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# Fonction logarithme népérien ## 1. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la réciproque de la fonction exponentielle, c'est-à-dire que : $\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$ **Conséquences :** * $\ln(e) = 1$ * $\ln(1) = 0$ * $e^{\ln(x...

# Fonction logarithme népérien ## 1. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la réciproque de la fonction exponentielle, c'est-à-dire que : $\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$ **Conséquences :** * $\ln(e) = 1$ * $\ln(1) = 0$ * $e^{\ln(x)} = x$, pour tout $x > 0$ * $\ln(e^x) = x$, pour tout $x \in \mathbb{R}$ ## 2. Propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n$ : * $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ * $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ * $\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$ * $\ln(a^n) = n\ln(a)$ * $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$ ## 3. Étude de la fonction * La fonction ln est dérivable sur $]0; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction définie par $\ln'(x) = \frac{1}{x}$. * La fonction ln est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ $\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ ### Tableau de variations | $x$ | 0 | 1 | $+\infty$ | | :----- | :---------- | :-- | :--------- | | $\ln(x)$ | $-\infty$ $\nearrow$ | 0 | $+\infty$ | ### Courbe représentative La courbe représentative de la fonction logarithme népérien est une courbe croissante qui passe par le point (1; 0). Elle est le reflet de la courbe exponentielle par rapport à la droite d'équation $y = x$. ### Tangente remarquable La tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour équation $y = x - 1$ ## 4. Dérivées | Fonction | Dérivée | | :-------------------------- | :---------------------------- | | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | | $\ln(u(x))$ | $\frac{u'(x)}{u(x)}$ | | $(\ln(x))^n$ | $n\frac{(\ln(x))^{n-1}}{x}$ | | $\ln(f(x))$, avec $f(x) > 0$ | $\frac{f'(x)}{f(x)}$ | ## 5. Limites à connaître $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ $\lim_{x \to 0} x\ln(x) = 0$ $\lim_{x \to +\infty} x - \ln(x) = +\infty$