IMG_2076.jpeg

# Matrizes Uma matriz é uma tabela de números. Matrizes são denotadas por letras maiúsculas, por exemplo, $A$, $B$ e $C$. ## Ordem de uma Matriz A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas que ela tem. Uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas é chamada de matriz $m \times n$ (lê-se "$m$ p...

# Matrizes Uma matriz é uma tabela de números. Matrizes são denotadas por letras maiúsculas, por exemplo, $A$, $B$ e $C$. ## Ordem de uma Matriz A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas que ela tem. Uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas é chamada de matriz $m \times n$ (lê-se "$m$ por $n$"). Por exemplo, a matriz $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ tem 2 linhas e 3 colunas. Portanto, a ordem de $A$ é $2 \times 3$. ## Elementos de uma Matriz Os números em uma matriz são chamados de elementos ou entradas. O elemento na $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna de uma matriz $A$ é denotado por $a_{ij}$. Por exemplo, na matriz $A$ acima, $a_{11} = 1$, $a_{12} = 2$, $a_{13} = 3$, $a_{21} = 4$, $a_{22} = 5$ e $a_{23} = 6$. ## Tipos de Matrizes Existem vários tipos de matrizes, incluindo: * Matriz quadrada: uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. * Matriz linha: uma matriz com apenas uma linha. * Matriz coluna: uma matriz com apenas uma coluna. * Matriz diagonal: uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. * Matriz identidade: uma matriz diagonal em que todos os elementos na diagonal principal são 1. * Matriz nula: uma matriz em que todos os elementos são zero. ## Operações com Matrizes As matrizes podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas. Elas também podem ser multiplicadas por um escalar. ### Adição de Matrizes Para somar duas matrizes, elas devem ter a mesma ordem. A soma de duas matrizes $A$ e $B$ é uma matriz $C$ cujos elementos são dados por $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$. Por exemplo, se $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ então $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$. ### Subtração de Matrizes Para subtrair duas matrizes, elas devem ter a mesma ordem. A diferença entre duas matrizes $A$ e $B$ é uma matriz $C$ cujos elementos são dados por $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$. Por exemplo, se $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ portanto $A - B = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}$. ### Multiplicação Escalar Para multiplicar uma matriz $A$ por um escalar $k$, basta multiplicar cada elemento de $A$ por $k$. A matriz resultante é denotada por $kA$. Por exemplo, se $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $k = 2$, então $kA = 2\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$. ## Multiplicação de Matrizes Para multiplicar duas matrizes $A$ e $B$, o número de colunas de $A$ deve ser igual ao número de linhas de $B$. O produto de uma matriz $m \times n$ $A$ e uma matriz $n \times p$ $B$ é uma matriz $m \times p$ $C$ cujos elementos são dados por $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$. Por exemplo, se $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ então $AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$. ## Transposta de uma Matriz A transposta de uma matriz $A$ é a matriz obtida trocando as linhas e colunas de $A$. A transposta de $A$ é denotada por $A^T$. Por exemplo, se $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ então $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$. ## Inversa de uma Matriz A inversa de uma matriz quadrada $A$ é uma matriz $A^{-1}$ tal que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, onde $I$ é a matriz identidade. Nem todas as matrizes quadradas têm uma inversa. Uma matriz que tem uma inversa é chamada de inversível ou não singular. Uma matriz que não tem inversa é chamada de não inversível ou singular. ## Determinante de uma Matriz O determinante de uma matriz quadrada $A$ é um escalar que pode ser calculado a partir dos elementos de $A$. O determinante de $A$ é denotado por $\det(A)$ ou $|A|$. O determinante de uma matriz $2 \times 2$ é dado por $\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$. O determinante de uma matriz $3 \times 3$ é dado por $\det\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = a\det\begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix} - b\det\begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} + c\det\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}$. ## Aplicações de Matrizes As matrizes têm muitas aplicações em matemática, física, engenharia e ciência da computação. Elas são usadas para representar transformações lineares, resolver sistemas de equações lineares e armazenar dados.