطان التاليان : (a) لكل y,x من R ، يكون : (b) لكل y,x من R ، يكون : φ(x + y) = φ(x) Τ φ(γ) φ(xy) = φ(x)*φ(у) ونقول إن التطبيق R S : تكلاً للحلقة (.,, على الحلقة (ST) ، إذا كان التطبيق ( شاملاً ويحقق الشرطين (a) و (b) السابقين نامه ونسمي التطبيق السابق ( تماثلاً للحلقة (.,,R) في الحلقة ( ST) إذا كان التطبيق ) متبايناً (أحادياً) ، ويحقق الشرطين (a) و (b) أيضاً ويسمى التطبيق ( (السابق) تماثلاً للحلقة (R) على الحلقة (ST) ، إذا كان التطبيق ( تقابلاً متبايناً وشاملاً) ويحقق أيضاً الشرطين (a) و (b) . وترمز عادة لهذا التماثل بـ = ونكتب ( R) (ST) أو اختصاراً RS ونقول إن الحلقتين (R) و (ST) متماثلتان ، إذا وُجِدَ تماثل R S : .:SR أو ## مفاهيم وملاحظات : لیکن (,,R) و (,,S) حلقتين ما ، ولنفرض أن R S : تشاكلاً ، أي يحقق ( الشرطين الواردين في تعريف التشاكل : (1) إذا كان ( تشاكلا وتطبيقا متباينا ، فإننا نقول إن التطبيق ؟ تشاكل متباين . (monomorphism) (2) إذا كان ( تشاكلاً ، وتطبيقاً شاملاً ، فإننا نقول إن التطبيق ) تشاكل شامل . (epimorphism) (3) وإذا كان ( تشاكلاً تقابلاً ، فإننا نقول إن ( تماثل (isomorphism) ## ## مبرهنة (2) : لتكن (R) و (ST) حلقتين ما ، ولنرمز الصفري الحلقتين السابقتين بالرمز 0,'o على الترتيب ، وإذا كان ( تشاكلاً للحلقة .,,R) في الحلقة (ST) ، عندها يتحقق ما يلي : . φ(ο) = ο' (1 R من xx لكل ،)-x) = -φ(x( )2( 3) أياً كان nEN ، وأيا كان xER ، فإن : p(x) = [(x([" و )n.) = n.p(x( (4) إن (Ker حلقة جزئية من الحلقة (.,,R) (5) الصورة المباشرة وفق ؟ لأية حلقة جزئية من الحلقة ..,,R) هي حلقة جزئية من الحلقة ( ST) . (6) الصورة العكسية ، وفق ) ، لأية حلقة جزئية من الحلقة ( ST) هي حلقة جزئية من الحلقة .,,R) . ## مبرهنة (3) : + ليكن ) تشاكلاً لحلقة ما (R) في حلقة ما (ST) ، عندئذ يتحقق ما يلي : + (1) Ker مثالية في الحلقة (..) (2) الصورة المباشرة ، وفق التطبيق ) ، لأية مثالية في الحلقة (R) ، هي مثالية في الحلقة ( ST) . (3) الصورة العكسية ، وفق التطبيق ) ، لأية مثالية في الحلقة (ST) ، هي مثالية في الحلقة (R) ، تحوي نواة التطبيق ) . + (4) الحلقتان (.,,(R) ) و (,, R/Ker متماثلتان الطلب الأخير من هذه المبرهنة يعرف باسم المبرهنة الأولى لتماثل الحلقات First isomorphism theoem ## نتائج (1) : لتكن (R) و (ST) حلقتين ما ، وإذا كان RS: تشاكلاً ، إذا كان شاملاً، فإن R/Ker p : )2nd Isomorphism theerem( المبرهنة الثانية للتماثل الحلقي لتكن .,,R حلقة ما ، وإذا كانت IR و HS R ، عندئذ : (H+I)/I=H/(HAI) ## مبرهنة (4) : + لتكن ..,,R) حلقته بمحايد ، ولنرمز بـ 1 لعنصر الوحدة فيها ، وإذا كان x عنصراً من R وله معكوس بالنسبة للعملية (.) ، وإذا كان ( تشاكلاً للحلقة : 0) في حلقة ) ، فإن( + . ))(( 1) (1) محايد في الحلقة( X 1 (2) (x) هو معكوس (x)) في (R)) بالنسبة للعملية * ### مبرهنة (5) المبرهنة الثالثة لتماثل الحلقات) (Isomorphism theorem 3): إذا كان I و I مثاليتين في الحلقة (R) وبحيث