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# Algèbre Linéaire: Applications et Modèles ## Chapitre 1: Systèmes Linéaires ### 1.1 Introduction L'algèbre linéaire est une branche des mathématiques qui étudie les systèmes d'équations linéaires, les espaces vectoriels, et les transformations linéaires. Elle est fondamentale dans de nombreux d...

# Algèbre Linéaire: Applications et Modèles ## Chapitre 1: Systèmes Linéaires ### 1.1 Introduction L'algèbre linéaire est une branche des mathématiques qui étudie les systèmes d'équations linéaires, les espaces vectoriels, et les transformations linéaires. Elle est fondamentale dans de nombreux domaines tels que l'ingénierie, l'informatique, la physique, l'économie et les statistiques. **Définition 1.1.** Une équation linéaire en les variables $x_1, x_2,..., x_n$ est une équation de la forme $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$ où $a_1, a_2,..., a_n$ et $b$ sont des constantes réelles ou complexes, appelées coefficients. **Exemple 1.1.** L'équation $3x - 2y + z = 5$ est une équation linéaire en les variables $x, y, z$ avec les coefficients $a_1 = 3, a_2 = -2, a_3 = 1$ et $b = 5$. **Définition 1.2.** Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues est un ensemble d'équations de la forme: $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$ $...$ $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m$ où $a_{ij}$ et $b_i$ sont des constantes. **Définition 1.3.** Une solution d'un système d'équations linéaires est un ensemble de valeurs pour les variables $x_1, x_2,..., x_n$ qui satisfont toutes les équations du système simultanément. **Exemple 1.2.** Considérons le système d'équations linéaires suivant: $x + y = 3$ $x - y = 1$ La solution de ce système est $x = 2$ et $y = 1$, car ces valeurs satisfont les deux équations. ### 1.2 Méthodes de Résolution Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les systèmes d'équations linéaires, notamment: 1. **Substitution:** On exprime une variable en fonction des autres à partir d'une équation, puis on substitue cette expression dans les autres équations. 2. **Élimination (ou combinaison linéaire):** On multiplie les équations par des constantes de manière à éliminer une variable lorsqu'on additionne les équations entre elles. 3. **Méthode matricielle (Gauss, Gauss-Jordan):** On utilise les matrices pour représenter le système et on effectue des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice pour résoudre le système. #### 1.2.1 Méthode de Substitution **Exemple 1.3.** Résolvons le système suivant par substitution: $x + 2y = 5$ $3x - y = 1$ À partir de la première équation, on a $x = 5 - 2y$. En substituant dans la deuxième équation, on obtient: $3(5 - 2y) - y = 1$ $15 - 6y - y = 1$ $-7y = -14$ $y = 2$ En substituant $y = 2$ dans $x = 5 - 2y$, on trouve $x = 5 - 2(2) = 1$. Donc, la solution est $x = 1$ et $y = 2$. #### 1.2.2 Méthode d'Élimination **Exemple 1.4.** Résolvons le système suivant par élimination: $2x + y = 8$ $x - y = 1$ On additionne les deux équations pour éliminer $y$: $(2x + y) + (x - y) = 8 + 1$ $3x = 9$ $x = 3$ En substituant $x = 3$ dans la deuxième équation, on obtient: $3 - y = 1$ $y = 2$ Donc, la solution est $x = 3$ et $y = 2$. #### 1.2.3 Méthode Matricielle **Définition 1.4.** Un système d'équations linéaires peut être représenté sous forme matricielle comme suit: $AX = B$ Où: * $A$ est la matrice des coefficients. * $X$ est le vecteur des variables. * $B$ est le vecteur des constantes. **Exemple 1.5.** Le système $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2$ peut être écrit sous forme matricielle comme: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ **Définition 1.5.** La matrice augmentée d'un système linéaire est la matrice formée en ajoutant le vecteur des constantes $B$ à la matrice des coefficients $A$. **Exemple 1.6.** Pour le système de l'exemple 1.5, la matrice augmentée est: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \end{bmatrix}$ ### Opérations Élémentaires sur les Lignes Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont: 1. **Échange de deux lignes:** $R_i \leftrightarrow R_j$ 2. **Multiplication d'une ligne par une constante non nulle:** $kR_i \rightarrow R_i$ où $k \neq 0$ 3. **Addition d'un multiple d'une ligne à une autre ligne:** $R_i + kR_j \rightarrow R_i$