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## Algèbre linéaire ### Définition Une application $f: E \rightarrow F$ est linéaire si: * $f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y \in E$ * $f(\lambda x) = \lambda f(x) \quad \forall x \in E, \lambda \in \mathbb{K}$ ### Propriétés * $f(0_E) = 0_F$ * $f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in...

## Algèbre linéaire ### Définition Une application $f: E \rightarrow F$ est linéaire si: * $f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y \in E$ * $f(\lambda x) = \lambda f(x) \quad \forall x \in E, \lambda \in \mathbb{K}$ ### Propriétés * $f(0_E) = 0_F$ * $f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in E$ * $f(\sum_{i=1}^{n} x_i) = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$ * $f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i)$ ### Exemples * $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x, y) \mapsto x + y$ * $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y) \mapsto (x + y, x - y)$ * $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y) \mapsto (x^2, y)$ n'est pas linéaire ### Vocabulaire * Endomorphisme : application linéaire de $E$ dans $E$ * Isomorphisme : application linéaire bijective * Automorphisme : endomorphisme bijectif ### Noyau et image Soit $f: E \rightarrow F$ une application linéaire. * Noyau: $\operatorname{Ker}(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}$ * Image: $\operatorname{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\}$ **Propriétés** * $\operatorname{Ker}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ * $\operatorname{Im}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $F$ * $f$ injective $\Leftrightarrow \operatorname{Ker}(f) = \{0_E\}$ * $\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Vect}(f(e_1), \dots, f(e_n))$ où $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ ### Théorème du rang Soit $f: E \rightarrow F$ une application linéaire avec $E$ de dimension finie. Alors: $\operatorname{dim}(E) = \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f)) + \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(f))$ $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(f))$ est appelé le rang de $f$, noté $\operatorname{rg}(f)$. ### Matrice d'une application linéaire Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, et soient $\mathcal{B}_E = (e_1, \dots, e_n)$ et $\mathcal{B}_F = (f_1, \dots, f_m)$ des bases de $E$ et $F$ respectivement. Soit $x \in E$, on a $x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i$. Alors $f(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i f(e_i)$. La matrice de $f$ dans les bases $\mathcal{B}_E$ et $\mathcal{B}_F$ est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs $f(e_1), \dots, f(e_n)$ dans la base $\mathcal{B}_F$. On la note $M_{\mathcal{B}_E, \mathcal{B}_F}(f)$. ### Calcul pratique Si $X$ est la matrice des coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal{B}_E$, alors la matrice des coordonnées de $f(x)$ dans la base $\mathcal{B}_F$ est $M_{\mathcal{B}_E, \mathcal{B}_F}(f) X$. ### Cas particulier Si $f$ est un endomorphisme de $E$, on choisit souvent la même base pour $E$ au départ et à l'arrivée. On note alors $M_{\mathcal{B}}(f)$ la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$. ### Changement de base Soient $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ deux bases de $E$, et soit $f$ un endomorphisme de $E$. Alors: $M_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} M_{\mathcal{B}}(f) P$ où $P$ est la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$.