IMG_8023.jpeg

# Funciones vectoriales de variable real ## 1. Introducción. Definiciones ### Definición Una función vectorial de variable real es una función $\overrightarrow{r}(t)$ que aplica un número real $t \in I \subseteq \mathbb{R}$ en un vector de $\mathbb{R}^n$: $\qquad \begin{aligned} \overrightarrow{...

# Funciones vectoriales de variable real ## 1. Introducción. Definiciones ### Definición Una función vectorial de variable real es una función $\overrightarrow{r}(t)$ que aplica un número real $t \in I \subseteq \mathbb{R}$ en un vector de $\mathbb{R}^n$: $\qquad \begin{aligned} \overrightarrow{r}: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R}^n \\ t & \longmapsto \overrightarrow{r}(t)=\left(f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t)\right) \end{aligned}$ Donde las funciones $f_i(t)$ son funciones reales de variable real, que se denominan funciones componentes de $\overrightarrow{r}(t)$. ### Ejemplo La función $\overrightarrow{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ es una función vectorial de variable real que aplica un número real $t$ en un vector de $\mathbb{R}^3$. Las funciones componentes son $f_1(t) = \cos t$, $f_2(t) = \sin t$ y $f_3(t) = t$. ### Definición Se define el límite de una función vectorial $\overrightarrow{r}(t)$ cuando $t$ tiende a $t_0$ como el vector formado por los límites de las funciones componentes: $\qquad \lim_{t \to t_0} \overrightarrow{r}(t) = \left( \lim_{t \to t_0} f_1(t), \lim_{t \to t_0} f_2(t), \ldots, \lim_{t \to t_0} f_n(t) \right)$ Siempre y cuando existan todos los límites de las funciones componentes. ### Definición Una función vectorial $\overrightarrow{r}(t)$ se dice que es continua en $t_0$ si se cumplen las siguientes condiciones: * Existe $\overrightarrow{r}(t_0)$. * Existe $\lim_{t \to t_0} \overrightarrow{r}(t)$. * $\lim_{t \to t_0} \overrightarrow{r}(t) = \overrightarrow{r}(t_0)$. Es decir, una función vectorial es continua en $t_0$ si lo son todas sus funciones componentes. ## 2. Derivada de una función vectorial ### Definición Se define la derivada de una función vectorial $\overrightarrow{r}(t)$ como: $\qquad \overrightarrow{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\overrightarrow{r}(t+h) - \overrightarrow{r}(t)}{h} = \left( f_1'(t), f_2'(t), \ldots, f_n'(t) \right)$ Siempre y cuando existan todas las derivadas de las funciones componentes. ### Interpretación geométrica La derivada de una función vectorial $\overrightarrow{r}'(t)$ es un vector tangente a la curva descrita por $\overrightarrow{r}(t)$ en el punto $\overrightarrow{r}(t)$. ### Ejemplo Sea la función $\overrightarrow{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$. Su derivada es $\overrightarrow{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$. ### Propiedades de la derivada Sean $\overrightarrow{r}(t)$ y $\overrightarrow{s}(t)$ funciones vectoriales derivables, y $f(t)$ una función escalar derivable. Entonces: * $[\overrightarrow{r}(t) + \overrightarrow{s}(t)]' = \overrightarrow{r}'(t) + \overrightarrow{s}'(t)$ * $[f(t) \overrightarrow{r}(t)]' = f'(t) \overrightarrow{r}(t) + f(t) \overrightarrow{r}'(t)$ * $[\overrightarrow{r}(t) \cdot \overrightarrow{s}(t)]' = \overrightarrow{r}'(t) \cdot \overrightarrow{s}(t) + \overrightarrow{r}(t) \cdot \overrightarrow{s}'(t)$ * $[\overrightarrow{r}(t) \times \overrightarrow{s}(t)]' = \overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{s}(t) + \overrightarrow{r}(t) \times \overrightarrow{s}'(t)$ * $[\overrightarrow{r}(f(t))]' = \overrightarrow{r}'(f(t)) \cdot f'(t)$ ## 3\. Integral de una función vectorial ### Definición Se define la integral de una función vectorial $\overrightarrow{r}(t)$ como: $\qquad \int \overrightarrow{r}(t) dt = \left( \int f_1(t) dt, \int f_2(t) dt, \ldots, \int f_n(t) dt \right) + \overrightarrow{C}$ Donde $\overrightarrow{C}$ es un vector constante de integración. ### Ejemplo Sea la función $\overrightarrow{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$. Su integral es $\int \overrightarrow{r}(t) dt = (\sin t, -\cos t, \frac{t^2}{2}) + \overrightarrow{C}$. ### Integral definida Se define la integral definida de una función vectorial $\overrightarrow{r}(t)$ entre $a$ y $b$ como: $\qquad \int_a^b \overrightarrow{r}(t) dt = \left( \int_a^b f_1(t) dt, \int_a^b f_2(t) dt, \ldots, \int_a^b f_n(t) dt \right)$