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# Algèbre linéaire ## 1. Vecteurs ### 1.1 Définitions * Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. Il est caractérisé par: * une direction * un sens * une norme (longueur) * Un vecteur peut être représenté par une flèche ou par ses composantes dans un système de coordo...

# Algèbre linéaire ## 1. Vecteurs ### 1.1 Définitions * Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. Il est caractérisé par: * une direction * un sens * une norme (longueur) * Un vecteur peut être représenté par une flèche ou par ses composantes dans un système de coordonnées. Dans un plan 2D, un vecteur $\vec{v}$ est défini par ses deux composantes $(v_x, v_y)$. Dans un espace 3D, un vecteur $\vec{v}$ est défini par ses trois composantes $(v_x, v_y, v_z)$. * La norme d'un vecteur $\vec{v}$ est notée $||\vec{v}||$ ou $|\vec{v}|$ et est calculée comme suit: $$ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \text{ en 2D} $$ $$ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \text{ en 3D} $$ ### 1.2 Opérations sur les vecteurs * Addition: $\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)$ * Soustraction: $\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y)$ * Multiplication par un scalaire: $k\vec{v} = (kv_x, kv_y)$ * Produit scalaire: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. * Produit vectoriel (uniquement en 3D): $$ \vec{u} \times \vec{v} = (u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x) $$ Le produit vectoriel donne un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$. ### 1.3 Exemples Soient $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, -1)$. Alors: * $\vec{u} + \vec{v} = (1 + 3, 2 + (-1)) = (4, 1)$ * $2\vec{u} = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4)$ * $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot -1) = 3 - 2 = 1$ ## 2. Matrices ### 2.1 Définitions * Une matrice est un tableau de nombres. Une matrice $A$ de taille $m \times n$ a $m$ lignes et $n$ colonnes. * Les éléments d'une matrice sont notés $a_{ij}$, où $i$ est l'indice de la ligne et $j$ est l'indice de la colonne. * Une matrice carrée a le même nombre de lignes et de colonnes. * La diagonale principale d'une matrice carrée est constituée des éléments $a_{ii}$. * Une matrice identité (notée $I$) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs. ### 2.2 Opérations sur les matrices * Addition: $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$ (matrices de même taille) * Multiplication par un scalaire: $kA = [ka_{ij}]$ * Multiplication de matrices: $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$ ($A$ de taille $m \times n$, $B$ de taille $n \times p$, résultat de taille $m \times p$) * Transposition: $A^T = [a_{ji}]$ (échange les lignes et les colonnes) ### 2.3 Exemples Soient $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$. Alors: * $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$ * $2A = \begin{bmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 \\ 2\cdot3 & 2\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$ * $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ ### 2.4 Propriétés * La multiplication de matrices n'est pas commutative en général: $AB \neq BA$. * La multiplication de matrices est associative: $(AB)C = A(BC)$. * La matrice identité est l'élément neutre pour la multiplication: $AI = IA = A$. ## 3. Déterminants ### 3.1 Définitions * Le déterminant est une fonction qui prend une matrice carrée en entrée et renvoie un scalaire. * Le déterminant d'une matrice $A$ est noté $\det(A)$ ou $|A|$. * Pour une matrice $2 \times 2$: $\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$ * Pour une matrice $3 \times 3$: $$ \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $$ ### 3.2 Propriétés * Si une matrice a une ligne ou une colonne de zéros, son déterminant est nul. * Si deux lignes ou deux colonnes d'une matrice sont identiques, son déterminant est nul. * Si on échange deux lignes ou deux colonnes d'une matrice, le déterminant change de signe. * $\det(A^T) = \det(A)$. * $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$. ### 3.3 Exemples Soit $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Alors $\det(A) = (1 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = 4 - 6 = -2$. ## 4. Systèmes d'équations linéaires ### 4.1 Définitions * Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires avec les mêmes variables. * Un système d'équations linéaires peut être écrit sous forme matricielle: $Ax = b$, où $A$ est la matrice des coefficients, $x$ est le vecteur des variables, et $b$ est le vecteur des constantes. * Un système peut avoir une solution unique, une infinité de solutions, ou aucune solution. ### 4.2 Méthodes de résolution * Substitution * Élimination de Gauss * Inversion de matrice (si $A$ est inversible): $x = A^{-1}b$ * Règle de Cramer ### 4.3 Exemples Considérons le système: $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $$ Sous forme matricielle: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} $$ ## 5. Valeurs propres et vecteurs propres ### 5.1 Définitions * Soit $A$ une matrice carrée. Un vecteur propre de $A$ est un vecteur non nul $v$ tel que $Av = \lambda v$, où $\lambda$ est un scalaire appelé valeur propre. * Pour trouver les valeurs propres, on résout l'équation caractéristique: $\det(A - \lambda I) = 0$. * Pour chaque valeur propre $\lambda$, on trouve les vecteurs propres en résolvant $(A - \lambda I)v = 0$. ### 5.2 Exemples Soit $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$. 1. Équation caractéristique: $$ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 $$ Solutions: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$. 2. Vecteurs propres pour $\lambda_1 = 1$: $$ (A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$. Donc $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ est un vecteur propre. 3. Vecteurs propres pour $\lambda_2 = 3$: $$ (A - \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ $-x + y = 0 \Rightarrow y = x$. Donc $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ est un vecteur propre.