Cours de physique : Résistances et Sources PDF

Chap 5 bis - Résistances et sources Objectifs Notions Capacités exigibles Dipôles : résistances, sources décrites par C5 bis_1 Utiliser les relations entre l’intensité et la tension. un modèle linéaire. C5 bis_2 Citer des ord...

Chap 5 bis - Résistances et sources Objectifs Notions Capacités exigibles Dipôles : résistances, sources décrites par C5 bis_1 Utiliser les relations entre l’intensité et la tension. un modèle linéaire. C5 bis_2 Citer des ordres de grandeurs des composants 𝑅. C5 bis_3 Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance. C5 bis_4 Modéliser une source en utilisant la représentation de Thévenin. Association de deux résistances. C5 bis_5 Remplacer une association série ou parallèle de deux résistances par une résistance équivalente. C5 bis_6 Établir et exploiter les relations des diviseurs de tension ou de courant. Résistance de sortie, résistance d’entrée. C5 bis_7 Étudier l’influence des résistances d’entrée ou de sortie sur le signal délivré par un GBF, sur la mesure effectuée par un oscilloscope ou un multimètre. Caractéristique d’un dipôle. Point de fonctionnement. source réelle: 2 multimètres, un générateur, une résistance variable (faible, dizaine d’ohms), association de résistances: 2 résistances et un ohmmètre. 1 Résistances (ou conducteurs ohmiques, ou résistors) 1.1 Loi d’Ohm Loi d’Ohm I 𝑈 Loi d’Ohm : 𝑈 = 𝑅 𝐼 en convention récepteur, ou 𝐼 = 𝐺 𝑈 En convention générateur : 𝑈 = −𝑅 𝐼 et 𝐼 = −𝐺 𝑈. 1 avec 𝑅, résistance en Ω : 1 𝛺 = 1 V ⋅ A−1 et 𝐺 = : conductance en siemens S : 1 S = 1 𝛺 −1. 𝑅 PCSI 1 - 24/25 1/ 14 Chapitre 5 bis  Georg Simon Ohm (1789 - 1854) Physicien allemand Werner von Siemens (1816 - 1892) Inventeur et industriel allemand On peut voir la résistance comme caractérisant la difficulté pour les porteurs de charge d’être mobile dans tel milieu et la conductance, la facilité. Analogie hydraulique : tuyau de section plus ou moins importante. Ordres de grandeur : En TP : 10 Ω - 1 MΩ. Fil de cuivre de section 2,5 mm2 et longueur 10 m : 0,07 Ω. Corps humain : sec : 100 kΩ , mouillé : 1 kΩ (à tension constante, 𝐼 est plus importante pour le corps mouillé). Cas particuliers: fil = résistance nulle : la tension a ses bornes est nulle. Mais l’intensité 𝐼 du courant qui le parcourt est celle qui circule dans sa branche (𝑈 = 0 quel que soit 𝐼). interrupteur ouvert = résistance infinie ⟺ 𝐼 = 0 quelque soit 𝑈. Un interrupteur ouvert a une tension à ses bornes sans qu’il y ait de courant qui traverse sa branche. Convention, relation courant-tension et loi des mailles Une des erreurs courantes est de se perdre dans les signes entre le signe affecté par la convention générateur ou récepteur dans la relation courant-tension et le signe affecté par la convention arbi- traire choisie pour orienter le circuit pour la loi des mailles. Suivre indépendamment ces conventions permet de s’affranchir des erreurs. Prenons un exemple. Un exercice donne un circuit électrique composé d’un générateur et de conduc- teurs ohmiques de résistance 𝑅 et place les flèches de tension. PCSI 1 - 24/25 2/ 14 Chapitre 5 bis  Quels dipôles sont en convention récepteur? Et en convention générateur? Les dipôles 1 et 3 sont en convention récepteur et le générateur et le dipôle 2 sont en convention générateur. Donner la relation courant-tension pour chacune des résistances. On a 𝑈1 = 𝑈3 = 𝑅.