JI ، عندئذ يتحقق ما يلي : + (1) IJ مثالية في الحلقة (.,,R/J) R/J I/J = R/1 (2) ## بعض الحلقات الخاصة : قبل البدء في تقديم بعض أنواع الحلقات ، نقدم بعض أنواع المثاليات الخاصة والتي تلعب دوراً أساسياً في الحلقات والحقول ### المثالية الأولية : إذا كانت ( حلقة إبدالية ما ، نسمي كل مثالية 1 في الحلقة المدروسة مثالية أولية إذا تحقق الشرط التالي : إذا كان ba عنصرين ما من R بحيث a.bel ، فإن أحد العنصرين ba على الأقل ، ينتمي إلى 1 . ### المثالية الأعظمية : + نقول عن المثالية 1 في الحلقة الإبدالية (R) إنها مثالية أعظمية إذا كان R # 1 ، وإذا لم يكن بالإمكان إيجاد مثالية ل في الحلقة (R) تحوي 1 ، وبحيث J1,JR يكون ### أولاً : حلقة المثاليات الرئيسة : + لتكن .,, حلقة إبدالية ما ، وإذا كان 1 عنصراً ما من R ، فإن r. مثالية في الحلقة (R) ، تسمى المثالية الرئيسية في الحلقة (R) مولدة بالعنصر . . ينتج من المفهوم السابق ، أنه إذا كانت (.,,R) حلقة إبدالية بمحايد ، وإذا كان r من ، فإن r = )( ### تعريف حلقة المثاليات الرئيسة : + لتكن .,,R حلقة إبدالية بمحايد ، نقول عن الحلقة (.,, إنها حلقة مثاليات + رئيسة ، إذا، وفقط إذا كانت كل مثالية في الحلقة (R) مثالية رئيسة فيها ### مبرهنة (5) : لتكن (R) و ( S,T) حلقتين أبداليتين ، وإذا كان ( تشاكلاً من R إلى S ، وإذا كانت 1 مثالية في الحلقة (R) بحيث يكون Ker . وإذا كانت لمثالية في الحلقة ( ST) وبحيث يكون J S . عندها يتحقق ما يلي : + -1- تكون المثالية I في الحلقة (R) مثالية أولية ، إذا ، وفقط إذا ، كانت المثالية (1)) مثالية أولية في الحلقة (ST) + -2- تكون المثالية I في الحلقة (R) مثالية أعظمية ، إذا ، وفقط إذا ، كانت المثالية (I)) مثالية أعظمية في الحلقة ( ST) . -3- الشرط اللازم والكافي ، لكي تكون المثالية لـ مثالية أولية في الحلقة ( ,S,T) ، هو أن تكون المثالية (1) مثالية أولية في الحلقة (..) . -4- الشرط اللازم والكافي لكي تكون المثالية لـ مثالية أعظمية في الحلقة (* ,S,T) ، هو أن تكون المثالية (1)) مثالية أعظمية في الحلقة (.) ### )2( نتيجة + إذا كانت (R) حلقة إبدالية بمحايد ، وبفرض أن I مثالية أعظمية في الحلقة + (R) ، عندئذ تكون 1 مثالية أولية في الحلقة (R) ### مبرهنة (6) : لتكن .,,R) حلقة ما ، وإذا كانت R + 1 مثالية يسارية ( يمينية) في R ، عندها الشروط التالية متكافئة : + (1) المثالية اليسارية (اليمينية ) 1 أعظمية في الحلقة (.) (2) من أجل أي مثالية يسارية (يمينية) ، ولتكن ل والتي تحقق I J CR ، يكون 1 = 1 . (3) لا توجد مثالية يسارية ( يمينية) ل بحيث يكون ICJCR (4) أيا كانت المثالية اليسارية (اليمينية) K في الحلقة .,,R) والتي تحقق IC J ، فيكون J = R . ### مبرهنة (7) : إذا كانت (R) حلقة ما حيث (0) R ، عندها تتكافئ الشروط التالية : (1) المثالية اليمينية (0) مثالية أعظمية في R . (2) لا يوجد في الحلقة .. مثاليات يمينية تختلف عن R و 0 . (3) كل عنصر من R لا يساوي الصفر قابل للعكس من اليمين (4) كل عنصر لا يساوي الصفر قابل للعكس تقبل المبرهنة