2A - GL - 09 - Rekenregels van machten - Theorie PDF

GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE 1 Herhaling: machten met natuurlijke exponenten Een product van gelijke factoren kunnen we korter schrijven als een macht. Vb. 𝑦. 𝑦. 𝑦. 𝑦. 𝑦 = 𝑦5 Exponent =...

GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE 1 Herhaling: machten met natuurlijke exponenten Een product van gelijke factoren kunnen we korter schrijven als een macht. Vb. 𝑦. 𝑦. 𝑦. 𝑦. 𝑦 = 𝑦5 Exponent = het aantal gelijke factoren in het product (−3). (−3). …. (−3) = (−3)14 14 factoren Grondtal: het getal dat steeds vermenigvuldigd wordt met zichzelf Omgekeerd: Om een macht (met exponent > 1) te berekenen, kunnen we deze dus herleiden tot een product van gelijke factoren en berekenen. Definitie: 𝒂𝒏 = 𝒂 ⋅ 𝒂 ⋅ 𝒂 ⋅ … ⋅ 𝒂 (n factoren) met a ∈ Q, n ∈ N en n > 1 Bijzondere gevallen: 𝒂𝟏 = 𝒂 (exponent 1 mag je weglaten) 𝒂𝟎 = 𝟏 (nulde macht van een getal is altijd gelijk aan 1) Vb. 53 =........................................................... =................. (−4)4 =..................................................... =................. (−10)5 =................................................... =................. 1,12 =........................................................ =................. 2 3 (− 3) =.................................................... =................. (−13)0 =....................... (−3,7)1 =...................... Opgelet: 00 heeft geen oplossing in Q. GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE p. 1 2 Product van machten met hetzelfde grondtal 𝑥 3 𝑒𝑛 𝑥 4 zijn machten met hetzelfde grondtal 𝑥. Hiervan kan je het product berekenen. 𝑥 3. 𝑥 4 = (.......................... ). (........................................... ) =................................................................................. =............................. We merken dat de verkregen exponent de........................................... is van de oorspronkelijke exponenten van de factoren. Rekenregel: Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, mag je: - het grondtal behouden - de exponenten......................................................... Met symbolen: 𝒙𝒑. 𝒙𝒒 = 𝒙 𝒑+𝒒 Vb. 25. 23 = 2……………… = 2……… = …………… 𝑎3. 𝑎4. 𝑎2 = ……………………… = ………… 1 4 1 2 (2). (2) = ……………………… = ………… = ………… 3 Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal 𝑥 10 𝑒𝑛 𝑥 3 zijn machten met hetzelfde grondtal 𝑥. Hiervan kan je het quotiënt berekenen. 𝑥 10 ∶ 𝑥 3 = (....................................................... ) : (............................. ) ………………………………………………………………… = …………………………………… = …………… We merken dat de verkregen exponent het....................................... is van de oorspronkelijke exponenten van de factoren. GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE p. 2  Rekenregel: Om machten met hetzelfde grondtal te delen, mag je: - het grondtal behouden - de exponenten......................................................... Met symbolen: 𝒙𝒑 𝒙𝒑 ∶ 𝒙𝒒 = 𝒙𝒒 = 𝒙𝒑−𝒒 Vb. 89 ∶ 87 = 8……………… = 8……… = …………… 𝑏12 : 𝑏 9 = ……………………… = ………… 3 6 3 5 (− 5) ∶ (− 5) = ……………………… = ………… = ………… 4 Macht van een product 𝑥𝑦 is het product van 𝑥 en 𝑦. Je kan dit product ook tot een macht verheffen, vb. (𝑥𝑦)4 (𝑥𝑦)4 = ( 𝑥𝑦 ). ( 𝑥𝑦 ). ( 𝑥𝑦 ). ( 𝑥𝑦 ) = (..................................... ). (..................................... ) =........................ Rekenregel: Om een product tot een macht te verheffen mag je ……………… factor van dat product tot die macht verheffen. Met symbolen: (𝒙𝒚)𝒑 = 𝒙𝒑. 𝑦 𝒑 Vb. (2𝑎)5 = 2……. 𝑎…… = ……………… (−0,1𝑥𝑦)2 = ……………………………………… = …………………… 3 3 (− 5 𝑏) = ……………………………………… = …………………… GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE p. 3 5 Macht van een quotiënt 𝑎 𝑏 is het quotiënt van 𝑎 en 𝑏. 𝑎 3 Je kan dit quotiënt ook tot een macht verheffen, vb. (𝑏 ) 𝑎 3 𝑎 𝑎 𝑎 (𝑏 ) = (𝑏 ). (𝑏 ). (𝑏 ) …………………………… = …………………………………… ………… = …………… Rekenregel: Om een quotiënt tot een macht te verheffen mag je....................... en................................ (teller en noemer) tot die macht verheffen. Met symbolen: 𝒙 𝒑 𝒙𝒑 ( ) = 𝒚 𝒚𝒑 Opmerking: dit wisten we eigenlijk al, omdat we allemaal al de macht van een breuk kunnen berekenen. 𝑎 4 Vb. (3 ) = ……………… = ……………… (−3 ∶ 𝑥)3 = ……………… = ……………… = ……………… 9𝑎 2 ( 7 ) = ……………… = ……………… = ……………… 6 Macht van een macht 𝑥 4 is de 4de macht van 𝑥. Je kan deze macht nog eens tot een macht verheffen, vb. (𝑥 4 )2. (𝑥 4 )2 = (............. ). (................. ) = (............................. ). (................................ ) =......................................................................... =...................... GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE p. 4  We merken dat de verkregen exponent het........................................ is van de oorspronkelijke exponenten. Rekenregel: Om een macht tot een macht te verheffen, mag je: - het grondtal behouden - de exponenten......................................................... Met symbolen: (𝒙𝒑 )𝒒 = 𝒙 𝒑.𝒒 Vb. (24 )2 = 2……………… = 2……… = …………… (𝑎5 )3 = ……………………… = ………… (𝑥 7 )0……………………… = ………… = ………… 7 Rekenregels machten: samenvatting GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE p. 5 8 Machten met gehele exponenten 2 −3 Vb. (3) Hoe berekenen we deze macht met een negatieve exponent? 2 −3 2 −1. 3 (3) =(3) We schrijven de exponent als het product van -1 en 3. 3 2 −1 = [( ) ] We passen de rekenregel “macht van een macht” toe in omgekeerde richting. 3 3 3 2 −1 2 =(2) (3) = het omgekeerde van 3 27 3 = 8 We berekenen de 3de macht van 2. Rekenregel: Om een rationaal getal tot een negatieve macht te verheffen, mag je: - het grondtal eerst.................................................. - het nieuw verkregen grondtal verheffen tot de.................................. macht. Met symbolen: 𝑎 −𝑛 𝑏 𝑛 (𝑏 ) = ( ) 𝑎 4 −2 Vb. (5) =..................... =............................. ( −3 )−4 =.................. =............................. Tip: elk geheel getal kan je schrijven als een breuk met noemer 1! ( 0,2 )−3 =..................... Tip: schrijf het grondtal eerst als een onvereenvoudigbare breuk. =.................. =............................. GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE p. 6 9 Rekenen met machten met gehele exponenten Deze rekenregels blijven ook nog steeds geldig voor machten met nagatieve exponenten. Vb. 𝑎−4. 𝑎8. 𝑎−2 = ……………………… = ………… 𝑥7 𝑥 −3 = ……………………… = ………… (𝑎−2 )−3 = ……………………… = ………… Afspraak: In het eindresultaat worden ook de negatieve exponenten bij letterfactoren weggewerkt. 2 −4 2 −4 4 4 ( 𝑎) =( ). 𝑎−4 = ( ).( ) =. = 3 3 −2 2 𝑎 −3 ( ) = ( ) = = …………… 7 GL – 09 – REKENREGELS VAN MACHTEN – THEORIE p. 7