𝐼 et 𝑈2 = −𝑅.𝐼 car en convention générateur. Appliquer la loi des mailles. La loi des mailles donne 𝐸 − 𝑈1 + 𝑈2 − 𝑈3 = 0 En remplaçant par la relation courant-tension, montrer que l’équation obtenue est la même que si on avait mis toutes les résistances en convention récepteur. On a donc 𝐸 − 𝑅𝐼 + (−𝑅𝐼) − 𝑅𝐼 = 0 ⟺ 𝐸 − 𝑅𝐼 − 𝑅𝐼 − 𝑅𝐼 = 0, ce qu’aurait donné l’application de la loi des mailles si le dipôle 2 avait été placé en convention récepteur d’entrée de jeu. Changer la convention d’un dipôle se contrebalance ensuite dans la loi des mailles à cause de la convention arbitraire d’orientation choisie. Pour s’éviter des nœuds de cerveau inutiles, on placera les dipôles récepteurs en convention récepteur et les dipôles générateurs en convention générateur. 1.2 Puissance dissipée par une résistance Pour la puissance dissipée par effet résistif, on parle de puissance dissipée par effet Joule : 𝑈2 𝒫 = 𝑅𝐼 2 = = 𝐺𝑈 2. 𝑅 Cette puissance est dissipée sous forme thermique. C5_10 Déterminer l’ordre de grandeur de la puissance dissipée par effet Joule avec le matériel de TP. 𝑈2 102 En TP : 𝑅 ∼ 1 𝑘𝛺 et 𝑈 ∼ 10 V donc 𝒫 = = 3 = 0, 1 W. 𝑅 10 PCSI 1 - 24/25 3/ 14 Chapitre 5 bis 1.3 Associations de résistances 1.3.1 Association en série 𝑅1 𝑅2 𝑅eq I I ⇔ 𝑈1 𝑈2 𝑈 𝑈 On peut remplacer l’association de deux résistances en série par une résistance équivalente : 𝑅eq = 𝑅1 + 𝑅2. 𝑛 Pour 𝑛 résistances en série : 𝑅eq = ∑ 𝑅𝑖 𝑖=1 50 Ω 50 Ω 100 Ω ⇔ Démontrer cette relation pour deux résistances. Le courant 𝐼 est le même dans les deux résistances. Considérons deux conducteurs ohmiques en série de résistance respective 𝑅1 et 𝑅2. Ils sont traversés par un courant d’intensité 𝐼 et ont à leurs bornes une tension respective 𝑈1 et 𝑈2. Exprimons 𝑈 la tension totale aux bornes des deux résistances. 𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 = 𝑅1 𝐼 + 𝑅2 𝐼 d’après la loi d’Ohm = (𝑅1 + 𝑅2 ) 𝐼 = 𝑅𝑒𝑞 𝐼 La tension 𝑈 apparaît comme la tension aux bornes d’un conducteur ohmique unique de résistance 𝑅1 +𝑅2 , c’est la résistance équivalente! 1.3.2 Association en parallèle I 𝑅1 𝑅2 𝑈 ⇔ 𝑅eq 𝑈 𝐼1 𝐼2 I On peut remplacer l’association de deux résistances en parallèle par une résistance équivalente de conductance 𝐺eq = 𝐺1 + 𝐺2. 1 1 1 𝑅1 𝑅2 Soit = + , ou encore 𝑅eq =. 𝑅eq 𝑅1 𝑅2 𝑅1 + 𝑅 2 PCSI 1 - 24/25 4/ 14 Chapitre 5 bis  𝑛 𝑛 1 1 Pour 𝑛 résistances : 𝐺eq = ∑ 𝐺𝑖 , soit =∑. 𝑖=1 𝑅eq 𝑖=1 𝑅𝑖 C5_13 Montrer cette relation. La tension 𝑈 est le même aux bornes des deux résistances. Considérons deux conducteurs ohmiques en parallèle de résistance respective 𝑅1 et 𝑅2. Ils ont à leurs bornes une tension 𝑈 et sont traversés par un courant d’intensité respective 𝐼1 et 𝐼2. Exprimons 𝐼 l’intensité du courant avant d’arriver au nœud. Aux bornes de l’ensemble, d’après la loi des nœuds: 1 1 𝐼 = 𝐼 1 + 𝐼2 = 𝐺 1 𝑈 + 𝐺 2 𝑈 = 𝑈+ 𝑈 𝑅1 𝑅2 1 1 = (𝐺1 + 𝐺2 )𝑈 = ( + )𝑈 𝑅1 𝑅2 1 = 𝐺eq 𝑈 = 𝑈 𝑅𝑒𝑞 Le courant 𝐼 apparaît comme le courant traversant un conducteur ohmique unique de conductance 𝐺1 + 𝐺2 , c’est la conductance équivalente! On peut retrouver la résistance équivalente en faisant l’inverse. 50 Ω 50 Ω 25 Ω ⇔ Que se passe-t-il si l’on place un fil (𝑅 = 0) en parallèle d’une résistance ? Elle est court-circuitée: 𝑅eq = 0. Mesurer la résistance équivalente de deux résistances en série puis en parallèle. Le modèle est-il cohérent avec les valeurs mesurées? 1.4 Diviseurs de tension et de courant 1.4.1 Diviseur de tension Considérons deux conducteurs ohmiques en série. 𝑅1 𝑅2 I 𝑈1 𝑈 PCSI 1 - 24/25 5/ 14 Chapitre 5 bis  C5_14 Exprimer 𝑈1 en fonction de 𝑈 et des résistances. Le courant 𝐼 est le même dans les deux résistances. 𝑈1 𝑈 On a, d’après la loi d’Ohm, 𝑈1 = 𝑅1 𝐼 et 𝑈 = 𝑅eq 𝐼. Donc 𝐼 = =. 𝑅1 𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑈 Ainsi 𝑈1 =. 𝑅1 + 𝑅 2 Interpréter physiquement l’expression obtenue. Plus la résistance 𝑅1 est grande, plus le courant est petit mais plus la tension aux bornes de 𝑅1 sera grande d’après la loi d’Ohm. Pont diviseur de tension Pour 𝑛 résistors en série : 𝑅𝑘 𝑅 𝑈𝑘 = 𝑈= 𝑘𝑈 ∑ 𝑖 𝑅𝑖 𝑅eq Montage potentiométrique: Déterminer 𝑈. 9Ω 10 V 1Ω 𝑈 1 On a 𝑈 = × 10 = 1 V. 1+9 1.4.2 Diviseur de courant Considérons maintenant 2 résistances en parallèle. I 𝑅1 𝑅2 𝑈 𝐼1 𝐼2 C5_14 Exprimer 𝐼1 en fonction de 𝐼 et des conductances (puis des résistances). La tension 𝑈 est la même aux bornes des deux résistances. PCSI 1 - 24/25 6/ 14 Chapitre 5 bis  𝐼1 𝐼 On a, d’après la loi d’Ohm, 𝐼1 = 𝐺1 𝑈 et 𝐼 = 𝐺eq 𝑈. Donc 𝑈 = =. 𝐺1 𝐺𝑒𝑞 𝐺1 𝑈 Ainsi 𝐼1 =. 𝐺1 + 𝐺 2 1 𝑅1 𝑅2 On a aussi 𝐼1 = 𝐼 donc 𝐼1 = 𝐼. 1 1 𝑅1 + 𝑅 2 + 𝑅1 𝑅2 Interpréter physiquement l’expression obtenue. Si la résistance 𝑅2 est grande, le courant est limitée dans la deuxième branche et passe davantage dans la première branche donc 𝐼1 est important et inversement. Pont diviseur de courant Pour 𝑛 résistors en parallèle : 1 𝐺𝑘 𝑅𝑘 𝑅eq 𝐼𝑘 = 𝐼= 𝐼= 𝐼 ∑𝑖 𝐺𝑖 1 𝑅𝑘 ∑𝑖 𝑅𝑖 1.5 Loi des nœuds en termes de potentiel ou théorème de Millman (HP mais utile en 2ème année) On se place sur le nœud suivant, entouré de conducteurs ohmiques de résistances 𝑅𝑖. Appliquer la loi des nœuds en 𝐵 puis exprimer les intensités avec la loi d’Ohm. 𝑈𝐴𝐵 𝑈 𝑈 On a 𝑖1 + 𝑖2 − 𝑖3 = 0 avec 𝑖1 = , 𝑖2 = 𝐶𝐵 et 𝑖3 = 𝐵𝐷. 