Physics Notes - 207105_บทที่ 1 จลน์ศาสตร์และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน PDF

บทที 1 จลน์ ศาสตร์และกฎการเคลือนทีของนิวตัน 1.3 การตกแบบเสรี (FREE FALL)  สมการการตกแบบเสรี  การตกแบบเสรี (FREE FALL)  เปนการเคลือนทีด้วยความเร่งคงตัวในแนวดิง วัตถุทีตก  สมการการเคลือนทีภายใต้ความเร่งคงตัว สําหรับ แบบเสรี...

บทที 1 จลน์ ศาสตร์และกฎการเคลือนทีของนิวตัน 1.3 การตกแบบเสรี (FREE FALL)  สมการการตกแบบเสรี  การตกแบบเสรี (FREE FALL)  เปนการเคลือนทีด้วยความเร่งคงตัวในแนวดิง วัตถุทีตก  สมการการเคลือนทีภายใต้ความเร่งคงตัว สําหรับ แบบเสรีไม่ได้จํากัดเฉพาะการปล่อยวัตถุในมือให้ตกลง แนวดิง ได้เปน มาเท่านั น แต่ยังครอบคลุมถึงการโยนวัตถุขึนไปและการ ปาวัตถุลงมาในแนวดิง = +  การตกของวัตถุแบบเสรี เปนการเคลือนทีภายใต้แรง + โน้ มถ่วงเพียงแรงเดียวเท่านั น ∆ = 2  ในความเปนจริงการตกแบบเสรีใกล้ผิวโลกเปนเพียงการ 1 ประมาณเท่านั น (เพราะในความเปนจริง มีแรงต้าน ∆ = + 2 อากาศ และรวมทังความผันแปรของค่าความเร่งโน้ ม = +2 ∆ ถ่วง)  ความเร่งโน้ มถ่วง (gravitational acceleration, g) มี  โดยที = − (เมือกําหนดให้ทิศทางชีขึนเปนทิศ ขนาดประมาณ 9.8 m/s2 และมีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลาง บวก) ของโลก  การกําหนดทิศทางของเครืองหมายขึนอยู่กับความ สะดวกในการคํานวณ ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE คลิปวิดีโอความยาว 4.41 นาที แสดงการทดลองการตกอย่างอิสระของวัตถุทีมีนําหนั กต่างกัน โดย BBC (https://youtu.be/E43-CfukEgs) ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 3 ตัวอย่างที 3.1 พิชเชอร์โยนลูกเบสบอลขึนในแนวดิง (แนวแกน y) ด้วย ตัวอย่างที 3.2 บอลลูนกําลังลอยขึนตามแนวดิงด้วยอัตราเร็วคง อัตราเร็ว 12 m/s หากไม่คิดแรงต้านอากาศ (ก) เปนเวลานานเท่าใด ตัว 12 / นั กบินบอลลูนได้ปลดทิงกล่องสัมภาระลงมาจาก ภายหลังการโยนทีลูกเบสบอลขึนไปได้สูงสุด (ข) ลูกเบสบอลขึนไปได้สูงสุด ความสูง 80 เหนื อพืนดิน (ก) เปนเวลานานเท่าใดหลังจาก จากจุดโยนเท่าใด (ค) เปนเวลานานเท่าใด (ภายหลังการโยน) ทีลูกเบสบอล ปลด กล่องสัมภาระจึงจะตกลงถึงพืน (ข) อัตราเร็วของกล่อง ขึนไปได้เหนื อจุดโยน 5.0 m ขณะกระทบพืน ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 4 บทที 1 จลน์ ศาสตร์และกฎการเคลือนทีของนิวตัน 1.4 การเคลือนทีในสองและสามมิติ  เวกเตอร์ตําแหน่ ง การกระจัด  ความเร็วเฉลีย ความเร็วขณะหนึ ง  ความเร่งเฉลีย ความเร่งขณะหนึ ง  เวกเตอร์ตําแหน่ ง (POSITION VECTOR)  อนุภาคทีอยู่ในปริภูมิหรือทีว่าง สามารถใช้ “เวกเตอร์ตําแหน่ ง (position vector)” ระบุตําแหน่ งของมันได้ เช่น ในระบบ พิกัดคาร์ทีเซียน อนุภาคอันหนึ งอยู่ทีพิกัดตําแหน่ งเปน (−3 , 2 , 5 )  เวกเตอร์ทีลากจากจุดกําเนิ ด (จุด O) ชีไปยังตําแหน่ งของ อนุภาค ถูกเรียกว่า เวกเตอร์ตําแหน่ ง ซึงในการเขียนเราจะใช้ เวกเตอร์หนึ งหน่วย ̂, ̂, เปนตัวกําหนดทิศทางของแต่ละ องค์ประกอบ ดังแสดง ⃗= ̂+ ̂+ ⃗ = −3 ̂ + 2 ̂ + 5  ขนาดของเวกเตอร์ (ความยาว) หาได้จาก = (−3) +(2) +(5) = 38 = + + ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE  การกระจัด (DISPLACEMENT) การกระจัด คือเวกเตอร์การเปลียนแปลงตําแหน่ งของวัตถุ เช่น ณ ตอนแรกอนุภาคถูก z  ระบุด้วยเวกเตอร์ตําแหน่ ง ⃗ ในเวลาต่อมาอนุภาคถูกระบุด้วยเวกเตอร์ตําแหน่ ง ⃗ ( x1 , y1 , z1 )  ⃗ = ̂+ ̂+ ⃗ = ̂+ ̂+ r  ( x2 , y2 , z2 ) r1  ดังนั นการกระจัดคือ ∆ ⃗ = ⃗ − ⃗ = ( − ) ̂+ − ̂+ −  r2  ขนาดของการกระจัดมีค่าเปน k̂ iˆ y ĵ ∆ = − + − + − x ตัวอย่างเช่น อนุภาคเคลือนทีจากตําแหน่ ง (1,2,2) ไปยังตําแหน่ ง (3,1,0) ในหน่วยเมตร เวกเตอร์ การกระจัดและขนาดของการกระจัดของอนุภาคนี เปนเท่าใด ∆⃗ = 3 − 1 ̂ + 1 − 2 ̂ + 0 − 2 = 2 ̂− ̂−2 ∆ = 2 + −1 + −2 =3 ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 7 ความเร็ว (velocity) ความเร่ง (acceleration)  ความเร็วเฉลีย อัตราส่วนของการกระจัดต่อช่วงเวลา  เมืออนุภาคมีการเปลียนแปลงความเร็วตามเวลา กล่าวได้วา่ อนุภาคเคลือนทีด้วยความเร่ง ∆⃗ ⃗ − ⃗  ความเร่งเฉลีย (average acceleration) ⃗ = = ∆ − ∆⃗ ⃗ −⃗ ⃗ = = ∆ −  หากต้องการเทอมทีระบุความเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ ง จะใช้เทอม  ถ้าหากต้องการระบุความเร่งในเทอมทีเจาะจง ณ เวลาใดเวลาหนึ ง ทีเรียกว่า ความเร็วขณะหนึ ง จะใช้เทอมทีเรียกว่า ความเร่งขณะหนึ ง ⃗ ⃗ ⃗= ⃗= ⃗= ̂+ ̂+ ⃗= ̂+ ̂+ ⃗= ̂+ ̂+ ⃗= ̂+ ̂+ ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 8 ตัวอย่างที 4.1 กระต่ายตัวหนึ งกําลังวิงในสนามหญ้า โดยตําแหน่ ง เฉลย ⃗ = ̂+ ̂ ⃗ = 66.3 ̂ − 57.0 ̂ ของกระต่ายเปนฟงก์ชันกับเวลามีค่าเปน = 66.3 + (−57) = 87.4 = −0.31 + 7.2 + 28 = 0.22 − 9.1 + 30 −57 เมือทัง และ อยู่ในหน่วยเมตร ทีเวลา = 15 จงหา = = = −41 66.3 (ก) เวกเตอร์ตําแหน่ ง พร้อมระบุขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ (ข) ความเร็ว ขนาดความเร็วและทิศทางการเคลือนทีของกระต่าย (ค) ความเร่ง ขนาดความเร่งและทิศทางของความเร่งของกระต่าย ( )= = −. +. ̂+(. −. )̂ ⃗ 15 = −2.1 ̂ − 2.5 ̂ = (−2.1) +(−2.5) = 3.26 / −2.5 = = = 230 (−130°) −2.1 ( )= = −. ̂+(. )̂ ⃗ 15 = −0.62 ̂ + 0.44 ̂ = (−0.62) +(0.44) = 0.76 / 0.44 = = = 145 −0.62 ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 9 ตัวอย่างที 4.2 