بدون برهان ### مبرهنة (8) : إذا كانت (R) حلقة ما ، و 1 مثالية في R ، عندها الشرط اللازم والكافي كي تكون المثالية I أعظمية هو أن تكون حلقة القسمة R/T حقلا ## ثانياً : الحلقات المنتظمة : إذا كانت (R) حلقة ما ، نقول عن الحلقة R إنها منتظمة نظامية) إذا تحقق الشرط التالي : لكل XER ، يوجد عنصر a من R ، بحيث : x.a.x .x= المبرهنة التالية تعطي الشروط المكافئة لمفهوم الحلقة المنتظمة . ### )11( مبرهنة إذا كانت .. حلقة ما ، الشروط التالية متكافئة : (1) الحلقة (.,,R) منتظمة (2) من أجل أي مثالية يسارية (أو يمينية) رئيسة هي حد مباشر في الحلقة R (3) من أجل أي مثالية يسارية (أو) يمينية منتهية التوليد هي حد مباشر في الحلقة R ## ثالثاً : الحلقة الإقليدية Euclidean Ring : من الحلقات المهمة، والتي تلعب دوراً رائداً وعملياً في نظرية الحلقات والحقول، هي الحلقات الإقليدية ### تعريف الحلقة الإقليدية : نقول عن الحلقة التامة (..) إنها حلقة إقليدية ، إذا وجدت دالة ، ولتكن d : RN بحيث تتحقق الشروط التالية : R من x لكل )x(20 )1( R من y,x لكل ))x) ≤ d (xy( )2( (3) إذا كان aER و bER ، فإنه يوجد عددان حقيقيان ، q, بحيث : . d(r) < d(b( أو r = 0 بحيث، إما a = b.q + r r= الدالة لا تسمى عادة الدالة الإقليدية ، والشرط الأخير (3) يسمى بالقسمة الإقليدية ### مبرهنة (12) : إذا كانت (,,R) حلقة إقليدية ، فإن (R) هي حلقة تامة رئيسة ## مفهوم القسمة Divisibility لتكن .,,R) حلقة تامة ، وليكن 0 ba عنصرين في R . نقول إن العنصر ، b - a يقسم Divides العنصر b ، إذا وُجِدَ عنصر c في R يحقق العلاقة a.c وترمز لذلك بـ . . ونقول في هذه الحالة إن العنصر b يقبل القسمة Divisible على العنصر a في ... إذا كان a غير قاسم لـ b ، فإننا سنرمز لذلك بالرمز .axb نستنتج من التعريف السابق ما يلي : لكل c,b,a من R فإن : -1-ala كل عنصر يقسم نفسه ) ( الخاصة (الانعكاسية) -2- إذا كان alb و b c ، فإن a c الخاصة المتعدية) -3- إذا كان b | as a b ، فإن a = u.b ، حيث u عنصر وحدة في R ، أي أنه قاسم للمحايد في R . -4- إذا كان a (x + . y) R فإن لكل من ، a | c و a | b 5- إذا كان 1 هو عنصر الوحدة في (R) ، فإن العناصر القابلة للعكس في R ، هي فقط العناصر التي هي قواسم لـ 1 في R -6- إذا كان 0 هو صفر الحلقة (R) ، وإذا كان 0 a من R ، وإذا كان لـ a معكوس في R بالنسبة للعملية (.) ، فإن a يقسم أي عنصر من R في R . ### مفهوم الترادف التشارك) Associated : + لتكن (R) حلقة تامة ، نقول عن العنصرين ba من R إنهما مترادفان أو متشاركان ، إذا تحقق الشرط : a = u.b ، حيث أن u هو عنصر الوحدة في الحلقة التامة (R) . نرمز عادة للعنصرين المترادفين بـ a b . بكلام آخر ، نقول إن العنصر a يترادف مع العنصر b في الحلقة التامة (R) إذا كان a و ba . (سنبرهن ذلك فيما بعد) . ≠ لتكن (.,,R) حلقة تامة ، ولنرمز لصفرها بالرمز 0 ، وليكن 0 a و 0 b عنصرين من R، إن الشرط اللازم والكافي لكي يكون b,a مترادفان في R هو أن يكون كل من العنصرين ba قاسماً للآخر في R ### تعريف : لتكن (R) حلقة إبدالية بمحايد ، ولنرمز لصفرها بـ 0 . وإذا كان 0 a عنصراً من R، إن العناصر القابلة للعكس في R ومرادفات العنصر a في R تسمى قواسم غير خاصة لـ a في R ### نتائج (3) : لكل عنصر غير صفري من حقل ما وليكن (F) يوجد له عدد غير منته من العناصر المترادفة ## 6 ### مبرهنة (13) : إذا كانت ..,,R) حلقة إقليدية دالتها الإقليدية ) ، عندها يتحقق ما يلي : (1) (a) (1) لكل a من R والعنصر 1 هو المحايد في R . (2) إذا كان ba من R مترادفين ، فإن : (d(a) = (b (3) (1) = (u) ، إذا وفقط إذا ، كان uER عنصر وحدة في R ### مبرهنة (14) : لتكن (R) حلقة إقليدية ، ولنرمز لصفرها بـ 0 ، وإذا كان ba من R وإذا كان a قاسماً لـ b في R ، وإذا كان (d(a) = (b) فإن ba مترادفان في R ### رابعاً : حلقة التحليل الوحيد )Unique factoriration domain( الدراسة حلقة التحليل الوحيد ، نحتاج إلى المفاهيم التالية : العناصر الأولية والعناصر غير القابلة للتحليل ، والقاسم المشترك الأعظم ، والمضاعف المشترك الأصغر . ### 1- القاسم المشترك الأعظم- Greatest common divisior إذا كانت .,,R) حلقة إبدالية ما ، ولنرمز لصفرها بالرمز o ، وإذا كان ba عنصرين ما من R . نقول عن العنصر m المنتمي إلى R إنه قاسم مشترك أعظم ل ba في R ونرمز لذلك بـ (a,b) أو (ged (a,b إذا تحقق الشرطان التاليان : (1) m قاسم مشترك لـ ba في R ، أي : mlamb (2) إذا وجد قاسم مشترك آخر m لـ ba في R ، فإن m يقسم m في R ينتج من التعريف السابق ، أنه إذا كانت (R) حلقة إبدالية بمحايد وصفرها هو ه وكان a,ber و 1 عنصراً قابل للعكس في R ، وإذا كان m هو قاسم مشترك أعظم لـ a و b في R ، فإن العنصر m.u هو ، أيضاً قاسم مشترك أعظم لـ a و b R في ### مبرهنة (15) : إذا كانت .,,R) حلقة إقليدية، وإذا كان Xx, عنصرين من R وغير معدومين فإن لـ y,x قاسماً مشتركاً أعظم وليكن 2 في R من الشكل : z = a.x + By لكل من ### 2 المضاعف المشترك الأصغر- Least common multiple إذا كانت (R) حلقة إبدالية ، وإذا كان a,bER ، نقول عن العنصر d إنه مضاعف مشترك أصغر للعنصرين ba في R ، إذا تحقق الشرطان التاليان : bdad (1) (2) إذا وجد cER حيث alc و bic فإن dic ترمز عادة للمضاعف المشترك الأصغر للعددين ba في R بالرمز [a,b] أو . l cm [a,b] ## -3- العناصر الأولية والعناصر غير القابلة للتحليل ### Prime and irreducible elements لتكن .,,R) حلقة إبدالية بمحايد ، وليكن P عنصراً ما من R ، نقول عن العنصر P إنه أولي Prime إذا تحقق الشرطان التاليان : (1) 0 P و P ليس عنصر وحدة في R . Pb أو Pa فإن ، Pab من ، إذا كان ba 2) لكل( لتكن .,,R) حلقة إبدالية بمحايد ، ولنرمز الصفرها بـ ) ، وإذا كان a عنصرا مغايراً للصفر في R ، نقول إن a غير قابل للتحليل (Irreducible) في R ، إذا تحقق الشرطان التاليان : (1) 0 a و a ليس عنصر وحدة في R . (2) كل قاسم لـ a في R هو قاسم غير خاص له . أي ، إذا كان c,b عنصرين ما من R ، بحيث . = a ، فإن أحد العنصرين ,c قابل للعكس في R ## ###:: )16( مبرهنة كل عنصر أولي في أية حلقة تامة هو عنصر غير