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# Fonction logarithme népérien ## I) Définition et propriétés algébriques ### 1) Définition **Définition :** On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, la primitive de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$ définie sur $]0;+\infty[$ et qui s'annule en 1. **Conséquence :** - La fonction...

# Fonction logarithme népérien ## I) Définition et propriétés algébriques ### 1) Définition **Définition :** On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, la primitive de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$ définie sur $]0;+\infty[$ et qui s'annule en 1. **Conséquence :** - La fonction ln est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x>0$, on a: $(ln(x))' = \frac{1}{x}$ - $ln(1) = 0$ ### 2) Propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier relatif n, on a: - $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$ - $ln(\frac{1}{a}) = -ln(a)$ - $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$ - $ln(a^n) = n \cdot ln(a)$ - $ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} ln(a)$ ## II) Étude de la fonction ln ### 1) Sens de variation et représentation graphique La fonction ln est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x>0$, on a: $(ln(x))' = \frac{1}{x}$ Comme, pour tout $x>0$, $\frac{1}{x}>0$, alors la fonction ln est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. ### 2) Limites - $\lim_{x \to 0^+} ln(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$ ### 3) Tableau de variation | x | 0 | 1 | $+\infty$ | | :-- | :------- | :-- | :--------- | | ln' | $\parallel$ | + | + | | ln | $\parallel$ | 0 | $+\infty$ | | | $-\infty$ | | | ### 4) Représentation graphique The image shows a graph. The x-axis ranges from 0 to 10, and the y-axis ranges from -2 to 4. The graph is of a logarithmic function, the natural logarithm, specifically. It starts from negative infinity and increases. The graph crosses the x-axis at x=1, where y=0 ### 5) Dérivées Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $ln(u)$ est dérivable sur I et on a: $(ln(u))' = \frac{u'}{u}$ *Exemples :* - $f(x) = ln(2x+3)$ est définie sur $]-\frac{3}{2};+\infty[$ et $f'(x) = \frac{2}{2x+3}$ - $f(x) = ln(x^2+1)$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ ## III) Fonction $ln(kx)$ avec $k \in \mathbb{R}^*$ ### 1) Étude Soit k un réel non nul. On considère la fonction $f: x \longmapsto ln(kx)$. - Si $k>0$, alors $D_f = ]0;+\infty[$ - Si $k