ในระหว่างการบินของโดรนลํ าหนึ ง ตํ าแหน่ งของมั น (x,y,z) เทียบกับหอควบคุมภาคพืนดิน ในตอนแรก โดรนอยู่ทีตําแหน่ ง (300 m, 200 m, 100 m) ในอีก 60 วินาทีต่อมา เคลือนทีมายังตําแหน่ ง (1200 m, 2100 m, 250 m) กําหนดให้แนวตะวันตก-ตะวันออก เปนแกน , แนวใต้-เหนื อ เปน แกน และความสู งเปนแกน จงหา (ก) เวกเตอร์ตําแหน่ งของโดรนในตอน แรก และในตอนหลัง (ข) การกระจัด (displacement vector) (ค) ขนาด เวกเตอร์การกระจัดของของโดรน (ง) ความเร็วเฉลีย และขนาดความเร็วเฉลีย ของโดรน ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 10 บทที 1 จลน์ ศาสตร์และกฎการเคลือนทีของนิวตัน 1.5 การเคลือนทีแบบโพรเจกไทล์  สมการการเคลือนทีแบบโพรเจกไทล์  ระยะสู งสุ ดในแนวดิง  ระยะไกลสุ ดในแนวระดับ  โพรเจกไทล์บนพืนเอียง  การเคลือนทีแบบโพรเจกไทล์ (PROJECTILE MOTION)  เปนการเคลือนทีในระนาบแนวดิงสองมิติ หากการเคลือนทีอยู่ ภายใต้แรงโน้ มถ่วงเพียงอย่างเดียว จะพบว่าการเคลือนที ประกอบด้วย การเคลือนทีในแนวราบ (ไม่มค ี วามเร่ง) และการ เคลือนทีในแนวดิง (มีความเร่งเนื องจากแรงโน้ มถ่วง)  เส้นทางหรือวิถี (trajectory) จะเปนแบบพาราโบลา ดังรูป  เมืออนุภาคถูกยิงออกไป (ทีจุด A) ด้วยมุมยิง เทียบกับแนว ระดับ ด้วยความเร็วต้น ⃗  สามารถแยกพิจารณาการเคลือนทีในแต่ละแนวได้  แนวระดับ เปนการเคลือนทีด้วยความเร็วคงตัว (ไม่มีความเร่ง) ทําให้ทุกตําแหน่ งตามแนววิถี จะมีองค์ของความเร็วในแนวระดับ ( ) คงตัวตลอดการเคลือนที  แนวดิง เปนการเคลือนทีภายใต้ความเร่งคงตัว g ส่งผลทําให้  พิจารณา ณ ตอนเริมต้น (t=0) ทีจุด A องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิง ( ) มีการเปลียนแปลง  องค์ประกอบของความเร็วเริมต้นในแนวระดับ และในแนวดิง คือ ตลอดเวลา  แนวระดับ: = =  *ความเร่ง g มีทิศทางชีลงตามแนวดิง  แนวดิง: = =  ตําแหน่ ง C เปนตําแหน่ งสูงสุด องค์ประกอบความเร็วจะมีเฉพาะ ในแนวระดับ ขณะทีองค์ประกอบความเร็วในแนวดิงเปนศูนย์ ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE  การเคลือนทีแบบโพรเจกไทล์ (PROJECTILE MOTION)  ณ ตอนเริมต้น ( = 0) ทีจุด A  องค์ประกอบของความเร็วเริมต้นในแนวระดับ และในแนวดิง คือ  แนวระดับ: =  แนวดิง: =  ณ เวลา t ใดๆ (เมืออนุภาคถูกยิงออกไป)  แรงทีกระทําต่ออนุภาคมีเพียงแรงโน้ มถ่วง ทําให้เกิดความเร่งใน แนวดิงเพียงอย่างเดียว กล่าวคือ = 0, =−  แนวระดับ: = = =( )  สมการวิถีการเคลือนทีแบบพาราโบลา  แนวดิง: 1 = − = − 2 1 = − 1 2 = −2 = − 2 ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE  ระยะสูงสุดในแนวดิง (MAXIMUM HEIGHT) (ตําแหน่ ง A) ตําแหน่ งสูงสุดในแนวดิง =0 = −2 0= −2 ℎ ℎ= = 2 2 หรือ อาจคํานวณจาก เวลาในการขึนไปถึงจุดสูงสุด = − 0= − = 1 1 = − ℎ= − = 2 2 2 ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 14  ระยะไกลสุดในแนวระดับ (HORIZONTAL RANGE) ระยะไกลสุดในแนวระดับ หาได้จาก =( ) = เมือ T คือเวลาจาก O ถึง B 2 หากจุด B อยู่ในระดับเดียวกับจุด O จะพบว่า =2 = ดังนั น 2 2 = = 1 1 2 หรืออาจคํานวณหาเวลา จาก = − 0= − = 2 2 ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 15  โพรเจกไทล์ตามแนวพืนเอียง (ก) จงคํานวณเวลาในการตกลงบนพืนเอียง (ข) ระยะ d (ค) ค่า มุม ทีทําให้ระยะตกตามแนวพืนเอียงไกลทีสุด (ง) ระยะตก ตามแนวพืนเอียงทีไกลสุด คือ อัตราเร็วตอนเริมต้น คือ มุมความลาดเอียงเทียบกับแนวระดับ คือ มุมยิงเทียบกับแนวลาดเอียง คือ ระยะตกตามแนวพืนเอียง ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 16  โพรเจกไทล์ตามแนวพืนเอียง (ก) จงคํานวณเวลาในการตกลงบนพืนเอียง (ข) ระยะ d (ค) ค่า มุม ทีทําให้ระยะตกตามแนวพืนเอียงไกลทีสุด (ง) ระยะตก ตามแนวพืนเอียงทีไกลสุด คือ อัตราเร็วตอนเริมต้น คือ มุมความลาดเอียงเทียบกับแนวระดับ คือ มุมยิงเทียบกับแนวลาดเอียง คือ ระยะตกตามแนวพืนเอียง ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 17 ตัวอย่างที 4.3 ก้อนหินถูกขว้างออกไปจากยอดตึกสูง 45.0 ด้วยอัตราเร็ว 20.0 / ในทิศทางทํามุม 30 กับแนวระดับ (ดังรูป) เมือไม่คิดแรงต้านอากาศ (ก) นานเท่าใดหลังจากขว้าง ก้อนหินจึงตกถึงพืน (ข) อัตราเร็วของก้อนหินก่อน กระทบพืน (ค) ก้อนหินตกกระทบพืนห่างจากขอบตึกเปนระยะเท่าใด ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 18 ตัวอย่างที 4.4 เครืองบินกู้ภัยกําลังบินที ความสู งคงตัว ℎ = 500 เหนื อ ตัวอย่า งที 4.5 นั ก สกี เคลื อนที ออกจากรางสกี ในแนวระดั บ ด้ วยอัต ราเร็ว พืนนําด้วยอัตราเร็ว 55.0 / ในทิ ศเข้าหาผู้ประสบภั ยที อยู่บนพืนผิวนํา 25.0 / ดังรูป ตําแหน่ งบนพืนลาดเอียง (ซึงทํามุม 35.0 กับแนวระดับ) (ก) นั กบินจะต้องปลดแคปซูลทีมุมแนวสายตา เท่าใด จึงจะทําให้แคปซูล ตําแหน่ งใดเปนจุดสัมผัสครังแรกของนั กสกี ตกถึงผู้ประสบภัยได้พอดี (ข) ขนาดความเร็ว และทิศทางของความเร็ว ของ แคปซูล ขณะกระทบผิวนํา ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 19 ตัวอย่างที 4.6 ขว้างลูกบอลออกไปทางซ้ายจากขอบหลังคาตึกสู ง h ลูกบอล กระทบพืนด้านล่างในเวลา 1.5 วินาที ในทิศทํามุม =60 โดยจุดกระทบห่าง จากขอบตึกทีระยะ d=25.0 m จงหา (ก) ความสู ง h (ข) ขนาดความเร็วต้น และทิ ศทาง (มุ ม) ในการขว้างลูกบอล (ค) มุ มในข้อ ข อยู่เหนื อหรือตํากว่า แนวระดับ ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 20 ตัวอย่างที 4.7 ขว้างก้อนหินจากพืนขึนไปยังหลังคาตึก หลังขว้าง 4.0 วินาที