Geometrické charakteristiky prierezových plôch PDF

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Geometrické charakteristiky prierezových plôch...

Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva Mechanika poddajných telies - Geometrické charakteristiky prierezových plôch 5. 1  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Pevnosť a tuhosť konštrukčných častí pri niektorých druhoch namáhania závisí nielen : - od veľkosti plochy priečneho prierezu, - ale aj od tvaru plochy priečneho prierezu. Pretože zohľadnenie tvaru a veľkosti plochy prierezu býva v závislosti od namáhania rôzne, uvedieme ďalšie geometrické charakteristiky plôch priečneho prierezu používané v pružnosti a pevnosti: - statické momenty, - kvadratické momenty, - deviačný moment, - kvadratické polomery prierezu - a moduly prierezu v ohybe a v krútení. 2  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Statické momenty prierezu (lineárne momenty prierezu). Súradnice ťažiska plochy. Statické momenty prierezu plochy A k osiam y z sú definované vzťahmi Uy   z dA , mm , 3 A  Uz   y dA. mm .3 A  Statické momenty prierezu možno vyjadriť v tvare U y  zT  A , U z  yT  A. Statické momenty prierezu sú k ľubovoľnej osi ktorá prechádza ťažiskom plochy rovné nule 3  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Statické momenty prierezu (lineárne momenty prierezu). Súradnice ťažiska plochy. Pri výpočte statických momentov prierezu môžeme často s výhodou využiť skutočnosť, že statický moment prierezu k osi je rovný súčtu statických momentov častí prierezu k tej istej osi n U y  z1  A1  z2  A2    zn  An  z i 1 i  Ai , n U z  y 1  A1  y 2  A2    y n  An  y i 1 i  Ai. Súradnice ťažiska možno určiť zo vzťahov n n Uz y i 1 i  Ai Uy z i 1 i  Ai yT   n , zT   n. A A A i 1 i A i 1 i 4  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu (osové kvadratické momenty prierezu) Osové kvadratické momenty prierezu plochy A k osiam y a z sú definované vzťahmi Jy   z 2 dA , A  Jz   y 2 dA. mm  4 A 5  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu (osové kvadratické momenty prierezu) Pre obdĺžnikový prierez je dA = b. dz a podľa definičného vzťahu pre osový kvadratický moment plochy prierezu k osi y a z platí h2 b  h3 Jy   z dA   z  b dz  2 2 12 A h 2 analogicky h  b3 Jz  12 6  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu (osové kvadratické momenty prierezu) Pre trojuholníkový prierez z podobnosti pravouhlých trojuholníkov platí bz   h  z   b  h 1 teda h b  h3 J y  h  z    z dz  b 2 0  h 12. 7  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu (osové kvadratické momenty prierezu) Polárny kvadratický moment prierezu plochy A je definovaný vzťahom JP   r 2 dA mm . 4 A  Ak pólom prechádzajú pravouhlé osi y, z potom platí JP  J y  J z. Deviačný moment prierezu plochy A je definovaný vzťahom Dyz   y  z dA mm . 4 A 8  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu (osové kvadratické momenty prierezu) Ak si pre kruhový prierez s priemerom d = 2. R zvolíme elementárnu plôšku v tvare medzikružia, potom R R4 d 4   J P  r dA  2    r dr   2 3. A  0 2 32 Osové kvadratické momenty kruhového prierezu sú JP R4 d 4 Jy  Jz   . 2 4 64 9  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH 1. Z definície uvedených charakteristík vyplýva, že osové kvadratické momenty a polárny kvadratický moment prierezu nadobúdajú pre plochu rôznu od nuly nenulové a vždy kladné hodnoty. 2. Deviačný moment prierezu a statické momenty prierezu môžu nadobúdať kladné, záporné aj nulové hodnoty. 3. Osi, ku ktorým je deviačný moment prierezu rovný nule, nazývame hlavné osi kvadratických momentov prierezu. 4. Osi, ktoré prechádzajú ťažiskom, nazývame centrálne osi. 5. Hlavné osi, ktoré prechádzajú ťažiskom, nazývame hlavné centrálne osi. 6. Dve navzájom kolmé osi, z ktorých aspoň jedna je osou symetrie prierezu, sú hlavné osi 10  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu k rovnobežným osiam Nech osi y a z prechádzajú ťažiskom plochy A J y1   z12 dA , A  J z1   A  y 12 dA , Dy1z1   y A 1  z1 dA. Súradnice elementárnej plôšky dA vyjadríme v tvare y1  y  a , z1  z  b. 11  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu k rovnobežným osiam Potom platia vzťahy ktoré nazývame Steinerove vety J y1  J y  b 2  A , J z1  J z  a 2  A , Dy 1z1  Dyz  a  b  A. Osový kvadratický moment prierezu k ľubovoľnej osi rovnobežnej s centrálnou osou je rovný kvadratickému momentu prierezu k centrálnej osi, zväčšenému o súčin veľkosti plochy a kvadrátu vzdialenosti týchto osí. 12  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu k rovnobežným osiam Potom platia vzťahy ktoré nazývame Steinerove vety J y1  J y  b 2  A , J z1  J z  a 2  A , Dy 1z1  Dyz  a  b  A. Deviačný moment k navzájom kolmým osiam rovnobežným s centrálnymi osami je rovný deviačnému momentu k centrálnym osiam zväčšenému o súčin vzdialeností rovnobežných osí a plochy. 