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# Funciones vectoriales de variable escalar ### Definición Una función vectorial de variable escalar es una función $\vec{r}: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ donde a cada número real $t$ en el intervalo $I$ se le asocia un vector $\vec{r}(t)$ en $\mathbb{R}^n$. $$\vec{r}(t) = \la...

# Funciones vectoriales de variable escalar ### Definición Una función vectorial de variable escalar es una función $\vec{r}: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ donde a cada número real $t$ en el intervalo $I$ se le asocia un vector $\vec{r}(t)$ en $\mathbb{R}^n$. $$\vec{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t) \rangle = f_1(t)\vec{i} + f_2(t)\vec{j} + \dots + f_n(t)\vec{k}$$ Las funciones $f_1, f_2, \dots, f_n$ son las funciones componentes de $\vec{r}$. ### Límite de una función vectorial Si $\vec{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t) \rangle$, entonces $$\lim_{t \to a} \vec{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} f_1(t), \lim_{t \to a} f_2(t), \dots, \lim_{t \to a} f_n(t) \rangle$$ siempre que existan los límites de las funciones componentes. ### Continuidad Una función vectorial $\vec{r}$ es continua en $a$ si $$\lim_{t \to a} \vec{r}(t) = \vec{r}(a)$$ En términos de las funciones componentes, $\vec{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t) \rangle$ es continua en $a$ si y solo si cada una de sus funciones componentes $f_1, f_2, \dots, f_n$ es continua en $a$. ### Derivada La derivada de una función vectorial $\vec{r}$ se define de manera similar a la derivada de una función escalar: $$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\vec{r}(t+h) - \vec{r}(t)}{h}$$ si este límite existe. La derivada $\vec{r}'(t)$ es también una función vectorial. Si $\vec{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t) \rangle$, entonces $$\vec{r}'(t) = \langle f_1'(t), f_2'(t), \dots, f_n'(t) \rangle$$ ### Integrales La integral indefinida de $\vec{r}(t)$ es un vector función $\vec{R}(t)$ tal que $\vec{R}'(t) = \vec{r}(t)$. $$\int \vec{r}(t) dt = \langle \int f_1(t) dt, \int f_2(t) dt, \dots, \int f_n(t) dt \rangle$$ La integral definida de $\vec{r}(t)$ entre $a$ y $b$ se define como: $$\int_a^b \vec{r}(t) dt = \langle \int_a^b f_1(t) dt, \int_a^b f_2(t) dt, \dots, \int_a^b f_n(t) dt \rangle$$