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Exprimer les tensions en fonction des potentiels et remplacer dans l’expression précédente pour trouver 𝑉𝐵 , le potentiel en 𝐵 en fonction des résistances et des potentiels des points qui l’en- tourent. On a 𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 , 𝑈𝐶𝐵 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 et 𝑈𝐵𝐷 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐷 donc la loi des nœuds devient 𝑉𝐴 − 𝑉 𝐵 𝑉𝐶 − 𝑉 𝐵 𝑉𝐵 − 𝑉 𝐷 𝑉 𝑉 𝑉 1 1 1 + − = 0 ⟺ 𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 𝑉𝐵 ( + + ) 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 PCSI 1 - 24/25 7/ 14 Chapitre 5 bis  Ainsi 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑉𝐷 + + 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑉𝐵 = 1 1 1 + + 𝑅1 𝑅2 𝑅3 Le théorème de Millman ou loi des nœuds en ter- mes de potentiel Le potentiel 𝑉𝑀 à un nœud, entouré de conducteurs ohmiques de résistances 𝑅𝑖 vaut 𝑉𝑖 ∑𝑖 ∑ 𝐺𝑖 𝑉𝑖 𝑅𝑖 𝑉𝑚 = = 𝑖 1 ∑𝑖 𝐺𝑖 ∑𝑖 𝑅𝑖 avec 𝑉𝑖 , le potentiel de l’autre côté de la résistance 𝑅𝑖. 2 Sources 2.1 Sources idéales de tension et de courant 2.1.1 Source idéale de tension 𝐸 𝐼 On utilise la convention générateur. 𝑈 Caractéristique : 𝑼 = 𝑬 ∀𝑰 : 𝐸 est la force électromotrice (fém) de la source de tension. 𝐼 est fixée par le reste du circuit. 𝐼 𝐸 𝐸 R 𝑈 On a 𝑈 = 𝑅 𝐼 et 𝑈 = 𝐸 donc 𝐼 =. 𝑅 Un générateur de tension fournit ainsi une même tension mais pas forcément un même courant: ça dépend de ce qui est à ses bornes! 2.1.2 Source idéale de courant 𝐼0 𝑈 Caractéristique : 𝑰 = 𝑰𝟎 ∀𝑼 : 𝐼0 est le courant électromoteur de la source de courant. 𝑈 est fixée par le reste du circuit. PCSI 1 - 24/25 8/ 14 Chapitre 5 bis  I 𝐼0 On a 𝑈 = 𝑅 𝐼0. R 𝑈 2.2 Sources réelles En réalité il n’existe pas de sources idéales. La plupart des générateurs ont une caractéristique de la forme suivante. La tension délivrée baisse au fur et à mesure que le générateur débite un courant important. 𝑈 I 𝑈 𝐼 Mettre en évidence la chute de tension lorsque le générateur est en série avec une résistance trop faible. Générateur de Thévenin On peut modéliser ce comportement par le modèle de Thévenin d’un générateur : On a 𝑼 = 𝒆 − 𝒓𝑰 avec 𝑒 la force électromotrice du générateur et 𝑟 sa résistance interne. Les piles sont des générateurs de Thévenin. Lorsque les bornes d’un générateur de Thévenin sont reliées par un fil, le courant vaut le courant 𝑒 de court-circuit 𝐼𝑐𝑐 =. 𝑟 𝑅 Montrer que la tension délivrée par le générateur vaut 𝑈𝑅 = 𝑒? Comment calculer la valeur 𝑅+𝑟 de 𝑟? PCSI 1 - 24/25 9/ 14 Chapitre 5 bis  𝑒 𝑟 I I R 𝑈𝑅 𝑅 D’après un pont diviseur de tension, on a directement 𝑈𝑅 = 𝑒 𝑅+𝑟 On peut déterminer 𝑒 en mesurant la tension à vide aux bornes du générateur (quand 𝐼 = 0). Connaissant 𝑒 on peut facilement déterminer 𝑟 quand le générateur est branché aux bornes d’une résistance connue. Pour les générateurs de TP, la sortie 50 Ω signifie que 𝑟 = 50 𝛺. 2.3 Association de sources Les générateurs de tension s’associent en série (additivité des tensions) et les générateur de courant en parallèle (loi des nœuds). 