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# Funciones vectoriales de variable real ## Curvas alabeadas Una función vectorial de variable real es una función $\overrightarrow{r}: I \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3$ donde a cada valor de la variable real $t$ le corresponde un vector de $\mathbb{R}^3$: $\qquad \overrightarr...

# Funciones vectoriales de variable real ## Curvas alabeadas Una función vectorial de variable real es una función $\overrightarrow{r}: I \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3$ donde a cada valor de la variable real $t$ le corresponde un vector de $\mathbb{R}^3$: $\qquad \overrightarrow{r}(t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)\overrightarrow{i} + g(t)\overrightarrow{j} + h(t)\overrightarrow{k}$ donde $f(t)$, $g(t)$ y $h(t)$ son funciones reales de variable real y se denominan funciones componentes de $\overrightarrow{r}(t)$. Cuando $t$ varía en el intervalo $I$, el extremo del vector $\overrightarrow{r}(t)$ describe una curva en el espacio que se denomina curva alabeada. ### Ejemplo $\overrightarrow{r}(t) = t\overrightarrow{i} + t^2\overrightarrow{j} + t^3\overrightarrow{k}$ $\overrightarrow{r}(t) = (t, t^2, t^3)$ $x = t$, $y = t^2$, $z = t^3$ $\overrightarrow{r}(t) = \cos t \overrightarrow{i} + \text{sen } t \overrightarrow{j} + t\overrightarrow{k}$ $\overrightarrow{r}(t) = (\cos t, \text{sen } t, t)$ $x = \cos t$, $y = \text{sen } t$, $z = t$ (hélice) ### Derivada de una función vectorial Sea $\overrightarrow{r}(t) = (f(t), g(t), h(t))$ $\qquad \overrightarrow{r}'(t) = \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\overrightarrow{r}(t + \Delta t) - \overrightarrow{r}(t)}{\Delta t} = (f'(t), g'(t), h'(t))$ La derivada $\overrightarrow{r}'(t)$ es un vector tangente a la curva en el punto $\overrightarrow{r}(t)$. ### Ejemplo $\overrightarrow{r}(t) = t^2\overrightarrow{i} + t^3\overrightarrow{j} + t\overrightarrow{k}$ $\overrightarrow{r}'(t) = 2t\overrightarrow{i} + 3t^2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ ### Integral de una función vectorial Sea $\overrightarrow{r}(t) = (f(t), g(t), h(t))$ $\qquad \int \overrightarrow{r}(t) dt = \left( \int f(t) dt, \int g(t) dt, \int h(t) dt \right)$ ### Ejemplo $\overrightarrow{r}(t) = t^2\overrightarrow{i} + t^3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ $\qquad \int \overrightarrow{r}(t) dt = \left( \int t^2 dt, \int t^3 dt, \int dt \right) = \left( \frac{t^3}{3} + C_1, \frac{t^4}{4} + C_2, t + C_3 \right)$