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# Algèbre Linéaire ## 1. Vecteurs ### 1.1 Représentation Un vecteur $v$ dans $\mathbb{R}^n$ est une liste ordonnée de $n$ nombres réels: $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$ ### 1.2 Opérations Soient $u, v \in \mathbb{R}^n$ et $c \in \mathbb{R}$ (scalaire) * **Addi...

# Algèbre Linéaire ## 1. Vecteurs ### 1.1 Représentation Un vecteur $v$ dans $\mathbb{R}^n$ est une liste ordonnée de $n$ nombres réels: $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$ ### 1.2 Opérations Soient $u, v \in \mathbb{R}^n$ et $c \in \mathbb{R}$ (scalaire) * **Addition vectorielle:** $u + v = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix}$ * **Multiplication scalaire:** $cu = \begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \\ \vdots \\ cu_n \end{bmatrix}$ ### 1.3 Combinaison Linéaire Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1, v_2, \dots, v_p$ dans $\mathbb{R}^n$ est un vecteur de la forme: $c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_p v_p$ où $c_1, c_2, \dots, c_p$ sont des scalaires. ### 1.4 Produit Scalaire (Dot Product) $u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ ### 1.5 Norme (Magnitude) $\|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$ ## 2. Matrices ### 2.1 Représentation Une matrice $A$ de dimensions $m \times n$ est un tableau rectangulaire de nombres avec $m$ lignes et $n$ colonnes: $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$ ### 2.2 Opérations Soient $A, B$ des matrices de dimensions $m \times n$ et $c \in \mathbb{R}$ (scalaire). * **Addition matricielle:** $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$ * **Multiplication scalaire:** $cA = [ca_{ij}]$ ### 2.3 Multiplication Matricielle Si $A$ est une matrice $m \times n$ et $B$ est une matrice $n \times p$, alors le produit $AB$ est une matrice $m \times p$ où l'élément $(i, j)$ est donné par: $(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}$ ### 2.4 Transposition La transposée d'une matrice $A$, notée $A^T$, est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. Si $A$ est une matrice $m \times n$, alors $A^T$ est une matrice $n \times m$. ### 2.5 Matrice Identité La matrice identité $I_n$ est une matrice carrée $n \times n$ avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs. $I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}$ ### 2.6 Inverse d'une Matrice Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB = BA = I$. La matrice $B$ est appelée l'inverse de $A$ et est notée $A^{-1}$.