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# Teorema de Bayes Na teoria das probabilidades e estatística, o **Teorema de Bayes** (alternativamente **Lei de Bayes** ou **Regra de Bayes**) descreve a probabilidade de um evento, baseado em conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas ao evento. ## Formalmente O Teorema de Ba...

# Teorema de Bayes Na teoria das probabilidades e estatística, o **Teorema de Bayes** (alternativamente **Lei de Bayes** ou **Regra de Bayes**) descreve a probabilidade de um evento, baseado em conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas ao evento. ## Formalmente O Teorema de Bayes é expresso matematicamente como: $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ Onde: * $P(A|B)$ é a probabilidade condicional de $A$, dado que $B$ é verdadeiro. * $P(B|A)$ é a probabilidade condicional de $B$, dado que $A$ é verdadeiro. * $P(A)$ e $P(B)$ são as probabilidades de $A$ e $B$ serem verdadeiros independentemente. ## Dedução O Teorema de Bayes pode ser deduzido das seguintes identidades: $$ P(A \cap B) = P(A|B)P(B) $$ $$ P(A \cap B) = P(B|A)P(A) $$ Assim $$ P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) $$ $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ ## Exemplo Uma doença acomete 1% da população. Existe um teste para detectar a doença que possui uma taxa de 5% de falsos positivos (o teste indica que a pessoa tem a doença, mas ela não tem) e não detecta a doença em 1% das pessoas que a possuem. Uma pessoa se submete ao teste e o resultado é positivo. Qual a probabilidade desta pessoa ser portadora da doença? ### Solução Seja $D$ o evento "a pessoa é portadora da doença", e $T$ o evento "o teste deu positivo". Queremos calcular $P(D|T)$. Pelo Teorema de Bayes: $$ P(D|T) = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T)} $$ Temos: * $P(D) = 0,01$ * $P(T|D) = 0,99$ * $P(T) = P(T|D)P(D) + P(T|\neg D)P(\neg D) = 0,99 \cdot 0,01 + 0,05 \cdot 0,99 = 0,0594$ Assim: $$ P(D|T) = \frac{0,99 \cdot 0,01}{0,0594} \approx 0,1667 $$ Ou seja, a probabilidade da pessoa ser portadora da doença, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 16,67%.