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# Chapitre 2: Systèmes linéaires ## 2.1 Introduction ### Définition 2.1 Un système de *m* équations linéaires à *n* inconnues $x_1, x_2,..., x_n$ est un système de la forme $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x...

# Chapitre 2: Systèmes linéaires ## 2.1 Introduction ### Définition 2.1 Un système de *m* équations linéaires à *n* inconnues $x_1, x_2,..., x_n$ est un système de la forme $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n &= b_2 \\... \qquad... \qquad... \qquad...\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned} \end{cases}$ où les $a_{ij}$ et les $b_i$ sont des scalaires donnés. Une solution d'un tel système est un *n*-uplet $(\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n)$ de scalaires qui satisfait simultanément les *m* équations. L'ensemble de toutes les solutions est appelé l'*ensemble solution* du système. ### Exemple $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} x - y &= 1 \\ 2x + y &= 6 \end{aligned} \end{cases}$ est un système de 2 équations à 2 inconnues. Le couple (7/3, 4/3) est une solution de ce système. ### Définition 2.2 Un système d'équations linéaires qui n'a aucune solution est dit *incompatible*. Un système qui possède au moins une solution est dit *compatible*. Deux systèmes d'équations linéaires sont dits *équivalents* s'ils ont le même ensemble solution. ## 2.2 Opérations élémentaires L'idée fondamentale pour résoudre un système d'équations linéaires est de le transformer en un système équivalent plus simple, c'est-à-dire un système pour lequel les solutions sont faciles à trouver. Les transformations utilisées sont appelées *opérations élémentaires*. ### Proposition 2.1 Les opérations suivantes transforment un système d'équations linéaires en un système équivalent: 1. Interchanger deux équations. 2. Multiplier une équation par un scalaire non nul. 3. Ajouter à une équation un multiple d'une autre équation. ### Exemple Considérons le système $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} x - y &= 1 \\ 2x + y &= 6 \end{aligned} \end{cases}$ Si on ajoute à la deuxième équation -2 fois la première, on obtient le système équivalent $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} x - y &= 1 \\ 3y &= 4 \end{aligned} \end{cases}$ On trouve alors facilement $y = 7/3$ et $x = 1 + y = 4/3$.