IMG_3017.jpeg

# Tóm tắt về biến đổi Fourier rời rạc (DFT) ## 1. Định nghĩa **Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)** biến đổi một chuỗi các giá trị phức rời rạc thành một biểu diễn miền tần số rời rạc. **Công thức:** $$ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi kn/N} $$ trong đó: * $x_n$ là tín hiệu đầu vào rời rạc t...

# Tóm tắt về biến đổi Fourier rời rạc (DFT) ## 1. Định nghĩa **Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)** biến đổi một chuỗi các giá trị phức rời rạc thành một biểu diễn miền tần số rời rạc. **Công thức:** $$ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi kn/N} $$ trong đó: * $x_n$ là tín hiệu đầu vào rời rạc trong miền thời gian * $X_k$ là thành phần tần số rời rạc trong miền tần số * $N$ là độ dài của tín hiệu đầu vào * $k = 0, 1, 2,..., N-1$ là chỉ số tần số * $n = 0, 1, 2,..., N-1$ là chỉ số thời gian * $j$ là đơn vị ảo ($j^2 = -1$) **Biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT):** $$ x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\pi kn/N} $$ ## 2. Tính chất * **Độ tuyến tính:** DFT là một toán tử tuyến tính. * **Tính đối xứng Hermiti:** Nếu $x_n$ là thực, thì $X_k = X_{N-k}^*$ (trong đó $*$ biểu thị liên hợp phức). * **Định lý Parseval:** $$ \sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2 $$ * **Dịch vòng:** Dịch một tín hiệu trong miền thời gian tương ứng với một pha tuyến tính trong miền tần số. * **Tương quan chéo:** DFT của tương quan chéo của hai tín hiệu bằng tích của DFT của một tín hiệu và liên hợp phức của DFT của tín hiệu kia. * **Chập:** Chập của hai tín hiệu trong miền thời gian tương ứng với tích của DFT của chúng trong miền tần số. ## 3. Ứng dụng * **Xử lý tín hiệu:** Phân tích và lọc tín hiệu âm thanh, hình ảnh và các loại dữ liệu khác. * **Truyền thông:** Điều chế và giải điều chế tín hiệu. * **Phân tích phổ:** Xác định các thành phần tần số trong một tín hiệu. * **Nén dữ liệu:** Nén dữ liệu âm thanh và hình ảnh (ví dụ: JPEG, MP3). * **Giải các phương trình vi phân:** DFT có thể được sử dụng để giải gần đúng các phương trình vi phân. ## 4. Ưu điểm và nhược điểm **Ưu điểm:** * Hiệu quả tính toán (đặc biệt là với thuật toán FFT). * Được sử dụng rộng rãi và được hỗ trợ tốt. **Nhược điểm:** * Giới hạn ở tín hiệu rời rạc có độ dài hữu hạn. * "Leakage" tần số có thể xảy ra nếu tín hiệu không tuần hoàn trong cửa sổ DFT. ## 5. Các biến thể * **FFT (Fast Fourier Transform):** Một thuật toán hiệu quả để tính DFT. * **Real-valued DFT:** Các biến thể DFT được tối ưu hóa cho tín hiệu thực. * **Short-Time Fourier Transform (STFT):** Phân tích tín hiệu thay đổi theo thời gian bằng cách áp dụng DFT cho các cửa sổ ngắn hơn của tín hiệu. * **Discrete Cosine Transform (DCT):** Một biến đổi liên quan thường được sử dụng để nén dữ liệu.