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# Lektion 4: Anwendungen der linearen Algebra ## Computertomographie (CT) ### Problemstellung Wie kann man das Innere eines Objektes zerstörungsfrei sichtbar machen? ### Idee Man betrachtet viele Projektionen des Objektes. ### Mathematisches Modell * $f(x, y)$: Dichte am Punkt $(x, y)$ * $P_...

# Lektion 4: Anwendungen der linearen Algebra ## Computertomographie (CT) ### Problemstellung Wie kann man das Innere eines Objektes zerstörungsfrei sichtbar machen? ### Idee Man betrachtet viele Projektionen des Objektes. ### Mathematisches Modell * $f(x, y)$: Dichte am Punkt $(x, y)$ * $P_{\varphi}(s)$: gemessene Intensität des Strahls bei Position $s$ und Winkel $\varphi$ $\qquad P_{\varphi}(s) = \int f(x, y) \delta(x \cos \varphi + y \sin \varphi - s) \, dx \, dy$ ### Diskretes Modell * Bilde das Objekt auf ein Gitter ab. * $f_{ij}$: Dichte am Punkt $(i, j)$ * $P_{k}$: gemessene Intensität des $k$-ten Strahls $\qquad P_k = \sum_{i,j} w_{k,i,j} f_{ij}$ wobei $w_{k,i,j}$ das Gewicht des Pixels $(i, j)$ für den $k$-ten Strahl ist. ### Lineares Gleichungssystem $\qquad \begin{aligned} & P = W f \\ & \text{wobei} \\ & P = \begin{pmatrix} P_1 \\ \vdots \\ P_m \end{pmatrix}, \quad f = \begin{pmatrix} f_{11} \\ \vdots \\ f_{n,n} \end{pmatrix}, \quad W = \begin{pmatrix} w_{1,1,1} & \cdots & w_{1,n,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{m,1,1} & \cdots & w_{m,n,n} \end{pmatrix} \end{aligned}$ ### Rekonstruktion Löse das lineare Gleichungssystem $Wf = P$. ## PageRank ### Problemstellung Wie kann man die Wichtigkeit einer Webseite bestimmen? ### Idee Eine wichtige Seite wird von vielen anderen Seiten referenziert. ### Modell * Ein gerichteter Graph, wobei die Knoten Webseiten sind und die Kanten Links. * $n$: Anzahl der Webseiten * $L_i$: Anzahl der Links auf Seite $i$ * $A$: Übergangsmatrix, wobei $\qquad A_{ij} = \begin{cases} 1/L_i, & \text{falls es einen Link von Seite } i \text{ zu Seite } j \text{ gibt} \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$ * $p$: Wahrscheinlichkeitsvektor, wobei $p_i$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Nutzer sich auf Seite $i$ befindet. ### Iteration $\qquad p^{(k+1)} = A p^{(k)}$ ### Problem Was passiert, wenn eine Seite keine Links hat? ### Lösung Mit Wahrscheinlichkeit $q$ springt der Nutzer zu einer zufälligen Seite. ### Gedämpfte Iteration $\qquad p^{(k+1)} = q v + (1 - q) A p^{(k)}$ wobei $v = (1/n, \dots, 1/n)^T$. ### Stationärer Zustand $\qquad p = q v + (1 - q) A p$ $\qquad \Leftrightarrow (I - (1 - q) A) p = q v$ $\qquad \Leftrightarrow p = q (I - (1 - q) A)^{-1} v$