13  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu k pootočeným osiam Pootočením osí súradnicového systému okolo počiatku sa nemenia len súradnice elementárnej plôšky dA, ale aj kvadratické momenty prierezu k pootočeným osiam. Súradnice elementárnej plochy dA v novom súradnicovom systéme možno na základe analytickej geometrie vyjadriť v tvare   y  cos   z  sin  ,    y  sin   z  cos . 14  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické momenty prierezu k pootočeným osiam Rovnice možno upraviť uplatnením trigonometrických vzťahov pre dvojnásobný argument na tvar Jy  Jz Jy  Jz J    cos 2  Dyz  sin 2 , 2 2 Jy  Jz Jy  Jz J    cos 2  Dyz  sin 2 , 2 2 Jy  Jz D   sin 2  Dyz  cos 2. 2 Pri pootočení pravouhlých osí súčet osových kvadratických momentov prierezu k týmto osiam sa nemení a je rovný polárnemu kvadratickému momentu plochy. J  J  J y  J z  J P. 15  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Určenie smerov a veľkosti hlavných osových kvadratických momentov prierezu Praktický význam v pružnosti a pevnosti majú osové kvadratické momenty prierezu najmä k hlavným centrálnym osiam. Označme hlavné centrálne osi symbolmi 1 a 2. Deviačný moment prierezu k týmto osiam je D12  0 Polohu hlavných centrálnych osí ľubovoľnej plochy určíme, ak osi y, z pootočíme o taký uhol, aby deviačný moment k týmto osiam bol rovný nule. Potom 2Dyz tg 2 H  . Jy  Jz 16  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Určenie smerov a veľkosti hlavných osových kvadratických momentov prierezu Záporný uhol znamená pre Jy  Jz odklon osi 1 od osi y v smere hodinových ručičiek. Záporný uhol znamená pre Jz  Jy odklon osi 2 od osi y v smere hodinových ručičiek. Pre    H osové kvadratické momenty prierezu nadobúdajú extrémne hodnoty, ktoré možno určiť zo vzťahu 2 Jy  Jz  Jy  Jz  J1,2      Dyz. 2 2  2  17  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Grafické určenie kvadratických momentov prierezu k pootočeným osiam Grafickým riešením určenia kvadratických momentov prierezu k pootočeným osiam je Culmannova kružnica 18  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Kvadratické polomery prierezu a elipsa osových kvadratických momentov prierezu Osový kvadratický moment prierezu k ľubovoľnej osi y možno vyjadriť v tvare Jy   z 2 dA  i y2  A A  kde i y je kvadratický polomer prierezu k osi y. Hlavným centrálnym kvadratickým momentom prierezu odpovedajú hlavné kvadratické polomery prierezu J1 J2 i1  , i2 . A A 19  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Prierezový modul (modul prierezu) v OHYBE Modul prierezu v ohybe je definovaný ako pomer osového kvadratického momentu prierezu k hlavnej centrálnej osi a vzdialenosti krajného (najviac vzdialeného) bodu plochy priečneho prierezu od tejto osi Wy  Jy zmax. mm  3 V praxi sa často vyskytujú obdĺžnikové, kruhové a medzikruhové prierezy. Moduly prierezu v ohybe sú pre obdĺžnik b  h2 Jy Jz h  b2 Wy   , Wz   , h2 6 b2 6 20  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Prierezový modul (modul prierezu) v OHYBE Moduly prierezu v ohybe pre kruhový prierez Jy   R3  d3 W y  Wz    R 4 32 Moduly prierezu v ohybe pre medzikruhový prierez s vonkajším priemerom D a vnútorným priemerom d W y  Wz   Jy    D 4  d 4   D3     d 4   1    . D2 32  D 32   D   21  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Prierezový modul (modul prierezu) v OHYBE Pre plochu nesymetrickú k danej osi možno určiť dva rôzne moduly prierezu v ohybe určené vzťahmi Jy Wy 1  , z1 Jy Wy 2 . z2 22  Technická univerzita v Košiciach, Strojnícka fakulta, Letná 9, 042 00 Košice Ústav mechaniky, energetického a konštrukčného inžinierstva, Katedra aplikovanej mechaniky a strojného inžinierstva GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLÔCH Prierezový modul (modul prierezu) v KRÚTENÍ Polárnym modulom kruhového a medzikruhového prierezu nazývame pomer polárneho kvadratického momentu prierezu a vzdialenosti najviac vzdialeného bodu prierezu od pólu JP WP . rmax Pre kruhový prierez má hodnotu JP   R 3   d 3 WP    R 2 16 a pre medzikruhový prierez je rovný 2  JP   D3   d   4 WP    1    . D 16   D     23