ก้อนหินตกบนหลังคาตึกในทิศทํ ามุม =60 สมมติให้หลังคาตึกสู งจากจุด ขว้าง h=20.0 เมตร จงหา (ก) ระยะ d (ข) ขนาดและทิศทางของความเร็ว ต้นในการขว้าง ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 21 บทที 1 จลน์ ศาสตร์และกฎการเคลือนทีของนิวตัน 1.6 การเคลือนทีแบบวงกลมสมําเสมอ  ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง  พิสูจน์ สมการความเร่ง  ความเร่งในแนวรัศมี และความเร่งในแนวสัมผัส การเคลือนทีแบบวงกลมสมําเสมอ (UNIFORM CIRCULAR MOTION)  อนุภาคทีเคลือนทีเปนวงกลมด้วย “อัตราเร็ว (speed) คงตัว” ถูกเรียกว่าเปนการ เคลือนทีแบบวงกลมสมําเสมอ  แต่ละตําแหน่ งตามเส้ นทางโคจร ความเร็วมีการเปลี ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา (ผล จากการเปลี ยนแปลงทิ ศทาง) ทํ าให้เ กิ ดความเร่งในทิ ศทางเข้ าสู่ ศูน ย์กลางของ วงกลม เรียก ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (centripetal acceleration) โดยมีขนาดเปน = =  เมือ v คืออัตราเร็ว, r คือรัศมีวงโคจร  ในกรณี ดั ง กล่ า วนี ความเร่ง ( ⃗) และความเร็ว ( ⃗) อยู่ ใ นทิ ศ ทางตั งฉากต่ อ กั น ตลอดเวลา  คาบการเคลือนที (period) หาได้จาก 2 2 = = ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE ความเร็วของอนุภาค P ⃗= ̂+ ̂ ⃗= − ̂+ ̂ = (− ) ̂+( )̂ ⃗ ⃗= = − ̂+ ̂= − ̂+ ̂ = (− ) ̂+ ( )̂ ⃗= − ̂+ − ̂= − ̂+ − ̂ = − + − = − = = = (ความเร่งอยู่ในแนวรัศมีชเข้ ี าสู่ศูนย์กลาง) − ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 24  ความเร่งในแนวรัศมี และความเร่งในแนวสัมผัส  ความเร่งในแนวรัศมี (ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง) = =  ความเร่งในแนวสัมผัส ⃗ =  ความเร่งลัพธ์ ⃗= ⃗ +⃗  ขนาดความเร่งลัพธ์ = + ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 25 ตัว อย่างที 4.8 รถยนต์ คัน หนึ งเคลื อนที ออกจากสั ญ ญาณไฟจราจรด้ ว ย ความเร่งคงที 0.300 / 2 โดยแล่นขนานไปกับพืนถนนและขับผ่านขึนไป บนเนิ นโดยที จุ ดสู งสุ ดของเนิ นมี รู ปร่างคล้ ายกั บ ส่ วนโค้ งของวงกลมซึงมี รัศ มี เ ท่ า กั บ 500 ณ เวลาที รถยนต์ อ ยู่ จุ ด สู ง สุ ด ของเนิ น พอดี ทิ ศ ของ ความเร็วจะอยู่ในแนวราบและมีขนาดเท่ ากับ 6.00 / จงหาขนาดและ ทิศทางของความเร่งลัพธ์ของรถยนต์ ณ ขณะนั น [0.309 / , −13.5] ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 26 ตัวอย่างที 4.9 (เพิมเติมเรืองเวกเตอร์องค์ประกอบ) แผนภาพ แสดงเส้นทางการเดินของชายเมาเหล้าคนหนึ ง ในสนามหญ้าแห่ง หนึ ง เขาเริมต้นเดินทางจากตําแหน่ ง ไปยัง โดยที = 30°, = 50°, = 80° และ = 5.0 , = 8.0 , = 12.0 จงหาขนาดและทิศทางของการกระจัดจาก ไปยัง ℏ PHYSICS AND MATERIALS SCIENCE 27