قابل للتحليل ## ### تعريف حلقة التحليل الوحيد (حلقة) تحليل Unique factorization domain ### مبرهنة (18) : إذا كانت .,,R) حلقة تامة ، الشرط اللازم والكافي لكي تكون (R) حلقة تحليل وحيد ، هو أن يتحقق الشرطان التاليان : (1) كل عنصر غير معدوم وليكن a من R ، وغير قابل للعكس في R ، هو جداء منته لعناصر من R ، كل منها غير قابل للتحليل في R . (2) إذا كان 0 P عنصراً من R وغير قابل للتحليل فيها ، وإذا كان 0 * x و 0 # y عنصران من R بحيث P يقسم y. في R ، فإن P يقسم واحدا من العنصرين y,x ، على الأقل، في الحلقة التامة R ### نتائج (5) : كل حلقة تامة رئيسة هي حلقة تحليل وحيد ### مبرهنة (19) : كل حلقة إقليدية هي حلقة تحليل وحيد ### نظرية ) : ( المقسمة الخوارزمية Division Algorithm) إذا كانت R حلقة إبداليه وذات عنصر محايد ، fin,gase Rex وكان 0 / قابلا للا تعكاسى في R فتوجد كثيرتي حدود وعيدتين أو ))x=0 & fix = px).g(x) + r (x( بحيث أن ))x) (2) RTXI deg (r(x)) < deg (g(x)) ### تعريفه : إذا كانت R حلقة، تقول أن reR جذر (root) أو صفر ( zero ) لكثيرة الحدود faseRix إذا كان ferno ### تعريف ٦ : إذا كانت R حلقة ابداليه وكانت fas كثيرة حدود غير ثابته في RII فإننا نقول أن + قابلة للتحليل ( reducible polynomial ) على R إذا وجدت .ief 1, 2} 60 deg fi < deg f محيث أن f(x) = f(x) f(x( أ حيث أن,,, ER[x[ وإذا لم تكن (f قابلاً للتحليل سميت غير قابلة للتحليل irreducible polynomial) ### - حلقة كثيرات الحدود على حقل : لیکن FR حقل ، ترمز إلى حلقة كثيرات على الحمل F بالرمز [F [x بحيث أن : - F [x] = { ao+a₁x + a₂x +---+ an x"; q¡∈ F } ### نظرية ٣ : ليكن + حقلاً جزئيا من حقل K ولتكن [ إن جذر الكثيرة المحدود + إذا وإذا فقط إذا كان x) | f). ### نتيجة : إذا كان F حقلا جزئيًا من حقل K وكانت [five Fix وكانت aaran عناصر مختلفه من K فإن - جذور الكثيرة الحدود } إذا وإذا فقط كان (x-a₁) (x-a₂)...(x-am) | f. ### تعريف ٧ : ليكن F حقلاً جزئيا من حقل K وَ [Rome F[x ، نقول أن a جذر مضاعف (multiple root) لـ أ إذا كان x - a f حيث عدد صحيح أكبر من 1 . ### نظرية ٤ : ليكن F حقل و [foneF[r من الدرجة الثانيه أو الثالثه ، تقول أن (f(x قابلة للتحليل إذا واذا فقط (f(x لها جذر في F ### ملاحظة هامة : نظرية ٤ لا تنطبق على كثيرات الحدود التي درجاتها أعلى من ٣، بمعنى أنه قد تكون كثيرة الحدود قابلة للتحليل ولكن ليس لها جذر. تذكر مثال على ذلك كثيرة الحدود 262248 = (2) في حلقة كثيرات الحدود TRIXI لاحظ أن : f(x) = x² + 6x² + 8 = (x²+2)(x²+4) فهذا يعني أن (x) } قابلة للتحليل ولكن ليس لها جذور في R حيث أن جنورها هي -421-21 ، 4 - 41 وجميعها أعداد كمسير حقيقيه ==End of OCR for page 44== ### نظرية ٤٦ معيار اينشتاين : Eisenstein's Criterion +---+ л-1 إِذَا كَانت 190 fees = anxan كثيرة حدود بحيث aie Z لكل أ، وكان ا عددًا أوليًا بحيث أن : ptao plao . oxicn لكل plai •ptan ا -٣ فإن fix غير قابلة للتقليل على Q ==End of OCR for page 45==