𝐸1 𝐸2 𝐸1 + 𝐸2 ⇔ 𝐼1 𝐼1 + 𝐼2 ⇔ 𝐼2 3 Caractéristique d’un dipôle et point de fonctionnement 3.1 Caractéristique d’un dipôle D I 𝑈 La caractéristique d’un dipôle est la représentation graphique de 𝐼, le courant qui le traverse en fonction de 𝑈, la tension à ses bornes ou de 𝑈 en fonction de 𝐼. La caractéristique dépend de la convention choisie (récepteur ou générateur). PCSI 1 - 24/25 10/ 14 Chapitre 5 bis  Caractéristique d’une résistance En convention récepteur : 𝑈 = 𝑅𝐼 𝑈 R I 𝐼 𝑈 En convention générateur : 𝑈 = −𝑅𝐼 𝑈 R I 𝐼 𝑈 Un dipôle est passif si sa caractéristique passe par l’origine, sinon il est actif. Un dipôle est linéaire si sa caractéristique est une droite, sinon il est non linéaire. Une résistance est un dipôle passif et linéaire. Un générateur idéal de tension est linéaire et actif. 𝑈 𝐸 𝐼 𝐼 𝑈 Caractéristique d’une diode (dipôle passif et non linéaire) 𝐼 I 𝑈 𝑈 Un dipôle est symétrique si l’on peut le brancher dans n’importe quel sens, il est polarisé sinon. La caractéristique d’un dipôle symétrique est symétrique par rapport à l’origine. Les conducteurs ohmiques sont symétriques et les diodes ou générateurs sont polarisés. PCSI 1 - 24/25 11/ 14 Chapitre 5 bis  On modélise souvent les caractéristiques par des modèles simples. Par exemple ici pour une diode 3.2 Point de fonctionnement On s’intéresse à l’association d’un générateur et d’un dipôle quelconque. L’intersection des deux caractéristiques est le point de fonctionnement. La méthode graphique évite les calculs qui peuvent être complexes dans le cas des dipôles non linéaires. 4 Résistances d’entrée et de sortie Dans les montages réels, on est souvent confronté à des blocs complexes qu’on peut modéliser comme des quadripôles. PCSI 1 - 24/25 12/ 14 Chapitre 5 bis 4.1 Maille d’entrée Vu de l’entrée, un quadripôle linéaire se comporte comme un dipôle. On peut souvent modéliser ce dipôle par une résistance. Si l’on alimente l’entrée avec un générateur de Thévenin de résistance interne 𝑟𝑔 et de fém 𝑒. 𝑒 est la 𝑅𝑒 tension qu’on souhaite imposer au dipôle mais 𝑈𝑒 = 𝑒 est la tension qu’on impose réellement. 𝑅𝑒 + 𝑟 𝑔 Tant que 𝑅𝑒 ≫ 𝑟𝑔 , on a 𝑈𝑒 ≃ 𝑒, mais sinon, il faut tenir compte de la résistance d’entrée. Si le quadripôle est un osilloscope (𝑅𝑒 ≈ 1 M𝛺), il faut faire attention si l’on mesure des résis- tances très grandes. 4.2 Maille de sortie Vus de la sortie, de nombreux quadripôles se comportent comme des générateurs de Thevenin de fém 𝑠 et de résistance interne 𝑅𝑆. Si l’on alimente une résistance 𝑅, on souhaite transmettre la tension 𝑠 mais on transmet réellement 𝑅 la tension 𝑈𝑠 = 𝑠. 𝑅 + 𝑅𝑆 Tant que 𝑅𝑆 ≪ 𝑅, 𝑈𝑠 ≃ 𝑠. Sinon, il faut tenir compte de la résistance de sortie 𝑅𝑆. PCSI 1 - 24/25 13/ 14 Chapitre 5 bis  Si on alimente un système avec un GBF de résistance interne 50 Ω. Si 𝑅 ≃ 𝑅𝑔 , la tension délivrée n’est pas 𝑒. 4.3 Application à l’enchaînement de quadripôles 𝑅𝑒2 On a 𝑈 = 𝑠. 𝑅𝑒2 + 𝑅𝑠1 1 On peut choisir différentes solutions. On s’arrange pour avoir toujours 𝑅𝑒 ≫ 𝑅𝑠 : on a alors 𝑈 = 𝑠1. Autre convention : on construit parfois des appareils avec 𝑅𝑒 = 𝑅𝑠 = 50 𝛺 par exemple. On a alors 𝑈 = 𝑠1 /2 et on peut s’arranger pour travailler avec cela. PCSI 1 - 24/25 14/ 14 Chapitre 5 bis