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# Matrizen ## Definition Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten: $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ - $a_{ij...

# Matrizen ## Definition Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten: $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ - $a_{ij}$ bezeichnet das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte. - Matrizen werden mit großen Buchstaben bezeichnet, z.B. $A, B, C$. - Die Menge aller $m \times n$ Matrizen mit Elementen aus $\mathbb{K}$ wird mit $\mathbb{K}^{m \times n}$ bezeichnet. ## Spezielle Matrizen - **Quadratische Matrix:** $m = n$ - **Nullmatrix:** $a_{ij} = 0$ für alle $i, j$ - **Einheitsmatrix:** $I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$ (nur für quadratische Matrizen) - **Diagonalmatrix:** $a_{ij} = 0$ für alle $i \neq j$ - **Obere Dreiecksmatrix:** $a_{ij} = 0$ für alle $i > j$ - **Untere Dreiecksmatrix:** $a_{ij} = 0$ für alle $i < j$ - **Symmetrische Matrix:** $A = A^T$, d.h. $a_{ij} = a_{ji}$ für alle $i, j$ - **Antisymmetrische Matrix:** $A = -A^T$, d.h. $a_{ij} = -a_{ji}$ für alle $i, j$ ## Matrixoperationen ### Addition $A, B \in \mathbb{K}^{m \times n}$. $C = A + B$ mit $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ ### Skalarmultiplikation $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, \lambda \in \mathbb{K}$. $C = \lambda A$ mit $c_{ij} = \lambda a_{ij}$ ### Matrixmultiplikation $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, B \in \mathbb{K}^{n \times p}$. $C = A \cdot B$ mit $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$ **Achtung:** - Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. i.A. $A \cdot B \neq B \cdot A$ - Matrixmultiplikation ist assoziativ, d.h. $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ - Matrixmultiplikation ist distributiv, d.h. $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ und $(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$ ### Transponieren $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$. $A^T \in \mathbb{K}^{n \times m}$ mit $(A^T)_{ij} = a_{ji}$ Eigenschaften: - $(A + B)^T = A^T + B^T$ - $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ - $(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$ - $(A^T)^T = A$ ### Invertieren Eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ist invertierbar, falls eine Matrix $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ existiert, sodass $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$. Eigenschaften: - $(A^{-1})^{-1} = A$ - $(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}$ - $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ - $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ## Rechenregeln Für Matrizen $A, B, C$ und Skalare $\lambda, \mu$ gelten folgende Rechenregeln (sofern die Operationen definiert sind): - $A + B = B + A$ (Kommutativität der Addition) - $(A + B) + C = A + (B + C)$ (Assoziativität der Addition) - $\lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B$ (Distributivität der Skalarmultiplikation) - $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$ (Distributivität der Skalarmultiplikation) - $(\lambda \mu) A = \lambda (\mu A)$ (Assoziativität der Skalarmultiplikation) - $A + 0 = A$ ( нейтральный элемент сложения) - $A \cdot I = I \cdot A = A$ (Neutrales Element der Multiplikation) ## Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem (LGS) kann in Matrixform dargestellt werden: $A \cdot x = b$ wobei: - $A$ die Koeffizientenmatrix ist - $x$ der Vektor der Unbekannten ist - $b$ der Vektor der konstanten Terme ist ### Lösungsmethoden - Gauß-Elimination - Cramer'sche Regel (nur für eindeutig lösbare Systeme) - Invertieren der Matrix $A$ (falls $A$ invertierbar ist: $x = A^{-1} \cdot b$)